八年级二次根式

1、第五章二次根式【知识网络】粗舍运算知识点一：二次根式的概念形如 瓜q 2 0的式子叫做二次根式.注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：由于负数没有平方根,所以厘之.是启为二次根式的前提条件,如后,尸/之1等是二次根式,而后,工-7等 都不是二次根式.知识点二：取值范围1 .?二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a叁0时,旧 有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可.2 .?二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当 a< 0时,启没有意义.知识点三：二次根式 几之°的非负性退a-

2、0表示a的算术平方根,也就是说,质厘之0是一个非负数,即 几之0产.注：由于二次根式 几近3°表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数以三口的算术平方根是非负数,即 五之0严2口,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似.这个性质在解做题目时应用较多,如假设 &,+述=0 ,那么a=0,b=0；假设石+性|二° ,那么a=0,b=0；假设 返+,贝U a=0,b=0.知识点四：二次根式(显)°的性质(而,二之0)文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.上面的公式也可以反过来应用：丑

3、",注：二次根式的性质公式(、苏)"=(鼻之.)是逆用平方根的定义得出的结论.那么&=曰)如：2三(小,2.知识点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,假设是正数或0,那么等于a本身,即"=同二.5*“)；假设a是负数,那么等于a的相反数-a,即必二同二-a(a<0)；2、1 中的a的取值范围可以是任意实数,即不管 a取何值,岸一定有意义;3、化简"时,先将它化成卜1再根据绝对值的意义来进行化简.知识点六：尸与"的异同点1、不同点：

4、与"表示的意义是不同的, Q表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数的平方的算术平方根；在 西中 m,而J7中a可以是正实数,0,负实数.但IE-与E 都是非负数, 口 S>O)艮 0 (N ) -,U .因而它的运算的结果是有差异的,函)、口g 他而一仔2、相同点：当被开方数都是非负数,即厘"时,加口=" ； 4<.时,(忑无意义,而.知识点七：二次根式的运算1 .二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：后卮卮 L L 血?aa2a3L

5、Lan (a10a20,83QL L ,an0)2 .二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3 .二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括 号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式 在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1 .明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2 .在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法那么及

6、乘法公式仍然适用；3 .在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事 半功倍白效果.(1)加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于 理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,到达化简的目的,但最后结果一 定要化简.例如 焉 也 J6,没有必要先对 疆进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,叵显痴8JL 6 J2 6 - 2屈,通过约分到达化简目的； 27 273(2)多项式的乘法法那么及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.一 一 .

7、一 _ 2_ 2如：痘短事短 志721 ,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化4 .分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,假设它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：(1)后与ja互为有理化因式；(2) a 、b与a ,6互为有理化因式； '般地 a cjb与a cjb互为有理化因式；(3) 石 斑与 指 而互为有理化因式；一般地 cja djb与cJW d 76互为有理化因式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题【专题解读】 涉及二

8、次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情 况下利用二次根式的非负性来求解.例1当x取何值时, 底F 3的值最小最小值是多少分析由二次根式的非负性可知 J9x 1A0,即J9x 1的最小值为0,由于3是常数,所以J9x 1 3的最小值为3.解： 9x 1>0,、9x 1 3> 31当9x+1=0,即x 时,<9x13 3有最小值,最小值为 3.9【解题策略】 解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,即Va >0 (a>0).专题2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题,可据定义,也可以利用Ta2 |

9、 a |这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 以下计算正确的选项是()B.9 、43C. (2+、. 5)(2- , 5) 1D.63,2,2 2,2 x2 2.2分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算.A选项中,J8B选假设可化为3 亚 ,C选项逆用平方差公式可求得(2 炳 (2-病 =4-5=- 1,而D选项应将33分子、分母都乘J2,得 2 3.2-1 .应选A. 2例3计算(拒1 )2006(72 1)2007的结果是()A. 1B. -1 C. .2 1 D. .2 1分析此题可逆用公式(ab) m=ambm及平方差公式,将原式化为屋 2 1)(

10、,2 1)2006(, 2 1 ),2 1.应选D.书知 y 、. x2 4 4 x22、, o分析 此题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值,但要注意所得 x的值应使分式有意义X2 4?0,解：由二次根式的定义及分式性质,得 4 x2>0, x 2,2 xw0,一2 一 一y 、,22 4x , y y x.TV 2 7,2 222 J4 2, 7 7、2 2、142 2而772 2疝7收44a. 22【解题策略】此题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义例 5 化简 La2 12a 9-,4a2-20a 25( 3<a<-)22“一 3 一 一 5解：Q v av -

11、, 3V 2a v5, 2a -310,2a -5 v0, 22原式 J(2a 3)2 J(2a 5)2 12a 3| 12a 5|(2 a 3) (2 a 5) 4a 8.【解题策略】此题应根据条件直接进行化简,主要应用性质a(ci> 0),-a(a< 0).例6 实数,a, b, c在数轴上的位置如图解：由a, b, c在数轴上的位置可知：21-8 所示,化简 ;£ 卡丁| a | V(a V(ca)2 图 21-8c< a< 0,b>0a c< 0,c a<0,原式 |a| | a c | | c a | |b | a (a c) (c

12、 a) ba a c c a ba b.【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简例7 化简 |x 1| Jx2 4x 4.解：原式 |x 1| ,(x 2)2 |x 1| |x 2|.令x 1 0,x 2 0,得为1,x2 2,于是实数集被分为x< -1, 1<x<2,x>2三局部,当 x< -1 时,x K0,x-2<0,原式-(x 1) (x-2) -3.当-10x<2寸,x 1>0,x-2<0.原式(x 1) (x 2) 2x 1.当x>2时,x 1>0,x 2>0,原

13、式(x 1) (x 2) 3.3(x< 1),原式 2x 1( 1& x< 2), 3(x> 2).规律方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为假设干局部,即 把实数集划分为假设干个集合,在每个集合中分另进行化简,简称“零点分区间法例8a b 3,ab 12,求b ajb的值.分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意 a, b的符号,此题中没明确告诉,a, b的符号,但可从a+b=-3, ab=12中分析得

14、到.解：a+b=-3, ab=12, ,a<0, b<0.2. ab2 124 J3.【解题策略】此题最容易出现的错误就是不考虑专题3利用二次根式比拟大小、进行计算或化简a, b的符号,把所求的式子化简,直接代入估计. 32 xA. 6到7之间C. 8到9之间B. 7到8之间D. 9到10之间分析 此题应计算出所给算式的结果,原式J16 720 4 2J5 ,由于 用 V5< J6而,即2V 45< 2.5,所以 8V 4 275< 9.应选 C.例10 m是/3的整数局部,n是JT3的小数局部,求 mn的值. m n解：: 9V 13V 16,百 v 133 v

15、 16d ,即 3 v 63 v4Ji3的整数局部为3,即m=3,/3的小数局部为 炳-3,即n=J13 3,m n 3 (7l3-3) 6 Vl3 6加 13m n 3 ( J3 3).1313二、规律方法专题专题4 配方法【专题解读】把被开方数配方,进而应用 JO2=| a化简.例11 化简J5 2历解：5 2.63 2 2,.32；( 3)2 (、.2)2 2.32、,(32 | .3、.2|、3.2.规律方法 一般地,对于a 2而型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x, y(x>y>0),使得xy=b, x+y=a,贝U a 2而(7x 6于是 4a2石 7(Vxa/y)

16、2x 、亍,从而使.a 2 Jb得到化简. b a b a例12 假设a, b为实数,且b=j3 5a J5a 3 15,试求J一 - 2 J 2的值. , a b - a b分析 此题中根据b=j3 5a J5a 3 15可以求出a, b,对Jb a 2.a btW a 2的被开方数进行配方、化简 , a b 35ci>0,3解：由二次根式的性质得3 5a 0. a 3.5a 3> 0,5b 15, a b> 0,a b< 0.a屋茄b设茄 ab abab ab& ab. b当a 3, b 15寸,原式J3 15 2515,55【解题策略】对于形如b+a 2或

17、- a b aa2形式的代数式都要变为b(b)2( b)2(a b)或(a b)的形式,当它们作为abab被开方式进行化简时,要注意a b和a b以及ab的符号.专题5换元法 【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题例13 计算J3通 ,3 4.解：令x= , 35,3. 5 ,两边同时平方得：x2 #卡 ,3 眄之,-x2=( 3 而)(3 5 +2/3 疾 x43 3=10Qx>0, x . 101,即原式,花.专题6代入法 【专题解读】通过代入求代数式的值.例 14 a2b 2400,ab2 5760,求Ja2 b2的值.解：由 a2b 2400,ab2 5760,

18、两式相除得 b 2.4a, Qa2b 2400, 2.4a3 2400,a3 1000, a 10, b 2.4 10 24,a2 b2102 242676 26.专题7约分法 【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简例15 化简2 、,6 ,10 J5.2 .3.23而72732而阮屈瓜氏向2：312,3 ,2 +、,5,2+5飞 5、252晨 5.回.5、,252例 16 化简 x' y ±x2 y.x 2、xy y解：原式；xy'x . y<xy、x y x 、v历反历x亚.x ；y x . y x y三、思想方法专题专题8 类比思想【专题解

19、读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,假设被开方数相同,那么这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.石+2 73；2.18 .12 2.3.解：1原式=1+2 73=373.2原式=3 2 - 2 +2 3 +2 . 3 =2.2 +4,3 .【解题策略】对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想【专题解读】

20、当问题比拟复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决例18 函数y=j2x 4中,自变量x的取值范围是 .分析 此题比拟容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,此题中J2x 4是二次根式,所以被开方数2x-4>0,所以x>2.故填x>2.例19如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,假设输入 x的值为J3,那么输出的数值为 . 区屋f 获区结束；图 21-9分析此题比拟容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为x2 1,代入可知J3

21、2-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式 VO2 |a|进行化简时,假设字母的取值范围不确定,应进行分类讨论例20假设化简|1x | Jx2 8x 16的结果为2x 5 ,那么x的取值范围是A. x为任意实数C. x> 1B. 1<x<4D. x<4分析由题意可知|1 x | | x 41 2x 5,由此可知|1 x | x 1,且|x 4| 4 x,由绝对值的意义可知 x 1>0,且4 x> 0,所以1WxW4,即x的取值范围是1& x< 4.应选B.【解题策略】对

22、4a和| a|形式的式子的化简都应分类讨论例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为 7cm, 5cm和3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的外表爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少?分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最正确方案解：沿前、右两个面爬,路径长为5 72 32,153 cm.沿前、上两个面爬,路径长为沿左、上两个面爬,路径长为(3 7)2 52.125 (cm).图 21-10、(3 5)2 72.113 (cm).1.2.3.4.5.

23、V9 x2都不是最简二次根式.8. a- va2 1的有理化因式是所以它要爬行的最短路径长为.很cm.规律方法 沿外表从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个 展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每题1分,共5分仪 2)2ab = - 2 Tab . )J32的倒数是J3+2.()v(x 1)2 = (Vx1)2.()f 13_2 aJab、一 ,'a b、 一J一是同类二次根式.3x v b二填空题：每题2分,共20分. 1-6 .当x时,式子 f=有忌义.x 3_ab_c2d 2_abc2d29 .当 1vxv4 时,|x 4|

24、+ Vx2 2x 1 =10 .方程 J2 x1 = x+ 1 的解是.11 .a、b、c为正数,d为负数,化简一 112.比拟大小：一2.714、313 .化简：7 5 J2 2000 7 5 拒2001 =14 .假设 Jx 1 + %,y 3=0,那么x-12+y+32 =15 . x, y分别为8 布的整数局部和小数局部,那么 三选择题：每题3分,共15分16 . %-x3 3x2 =xJX3 ,那么22xyy =(A) x<0(B) x< - 3(C) x> 3)(D) 3<x<017.假设 xvyv0,那么 /x2 2xy y2 + %；x2(A) 2

25、x(B) 2y(C) - 2x2xy y2 =(D) -2y18.假设 0vxv 1,那么(x4 - J(x §24等于(A) 2 x(B) 2x(C) -2x(D) 2x19.化简3-a-(av0)得 a(A) . a(D)20.当 a<0, b<0 时,a+2'ab b 可变形为(A)降 Jb)2(B) "a Jb)2(C)()(J_a b_b)2( d) (J_a v b)?四计算题：每题6分,共24分21.而底 V2 75 V3 叵;22.541123.(a2.n,mab Vmn + m24.ab- a bab b ab aa b、,、一:)(a

26、 w b).ab五求值：每题7分,共14分“ 口斤口 -32、32 小25.x= -= ,y=-,求73232 x y32x xyC 32232x y x y的值.26.当 x= 1 2 时,求2x x2 a2 ,1+ l的值.22222x x x a . x a六、解做题：每题8分,共16分27.计算2 75 + 19910028.假设 x, y 为实数,且 y= V1 4x + &x 1 + 1 .求 2 y - J- 2 y 的值.2 丫 y x ' y x一判断题：每题1分,共5分1、【提示】V 22 =|-2| =2.【答案】X.2、【提示】=3-2=_ J3+2 .

27、【答案】X.3 23 43、【提示】Vx 12=|x1|, v,x 12=x1 x> 1.两式相等,必须 x> 1 .但等式左边 X . J4、【提示】"a3b、 2J-化成最简二次根式后再判断.【答案】,.3x V b5、寸9 x2是最简二次根式.【答案】X.二填空题：每题2分,共20分6、【提示】Jx何色有意义 x>0.分式何时有意义分母不等于零.【答案】x>0且xw 9.7、【答案】2a心.【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用.8、【提示】a血2 1 = a24a2 12. a+ va2 1 .【答案】a+VP1x可取任何数.【答案】9、【提

28、示】x22x+ 1 = () 2, x- 1 .当1vxv4时,x-4, x1是正数还是负数x4是负数,x1是正数.【答案】3.10、【提示】把方程整理成ax=b的形式后,a、b分别是多少221 ,J21 .【答案】x= 3+2<2 .11、【提示】Vc2d2 = | cd| = cd.【答案】Jab+cd .【点评】ab= ab)2 (ab>0),. ab-c2d2= ( VOb cd) (Jab cd).12、【提示】2 <7 = J28 , 4/3 = <48 .【答案】v.【点评】先比拟 v128 , 阿 的大小,再比拟 , 二 的大小,最后比拟一 二 与一口

29、的大小.28, 48284813、【提示】(-7-5 后)2001 = (- 7 - 5 £5)2000 .() -7-5a/2 .(7-5) (7542) =? 1.【答案】一7-572 .【点评】注意在化简过程中运用哥的运算法那么和平方差公式.14、【答案】40.【点评】7x 1 >0, x y 3 >0.当 Jx 1 + My 3=0 时,x+ 1=0, y3=0.15、【提示】3v J11 V 4,V 8- 布 V. 4, 5.由于8- 布介于4与5之间,那么其整数局部x=?小数局部y= ? x = 4, y=4-q'11【答案】5.【点评】求二次根式的整

30、数局部和小数局部时,先要对无理数进行估算.在明确了二次根式的取值范围后,其整数部 分和小数局部就不难确定了.(三)选择题：(每题3分,共15分)16、【答案】D.【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件,(A)、(C)不正确是由于只考虑了其中一个算术平方根的意义.17、【提示】 xvy0,x-y<0, x+ y<0.Jx2 2xy y2 =、；(x y)2 = |x-y| =y-x.v'x2 2xy y2 = %：(x y)2 = | x+y| = x y.【答案】C.【点评】此题考查二次根式的性质埼 =|a| .1c1cle1 C 一18、【提示】(x- -)2+4=

31、(x+ )2, (x+)24=(x)2.又< 0<x< 1,xx xx1-1- x+ > 0, x v 0.【答案】D.【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质.(A)不正确是由于用性质时没有注意当0V xv 1时,x- <0.x19、【提示】a a3 = v a a2 =个 a Ma2 =| a| Ja =- av a .【答案】C.20、【提示】a<0, b<0,-a>0, b>0.并且一a= (Ja)2, - b= b/-b)2 , Jab = 1( a)( b).【答案】C.【点评】此题考查逆向运用公式(Ja)2=a (a>

32、;0)和完全平方公式.注意(A)、(B)不正确是由于a<0,bv 0时,Oa、v'b都没有意义.(四)计算题：(每题6分,共24分)21、【提示】将5：5 百看成一个整体,先用平方差公式,再用完世方公式.【解】原式=(娓 J3)2(行)2=52«5 + 32 = 6 2115 .22、【提示】先分别分母g理化,再回学同类一次根式._【解】原式=5jl 4(而 行)23_Jh = 4+而-/3+/ = 1.16 1111 79 723、【提示】先将除法g为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式.【解】原式=(a2 Jn 他vmn + n屈)4y JmV m mmn

33、 ab'n1 n m 1 m n mm=2 iL v mn +2T iL b I m nmab . nma b . n n211 ,1 a ab 1=-2" - + -2-2 = 22 -b ab a b a b24、【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分.解原式=a 猴 b 何 + aqWQa 加)bjb,啊(a b)(a b).ab( a * b)(. a 、b)ab_ a2ajab bvab b2a2b2.a, b,ab(, a . b)(, ax b).ab( .a . b)(. a . b).ab(a b)【点评】此题如果先分母有理化,那么计算较烦琐. (五)求值：(每题7分,共14分)25、【提示】先将条件化简,再将分式化简最后将条件代入求值.【解】: x= 2 "2 = (2)2 = 5+2v'6 , 32V=班机=(V3 42)2=52 46., 32x+ y=10, x y =