函数单调性和奇偶性练习题

1、函数单调性和奇偶性一、选择题（每小题5分，一共12道小题，总分60分）1.命题“若都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y不是偶数，则X与y都不是偶数8 .若x+y是偶数，则X与y不都是偶数C.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数9 .下列函数是偶函数的是（）A. y = sinxB. y = xsinxC. y = x210 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A. y = 2xB. 、 =泗C. y = 2x-2-xD. y = 2' +2r11 下列函数中，不是偶函数的是（）A. y = x2 + 4 B.

2、y = |tanx|C. y = cos2xD. y = 3-3-xB. y=sinxD. y=ln|x|5. （2015秋？石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（-8+8）上单调递增 的是（）A. y=- x2C. y=x 3 6.如图，给出了偶函数y = f（x）的局部图象，那么/（1）与/（3）的大小关系正确的是（）A. /“ B. f (1)K3) C.D, 1)<3)7.设函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论 中正确的是()A. f(x)g(x)是偶函数B. f(x)g(x)是奇函数C. |/(x)g(x)|是奇函数D. 是

3、偶函数8 .定义在R上的函数y = /(x)具有下列性质：/(-x)-/(x) = O ; /(1+1)/(刈=1您>=1)在0上为增函数，则对于下述命题：y = /W为周期函数且最小正周期为4；),=于(x)的图像关于y轴对称且对称轴只有1条；)'=/(x)在3,4上为减函数.正确命题的个数为()A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个9,设/(口是奇函数，且在内是增函数，又/(3) = °,则xj(x)<0的解集 是A x | -3 < x < 0垢 > 3B x | x < 一3或0 < x < 3C x |-3 &

4、lt;x <0或。<x<3)口 卜|x <-3WU> 3 10 .函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)的周期6 .当一3Kxv-l时,/(x) = (x+2)2,当TKxv3时，/(x) = x.则/。) + “2)+”2013)+/(2014)=()A. 337B. 338C. 1678D. 2012二、填空题(每小题5分，一共6道小题，总分30分)11 .若函数/(x) = x+ Q" + l)" + l + i 为奇函数,则。=. x12 .已知奇函数f (x)当x>0时的解析式为f (x) - 1 ,则千(-1) =.J+11

5、3 .已知/(x) =必？+法一4其中。力为常数，若/(一2) = 2,则/(2)的值等 于.14 .若函数/a)= L+(A l)x+2是偶函数，则/(X)的递减区间是.15 .设定义在R上的函数f (x)满足/(x + 2>f(x) = 7,若千(1) =2,则千(107)16 .设函数f(x)是奇函数且周期为3,若f(1)= - 1,则f(2015)=.三、解答题(每小题5分，一共4道小题，总分20分)17 .已知函数/(x) = 9+/(其中。，b为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点. x(1)求4, b的值,判断并证明函数/(X)的奇偶性；(2)证明：函数/(X)在区间

6、、份，+00)上单调递增18 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当xe0, 2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x£2, 4时，求f(x)的解析式；计算 f (0) +f(1) +f(2)+- + f(2014)的值.参考答案1. D【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都 是”的否定为“不都是"，所以原命题的逆否命题应为“若x+y不是偶数，则不与y不都 是偶数”，故选D.考点：四种命题的概念.2. B【解析】试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称

7、，且满足f(-x) = /(x),选项A中/(-x) = sin(-x) = -siiix=-/(x),奇函数不符合；选项B中/(-x) = (-x)sin(-x) = xsinx = /(x),偶函数符合;选项C中定义域为0,+8),不关于原点对称，非奇非偶函数不符合；选项D中 f(-x) = 2-x L = 2-x-2v=-/(x),奇函数不符合.故选 B.2x考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数.3. C【解析】试题解析：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数 单调性可知在其定义域内是增函数(或尸=2'1112 + 2-12>0),故选C

8、.考点：函数的单调性、奇偶性4. D【解析】试题分析：A选项，/(-x)=(-x)2+4=jc2+4 = /(x),所以/(x)为偶函数；B选项，/(-x) = |taii(-x)|=|tanx| = /(x),所以/(x)为偶函数；C 选项，/(-x) = cos2(-x)=cos2x = /(x),所 以“X)是偶函数；D选项，一力=3一'_3'=(3'_3-') = 一/(可，所以力为奇函 数.故选D.考点：函数奇偶性的定义.5. C【解析】试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可.解：y=-1在(-co, 0), (0, +8)上单调递增，但

9、在定义域内不单调，故排除A;Xy二sinx在每个区间(2kn-Z, 2k n+) (keZ)上单调递增，但在定义域内不单调，故 22排除B：212令 f (x) =x3,其定义域为 R,且f (-X)二(-X )- x= - f(X)，所以 f(X)为奇函数，又产(x) =3x20,所以千(x)在R上单调递增，故选：C.考点：函数奇偶性的判断.6. D【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子千(-3) =f (3),结合 图像可知f(1)<f(3),故选D.【答案】D7【解析】试题分析：对于选项A ,因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 /(-x)g(-x)

10、 = -/(x)g(x)，所以/(x)g(x)是奇函数，所以选项A不正确；对于选项6, 因为/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且|/(一人)限(一工)二|工)归。)，所以|“外用(工)是 偶函数，所以选项6不正确；对于选项C,因为/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且(r)g(r)| = |f (x)g(x)|,所以|/(x)g(x)|是偶函数，所以选项。不正确；对于选项O,因为/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(|-4)= /(k|),所以/(田)是偶 函数,所以选项。正确；故应选O.考点：1、函数的奇偶性.8. B【解析】 试题分析：(1)由 f(x +1)- /(1)=1得/(1

11、 + 2)-/(1 + 1) = 1,所以得/(x) = f(x + 2),得最小正周期是2.该命题错误.(2)由/(-x)-/(x) = O得/(x) = /(x),知其是偶函 数，图像关于y轴对称，但该函数是周期函数，所以对称轴有无数条.该命题错误.(3)由 y = f(x)在0J上为增函数，因为是偶函数，所以在一1,0上为减函数，周期为2,所以y = /(x)在3,4上为减函数.该命题正确.考点：函数性质的综合考察.9. C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，且/(一3)=0,在(0,yo)内是增函数，所以/(3)=0,在/( x<-3f-3<x<0 f0<x&l

12、t;3 x>3(一叫0)内是减函数，从而可得彳八，彳，/、八，4八，4 / 八，由此W)<o /W>o VW<° l/W>o可得满足x7(x)v0的x的取值集合为x1-3<x<。或。<“<3考点：函数单调性与奇偶性的综合应用.10. A【解析】试题分析：由已知得了(1) = 1, /(2) = 2, /(3) = /(-3) = -1, /(4) = /(-2) = 0,/(5) = /(-1) = -1 , /(6) = /(0) = 0 ,故 /(1) + /(2)+”6) = 1 ,/(1)+/(2)+7(2013)+/(2

13、014)=335+f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=337.考点：函数周期性.11. -1【解析】试题分析：因为函数/(x) = x+(2" + 1)'+1 + 1 = 一+j_+2 + 2为奇函数,所以对 XX1(1AVx e (cc,0)U(0,)均有 /(x)=/(x),即一x f 2。+ 2 = x h F 2。+ 2 ,所以-XIXJ4a+4 = 0,« =1.考点：函数的奇偶性.12. 2【解析】试题分析：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可.解：奇函数千(x)当x>0时的解析式为f (x)则f (-1) =-f (1)J+l2故答案为：-2

14、.2考点：函数奇偶性的性质；函数的值.13. -10【解析】试题分析：/(x)+4 = ax5 +bx ,所以判断/(x)+4是奇函数，/(-2)+4= 6 ,所以/(2)+4 = -6,即/=_6_4 = _10考点：奇函数【方法点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题型，谨记一些法则，比如, 奇函数十奇函数二奇函数，奇函数x奇函数二偶函数，奇函数+偶函数二非奇非偶函数，所以本 题/（X）并不是奇函数，但73+4是奇函数，所以间接利用/（-2）+4,求/（2）+4,最后求/（2）14. (-oo,0)(一 8,。也对) 【解析】试题分析：若函数/（x）= kx2+（左一1卜+2是

15、偶函数，所以k = l,则/（6=/ + 2,所以函数/的递减区间是（一8,0）.考点：1.偶函数；2.二次函数的单调性.【思路点睛】本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数，属于容易题.解题时首先要根据 函数是偶函数得到k = l,从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题.另外本题 答案也可是（一 8,0.15. 1.2【解析】77试题分析：函数 f (x)满足/(x + 2)-/(x) = 7,则= /(x+2) = - /。+2)/(x+4)7所以/W = f(x+4), /(107) = f(26x4+3) = f(3)=考点：函数的周期性.16. 1【解析】由条件，f(2015)

16、 =f(671 X3+2) =f(2) =f(-1) = -f(1) = 1.17. (1) a = 2, b = l 奇函数(2)详见解析 【解析】 试题分析：将函数过的点代入函数式可得到凡b的值，判断奇偶性可判断了（x） = /（x）,一x) = -/(x)是否成立；(2)证明函数单调性一般采用定义法，在的前提下证明/(%)，(%)成立 试题解析：(1) 函数/(X)的图像经过(1,3)、(2,3)两点a + b = 3 * ' a，得a = 2 , = 1一+ 2b = 3122:.函数解析式/(x) = - + x ,定义域(yo,0)U(0，)X22 /(-x) = + (-

17、%) = -(- + x) = -/(x) -XX2:.函数解析式/(x) = + x是奇函数 X(2)设任意的占、x2 e y/2 ,+oo),且&ex222/(演)一 &)=一 + ±£占W=" 一(占 一 演)=(& _ %乂二-一 1)xLx2xtx22-x.x,=区一工)二 士公,/ % >, X2 > y/2 ,且 xi <X2：.x1 - x2 > 2 ,则 2 xtx2 < 0,且当 一 & > 0得/(须)一/(公)<0，即/($)</(9) 函数/(X)在区间J7,+8)上单调递增.考点：函数奇偶性单调性18. (1)见解析 f (x)=x?6x+8, xG2, 4. (3) 1【解析】(1)证明：因为f(x+2)=一千(x),所以 f (x+4) = -f (x+2) =f (x),所以f (x)是周期为4的周期函数.解：因为x£2, 4,所以一x£-4, -2,