初中数学证明三角形全等方法总结

1、初中数学证明三角形全等方法总结姓名：指导:日期：在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角证明全等例题1如图1 ,已知AB = AC, AE=AF , BF交CE于点0.求证:/ABF = zACE.分析：要证明zABF = zACE ,只需证明BOE里aCOF或&ABF*ACE.而由 图形可知zA是公共角,又由已知条件AB = AC, AE=AF,所以 ABF*ACE ( SAS ),于是问题

2、获证.证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题2如图2 ,点B、E、F、D在同一条直线上，AB=CD , BE=DF , AE二CF ,连接AC交BD于点0 .图2求证：AO = CO .分析：要证明AO = CO ,只需证明AOECOF或AOB之2COD即可.根 据现有条件都无法直接证明而由已知条件AB二CD,BE二DF,AE=CF可 直接证明 SBEaCDF ,则有/AEB=/CFD ,进而有zAEO=zCFO,再利用 对顶角相等即可证明&AOEaCOF ( AAS )于是问题获证.证明：略.三、利用公共边证明全等【例题3如图3 ,已知AB二CD , AC二BD .分析：设AC与BD

3、交于点0 ,此时/B与nC分别在 MOB和DOC中， 而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构 造另一对全等三角形.此时可以连接AD ,那么AD是 MBD和DCA的公 共边，这样可以证明 MBDDCA (SSS),从而可证明zB=/C ,于是问题 获证.证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等例题4如图4 ,点E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,求证:BEllDF.分析：要证明BEllDF,只需证明zBEC=nDFA ,此时可以转换为证明zAEB二 nCFD,进而证明aAEB2aCFD ( SAS ).而 AE = AF - EF , CF =

4、CE - EF ,古攵 AE = CF .证明：V在平行四边形ABCD中,/. ABnCD , AB = CD ,/. zBAE = zDCF ,v AE = AF-EF/CF = CE-EF/AF = CE ,/. AE = CF ,SEB 之 aCFD(SAS),zAEB = zCFD,/. zBEC = 1800- zAEB = 180°- zCFD = zDFA , /. BEllDF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5如图 5,已知 zE = 30°,AB = AD ,AC = AE ,zBAE = zDAC .求：zC的度数.分析：已知nE=30

5、6; ,要求nC ,可考虑证明 SBC少ADE ,由zBAE = nDAC ,结合图形可知/BAC =zDAE ,于是问题获解.证明：zBAE = zDAC ,zBAE + zEAC = zDAC + zEAC ,/. zBAC =zDAE ,AB = AD , AC = AE ,SBC ”ADE ( SAS ),/. zC = zE = 30°.六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题6如图6 ,已知zDCE = 90° , zDAC = 90°, BE±AC于点Bz且 DC = EC,能否找出与AB + AD相等的线段,并说明理由.E分析：由于 AC

6、 = AB + BC ,可以猜想 AC = AB + AD，或 BE =AB + AD , 此时只需证明AD=BC即可而事实上用同角的余角相等可得到zDCA二 zE ,从而证明&ADC空&BCE ,问题获证.注意考点：同角或等角的余角相等.证明：V BE_lAC ,/. zEBC = 90° ,v zDCA + zACE = zDCE = 90° , zE + zACE = 90° , /. zDCA =zE ,v zDAC = zEBC = 90° , DC = EC,/. 5DC-BCE( AAS),/. AC = BE , AD =

7、 BC ,/. AB + AD = AB + BC = AC = BE .七、利用角平分线的，性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等例题7如图7 ,点P是zABC的平分线BN上一点，PE垂直AB所在 的直线与E , PF垂直BC所在的直线于F, zPAB + zPCB=180°.E证明：BN 是 zEBC 的角平分线，PE±BA , PF±BC ,/. zPEA = zPFC = 90°, PE = PF,v zPAB + zPAE = zPAB + zPCB = 180° ,/. zPAE = zPCF ,SAE 空

8、 aPCF ,PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段,而补短法是指 延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起 来，以便构造全等三角形。【例题8如图8 ,在 SBC中，nC = 2nB , zl = z2.求证：AB = AC + CD.第7页共10页分析从结论分析，"截长"或"补短"都可实现问题的转化，即延长AC至E 使 CE = CD ,来证明 MDB 2 &ADE ( AAS ).始 AB上截取AF = AC ,来证明 MDF空&ADC

9、 ( SAS ),AB = AF + FB = AF + FD = AC + CD .证明：略.九、利用"一线三等角"模型构造全等三角形证明全等所谓”一线三等角是指一条直线上有三个相等角，如果有一组边对应相等则 可以构造全等三角形.类型一：直角三角形中的"一线三等角“模型例题9如图9 ,在 MBC中，/B = 90°, CD±AC ,过点D作DE±BC 交BC延长线于点E ,且AC=CD ,第8页共io页第io页共io页求证：aABC 空 aCED.证明： / DE_1_BC , CD±AC ,/. zDEC = 90° z zACD = 90° , nA + zACB = 90° z zACB + zDCE = 1800- zACD = 90° ,./A = zDCE , / zB = zE = 90°, AC = CD, zA = zDCE ,/. &ABC 空 aCED ( AAS ).类型二：等腰三角形中底边上的"一线三等角”模型AB、BC 上 ;【例题10如图10，在SBC中，AB=AC ,点D、E分别在 作zDEF=/B ,射线EF交线段AC于点F ,若DE二EF,求证:ADBE 空 AECF.证明： AB = AC