函数的凹凸性在高考中的应用

1、函数的凹凸性在高考中的应用崇仁二中廖国华教学目的：了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征教学过程：一、课题导入1 .展示崇仁县第二中学 2008届高三第一次月考试题 12得分统计表班级考试人数答对人数答错人数正确率高二（1）班（理）54193535.1%高二（11）班（文）61124919.7%2 .组织学生现场解答月考试题 12并进行得分统计，以引出课题题目： 一高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时水的体积

2、为V,则函数V=f （h）的大致图象可能是图2中的（）.（选自中学数学教学参考2001年第12合期）的试题集绵.函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型.这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神.但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的 导数”理解又不能被学生所接受.所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题

3、都是十分重要的。二、新课讲授1、凹凸函数定义及几何特征引出凹凸函数的定义： 国3如图3根据单调函数的图像特征可知：函数f1(x)与f2(x)都是增函数。但是f1(x)与f2 (x)递增方式不同。不同在哪儿？把形如fl (x)的增长方式的函数称为凹函数，而形如 f2(X)的增长方式的函数称为凸函数。凹凸函数定义(根据同济大学数学教研室主编高等数学第 201页)：设函数f为定义在区间I上的函数，若对(a, b)上任意两点x1、x2，恒有:(1) j WxQ”则称f为上的凹函数； 22f(专)咒”则称f为上的凸函数。凹凸函数的几何特征：几何特征1 (形状特征)图4 (凹函数)图5 (凸函数)如图，设

4、 A1，A2是凹函数 y= f (x)曲线上两点，它们对应的横坐标“ <x2,则A(x1, f(x1), A2(x2, f (x2),过点x1 ；x2作ox轴的垂线交函数于 A,交A 4于B, 凹函数的形状特征是：其函数 曲线任意两点 人与A2之间的部分 位于弦A A2的下方；凸函数的形状特征是：其函数 曲线任意两点 人与a2之间的部分 位于弦A A2的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2 (切线斜率特征)图7 (凸函数)图6 (凹函数)设Ai,A2是函数y= f(x)曲线上两点，函数 曲线A与4之间任一点A处切线的斜率: 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y= f (x)随x增大而增

5、大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y= f (x)随x增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。几何特征3 (增量特征)图10 (凹函数)图11 (凸函数)设函数g (x)为凹函数，函数f (x)为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量x逐次增加一个单位增量Ax时，函数g (x)的相应增量AyAy 2 , A y 3 ,越来越大；函数f ( x )的相应增量Ay i , Ay 2, Ay 3,越来越小；由此，对x的每一个单位增量Ax,函数y的对应增量 Ay (i = 1, 2, 3,)凹函数的增量特征是：Ay 越来越大；凸函数的增量特征是：Ay 越来越小；简记为：增量凹大

6、凸小弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了 地解决有关凹凸的曲线问题.函数凹凸性的应用应用1凹凸曲线问题的求法下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题.题目：一高为H、满缸水量为V的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数V= f （h） 的大致图象可能是图13中的（）.解：据四个选项提供的信息（八从。 - H）,我们可将水 流出”设想成 流入”，这样, 每当h增加一个单位增量Ah时，根据鱼缸形状可知 V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故V关于h的函数图

7、象是先凹后凸的，因此，选B.例1向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图14所示，那么水瓶白形状是（图 15中的）（）.（1998年全国高考题）解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于h的函数图象是凸的，即每当h增加一个单位增量Ah, V的相应增量 AV越来越小.这说明容器的上升的液面越来越小，故选B.例2在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示.现给出卜面说法:前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越慢；5分钟以后温度保持匀速增加；5分钟以后温度保持不变.其中正确的说法是().A. B . C

8、. D.解：因为温度y关于时间t的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t增加一个单位增量At,则y相应的增量 Ay越来越小，而5分钟后是y关于t的增量保持为0,故选B.注：本题也选自中学数学教学参考2001年第1？ 合期的试题集绵，用了增量法就反成了 看图说画”.例3 (06重庆理)如图所示，单位圆中弧AB的长为x, f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数 y=f(x)的图象是()解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x尸x-sin x .由于y 1 = *是直线，每当x增加一 个单位增量 Ax, y 1的对应增量 Ay不变；而y 2= sin x是正弦曲线，在0,山上是凸的，

9、 在兀，2加上是凹的，故每当x增加一个单位增量Ax时，y 2对应的增量i (i =1,2, 3,)在0,也上越来越小，在兀，2兀上是越来越大，故当x增加一个单位增量Ax时，对应的f(x)的变化，在x C 0,兀上其增量 Af(x) i ( i = 1, 2, 3,)越来越大，在x 兀，2兀上，其增量 Af(x) i则越来越小，故f(x)关于x的函数图象，开始时在0,俎上 是凹的，后来在TT, 2兀上是凸的，故选 D.例4 (07江西)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定： 先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度

10、从左到右依次为h1, h2, h3, h4,则它们的大小关系正确的是()图18A. h2>hi>h4B . hi>h2>h3 C . h3>h2>h4 D . h2>h>hi解：设内空高度为H,剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为Vi (h)、V2 (h)、V3(h)、V4 (h),根据酒杯的形状可知函数Vi (h)、V2 (h)、V4 (h)的图象因为函数Vi (h)、V2 (h)为凹函数，Vi (h)当h从O -H, Ah增加一个单位增量， AV i ( i = i, 2, 3,)增大，则 hi> 0.5H =h4；同理 V

11、2 (h)当 h 从O H, Ah 增加一 个单位增量，AV (i= i, 2, 3,)增大，则 h2> 0.5H =h4；所以 %> h4、h2> h4；由 Vi (h)、V2 (h)图象可知，h 从 H-h2, AVi (h) > W2 (h)，而 0.5 Vi (h) >AVi (h) ,以2 (h) =0.5 V2 (h)则当 AVi (h) =0.5 Vi (h)时 h1> h2,所以答案为 A.应用2凹凸函数问题的求法例 1、(2005 湖北卷)在 y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x 这四个函数中，当 0<xi<

12、x2<i 时，/(再+勺)> /+/(/)22恒成立的函数的个数是().A.0 B.i C.2D.3分析：运用数形结合思想，考察各函数的图象.注意到对任意xi,x2C I,且xi<x2,当f(x)总满足 22 时，函数f(x)在区间I上的图象是 土凸”的，由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x ,应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质一凹凸性，对试题中的不等关系式:22,既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义例2、(05北京卷理13)对于函

13、数f(x)定义域中任意的X1, X2(X1次2),有如下结论： f(xi +x2)=f(x 1)f(X2)； f(Xl X2)=f(x l)+f(x 2)；f 国)-f (x2)f X1 X2f (X1) f (x2)x1-x2>0；(<2.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ()。本题把对数的运算()、对数函数的单调性()、对数函数图像的凹凸性()等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠 死记硬背的考生就会有问题。通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息 题，也有必要让学生了解简单高等数

14、学与初等数学结合的知识，这样既可以达到简化运算、避免易 错点的目的，还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好的基础。同 时使学生们认识到知识学的越多、越深入，解决起问题来越有规律性、越简单。从而使他们渴望学 习，渴望积累，更进一步的增加分析问题，解决问题的能力。三、学生练习1、如图20所示，半径为2的。M切直线AB于O,射线OC从O A出发绕着O点顺时针旋转到OB.旋转过程中，OC交。M于P.记/PMO为x、弓形PnO的面积为S=f(x),那么f (x)的图象是图18中的().图20图212 、 如图22所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过

15、 3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量， H是漏斗中液面下落的距离， 则H与下 落时间t (分)的函数关系用图象表示可能是图11中的( ).3、(94 年高考)已知函 f(x)=l0gx 3)。且 a#1，xw R 十)若xi，x2W R + ,判断f x2 I f 与X1 +x22 2 J的大小，并加以证明。4、1在 fl x =x2, f2 x = x2f3 x = 2x, f4 x = logi x2四个函数中，当X1*21时，使&i+x2 ；< 2 J成立的函数是 (B . f2（X ）= XC f3 x =2x C.f4 x = log i xD.2解答:1

16、、解：易得弓形P n O的面积为S=2 ( x-sin x ).由于y 1=*是直线，每当x增加一个单位增量Ax, y i的对应增量 Ay不变；而y 2 = sin x是正弦曲线，在0,兀上是凸的，在兀，2兀上是凹的，故每当x增加一个单位增量Ax时，y 2对应的增量Ay ( i =1 , 2,3,)在0,也上越来越小，在Tt, 2 n上是越来越大，故当x增加一个单位增量Ax时，对应的S的变化，开始时在x C 0,兀上其增量 AS ( i = 1, 2, 3,)越来越大，经过OCLAB后，即在xC Tt, 2兀上，则越来越小，故S关于x的函数图象，开 始时在0,加上是凹的，后来在Tt, 2兀上是凸的，故选A.2、解：同例4分析可知，每当t增加一个单位增量At, H的变化开始增量AH越来越小，经过中截成后越来越大，故H关于t的函数图象是先凸后凹，因此选