高考数学 正方体是多面体的题根素材 大纲人教版

1、正方体为多面体之根一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式. 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体. 其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.【考题1】 （正方体与其外接球）（1996年）正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为（B）A. B. C.2a2 D.3a2【解析】 外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，自然要大一些，

2、但绝不能是它的（C）约6倍或（D）约9倍，否定（C），（D）；也不可能与其近似相等，否定（A），正确答案只能是（B）.【考题2】 （正方体中的线面关系）（1997年）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED 面A1FD1；（4）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积 【说明】 小问题很多，但都不难. 熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答. 如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.【考题3】 （正方体的侧面展开图）（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体

3、中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60°角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A） （B）（C） （D）【解析】 考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想到立体图（下），则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是C.【考题4】 （正方体中的垂直面）（2002年）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（ ）（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小.【解析】【考题5】 （正方体中主

4、要线段的关系）（2002年） 在下列四个正方体中，能得出ABCD的是【解析】 射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.【考题6】 （正方体与正八面体）（2003年） 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 A. B. C. D.【解析】 将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选C.【考题7】 （正方体中的异面直线）（2004年）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么

5、异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A. B. C. D.【解析】【考题8】 （正方体中的线线角）（2005年）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 A.arccos B. C.arccos D.【考题9】 （正方体中的射影问题）（2006年）如图，E、F 分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_(要求：把可能的图的序号都填上)【考题10】 （正方体中的三角形）（2006年）在正方体上任选3个顶点连三角形，则所得的三角形是

6、直角非等腰三角青工的概率为A. B. C. D.【解析】 在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C. 二、全国热炒正方体 2006年的各地数学考卷中，直涉正方体的考题有13个，隐涉正方体的考题还有更多.其中，四川卷“一大一小”的立几考题，都是考的正方体. 湖北卷登峰造极，“一小一大”的两个立几考题，都是正方体中的难题.其中，第18题的第2问还是个开放题目.【考题1】 2006年四川卷第13题正方体的一“角” 在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC

7、，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是 （用反三角函数表示）.【考题2】 2006年四川卷第19题两正方体的“并”如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN面ADD1A1；（2）求二面角PAED的大小；（3）求三棱锥PDEN的体积.【考题3】 （2006年湖北卷第18题） 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.（）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意

8、的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.【分析】 熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第()问，可心算出结果为m=1/3；对第()问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第（）小题成了大题，第()小题成了大难题.【考题4】 （2006年安徽卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_.（写出所有正确结论的编号）三、正四面体与正方体从“正方体

9、高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？【考题1】 （正四面体化作正方体解）四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A.3 B.4 C.3 D.6【说明】 本题如果就正四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题. 此时的解法也就沦为拙解.【拙解】 正四

10、面体棱长为底面ABC是边长为的正三角形ABC的高线BD =·=（斜高VD=）ABC的边心距HD=·=正四面体VABC的高正四面体外接球的半径为高的，即R=·故其外接球的表面积为3. 答案是A.【联想】 、的关系正四面体的棱长为，这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条“面对角线”围成？为此，在棱长为1的正方体BD1中，（1）过同一顶点B作3条面对角线BA1、BC1、BD；（2）将顶点A1，C1，D依次首尾连结.则三棱锥BA1C1D是棱长为的正四面体.于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决.【妙解】 从正方体中变出正四面体以长为面对角线，可得边长为1的正方体AB

11、CDA1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，则其外接球的表面积为S=4R2=4 ()23以为棱长的正四方体BA1C1D以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.【寻根】 正方体割出三棱锥在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥.每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 .这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”.事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有=58个.至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.四、正方体成为十年大难题按理说，立体几何考题属中档考题，难度值追求在0.4到0.7之间. 所以，十年来立几考题哪

12、怕是解答题也没有出现在压轴题中. 从题序上看，立几大题在6个大题的中间部分，立几小题也安排在小题的中间部分.然而，不知是因为是考生疏忽，还是命题人粗心，竟然在立几考题中弄出了大难题，其难度超过了压轴题的难度，从而成为近十年高考难题的高难之最！【命题】 将正方体一分为二2003年全国卷第18题，天津卷第18题，河南卷第19题等，是当年数学卷的大难题. 其难度，超过了当年的压轴题.在命题人看来，其载体是将正方体沿着对角面一分为二，得到了一个再简单不过的直三棱柱.图中的点E正是正方体的中心.【考题】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90°.侧棱AA1=2，

13、D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.()求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；()求点A1到平面AED的距离.【解析】 （）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC平面ABC，CDEF为矩形. 连结DF，G是ADB的重心，GDF. 在直角三角形EFD中，EF2=FG·FD=FD2，EF=1，FD=.于是ED=，EG=.FC=ED=，AB=2，A1B=2，EB=.sinEBG=·=.A1B与平面ABD所成的

14、角是arcsin.（）连结A1D，有.EDAB，EDEF，又EFAB=F，ED平面A1AB，设A1到平面AED的距离为h，则SAED·h=·ED.又=·AB=，SAED=AE·ED=. h=.即A1到平面AED的距离为.本题难在哪里？从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准！难点突破：斜二测改图法，把问题转到正方体中.EFCD为矩形 EF=1（已知） FD=3FG（重心定理） FD=（射影定理）EG=（） ED=（勾股定理） FC=（正方体！）FB=EB=（） sinEBG=.难题（0318）的题图探究正方体立体图常见的画法有两种：（1）斜二测法（图（1）此

15、法的缺点：A1、B、C 三点“共线”导致“三线”重合（2）正等测法（图（2）此法的缺点：A、C、C1、A1“共线”导致“五线”重合难题的图近乎第二种画法（图（3）：将正方体的对角面置于正前面.五、解正方体正方体既然这么重要，我们就不能把这个“简单的正方体”看得太简单. 像数学中其他板块的基础内容一样，越简单的东西，其基础性就越深刻，其内涵和外延的东西就越多.我们既然认定了正方体是多面体的根基，那我们就得趁着正方体很“简单”的时候，把它的上上下下、左左右右、里里外外的关系，都弄个清楚明白！关于正方体 你已经知道了多少？正方体，（ ）个面， 线面距转（ ）面距，（ ）个顶点（ ）棱。 寻找（ ）要

16、根据。顶点连线（ ）条， 异面直线求距离，一顶（ ）线来相交。 确定（ ）是难题。三顶确定三角形， 正方体，是个宝，要求三顶不共（ ）。 各种关系藏得巧。四顶确定四面体， 正四面体（ ）条棱，要求四顶不共（ ）。 选自6面（ ）线；三种线段结数缘， 正八面体（ ）个顶，根1、根2和（ ）。 6面（ ）对得准。 答案：6 8 12 28 7 线 面 点 射影 垂足 6 对角 6 中心关于正方体 还有许多许多！例如，8个顶点中，4顶共面的有（ ）个，4顶异面的（ ）个。正是4顶异面的个数，决定了正方体中三棱锥的个数。六、解正四面体统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来

17、的就是“解正四面体”的题目了. 其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了.在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为底面正三角形高为（ ）； 底面正三角形的外半径为（ ）；正三角形的内半径为（ ）； 正四面体的斜高为（ ）；斜高在底面上的射影为（ ）； 斜面与底面成角余弦值（ ）；正四面体高为（ ）； 外接球半径为（ ）；内切球半径为（ ）.答案： 一句话小结：正四面体与正方体的对应量只

18、相差一个系数：（或）【考题1】 （2006年湘卷理9） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A. B. C. D.【妙解】 （找老子解儿子）【答案】 C【拙解】 （就儿子解儿子）如图所示：即求三角形PCD的面积.因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上. 连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点. 因为，则PQ=S=×CD×PQ=×2×探索 正四面体中心何在正四面体的中心在哪里？ 答：中心在正四面体高线的第1个四等分点上；或者说，正四面体的外半径与内半径之比为31.（图（1）理解记忆 可借助“