函数的单调性教学案例

1、函数的单调性教学案例教学目的：（1 1 ）培养学生看图的能力，从常见的一次函数和二次函数认识图形的变化的规律（2 2）定性分析函数的图形的上升和下降。 即 x x 和 y y 的变化的规律（3 3 ）能用定义去判断函数的单调性教学重点：函数的单调性以及刻画的本质意义教学难点：函数单调性的证明思路。以及函数单调性的运用。一、 课题引入1 1、观察下列函数的图形，你从图形中得到什么信息?学生 1 1:图形中的 x x 从左边到右边的看话，每一个 x x 所对应得 y y 在增大，把一象限的图形旋转 180180 度与三象限的重合学生 2 2:图形从左边到右边随 x x 的增大， y y 是先增大后

2、减小再增大 最后再减小学生 3 3:图形 2 2 中还有最高的点和最低的点学生 4 4:图形 3 3 中是先减小，后增大，再减小，最后增大学生 5 5:图形 3 3 中的图形关于 y y 轴对称，还有最低点。老师总结：函数的图形反应出函数所具有的性质，有最高点和最低点反应出函数有最值 图形还有对称性，x x 增大 y y 也再增大，那么如何反应函数的 xyxy 的变化的规律呢？2 2 画出下列函数的图形，观察自变量 x x 和函数值 y y (或者 f f (x)x)的变化的趋势？(1)f (x) =x1从左至右图象上升还是下降 _? ?2在区间 _ 上，随着 x x 的增大，f(x)f(x)

3、的值随着 _ .(2)f(x)=-2x 11从左至右图象上升还是下降 _? ?2在区间 _ 上，随着 x x 的增大，f(x)f(x)的值随着_ .(3)f(x)=x21在区间_ 上，f(x)f(x)的值随着 x x 的增大而_.2在区间_ 上，f(x)f(x)的值随着 x x 的增大而_总结：三个图形中随着 x x 的增大，y y 有的减小，y y 有的再增大二新授内容1 1.增函数一般地，设函数 y=f(x)y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个 区间D内的任意两个自变量Xi,X2，当1X2时，都有f(xj ”：f(X2)，那 么就说f(x)在区间D上是增函数.思考：仿照增函数

4、的定义说出减函数的定义.(学生活动)注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间 D D 内的任意两个自变量XiX；当Xi：X2时，总有f(Xi)：: f(X2)3区间上的必须是随意取的Xi,X2，不能用特殊的值去代换，得到的 结论也不具有普遍性。2 2.函数的单调性定义如果函数y二f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单 调区间3 3 判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1先求出函数的定义域，在某一个区间内任取xi,x D

5、，且XL：X22作差f (xj - f(X2)3变形(通常是因式分解和配方，通分)；4定号(即判断f(Xi)-f(X2)差的正负)；5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)三、例题分析与讲解例 1 1 (P29P29 例 1 1)如图是定义在区间5 5, 5 5上的函数 厂f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是 减函数？例题 2 2 物理学中的玻意耳定律 p p (k为正常数)，告诉我们对于 一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调 性定义证明. .思考：写出f(x) = x的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图 像对称轴

6、两侧的单调性有什么特点练 习1.1.在区间(0 0，+ + OOOO )上不是 增 函数的 是(C C)A Ay=2x -1B By =3x2-1C Cy =2D Dxy y= = 2x2x 12 2 、设函数f (x)是R上的减函数若aR则(D D)A Af(a)f(2a)B Bf(a2):f(a)C Cf(a a)：f(a)D Df(a 1)：f(a)3.3.若函数 八f(x)在R上单调递减，且f (2m) f (1 m)，则实数m的取值范围是 (_ ： ：,1)4 4 求证f (x)二x 在(0,1)(0,1)上是减函数，在1,+1,+ 上是增函数。x作业：研究函数f(x)=x?(a 0)的单调性，有条件的同学用电脑x画出函数的图形。课后反思：(1) 本节内容主要是让学生会看图，了解图形中含有的数学 性质，培养学生的树形结合思想。(2) 学生要掌握三种判断单调性的方法分别是1图形法：从左往右看，图形是上升和下降2定义法：主要是判断f(xJ-f(X2)与零的大小关系3定性分析：就是x,y的变化的规律，x,y同时变大或同时变 小单调增；x, y中一个变大一个变小为减函数。也为后面的 利用单调性求最值打下基础。(3) 本