解二面角问题三种方法(习题及答案)

1、解二面角问题(-)寻找有棱二而角的平面角的方法和求解。(1)定义法：利用二而角的平而角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角 的平而角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下而举几个 例子来说明。例1：如图，立体图形V-ABC的四个而是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角并求出 它的度数。例2：在三棱锥P-ABC中，Z APB= Z BPC= Z CPA=60°,求二而角A-PB-C的余弦值。这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来

2、的：1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，找出二面角B-AC-Bi的平面角并求出它的度数。2、.边长为a的菱形ABCD , ZACB=60°,现沿对角线BD将其折成才60。的二而角，则A、C之间 的距离为° (菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对 角线，则所成的角是二面角的平而角)3、正三棱柱ABC-ABiG的底面边长是4,过BC的一个平而与RA交于D,若4)=3,求二而角D- BC-A的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面 角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来

3、求出所要求的。在常见的几何 体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等 等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这 角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角 形的知识去求解。(2)三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平而角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。例3：如图，在三棱锥PABC中，PA_L平而ABC, PA=AB, AC=BC=1, NACB=90°, M是PB的中点。(1)求证

4、：BC1PC, (2)平而MAC与平而ABC所成的二面角的正切。p例4：如图，已知4ABC中，ABXBC, S为平面ABC外的一点,SAL平而ABC, AM±SB于M, AN±SC 于N,(1)求证平而SABL平面SBC (2)求证N ANM是二面角A-SC-B的平面角.本题可变形为：如图，已知AABC中，AB1BC, S为平面ABC外的一点，SAJ»平面ABC, ZACB= 60% SA=AC = a, (1)求证平而SAB±Tiffi SBC求二而角A-SC-BC的正弦值.在运用三垂线找平而角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按

5、三垂线的 条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的而 内。（3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二而角两半平而相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角，这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。例5：如图在三棱锥S-ABC中，SAJ_底而ABC, AB1BC, DE垂直平分SC 且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB. SB = BC,求二面角E-BD-C的度 数。CD=2,求八、B两点间的距离。如图，ACua,BDup ,。与£所成的角为 60°,于 C, 于 B, AC=3. BD=4,（二）寻

6、找无棱二面角的平面角的方法和求解，无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个而的交线不知道。若要找出二而角的平面角，则 需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二而角的解法解题。 这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异而又不是平行的二面角（两条在同一平 面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2,这点在二面角的棱上，连公共点和这点 就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判 定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二而角的两个而的交线。由公理4,可知这两条 直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条

7、直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。W例6：如图，AABC在平面上的射影为正若BBi=L, 2CC/ABi=1,求平而ABC与平面ABC所成锐角二面角的大小,变式：1 .如图,在底面是直角梯形的立体图S-ABCD中，NA8c=90。, SAJ_底而 ABCD, SA=AB = BC = 1, AD=0.5,求而 SCD 与面 SBA 所 成二面角的平而角的正切值。2 .如图，在所给的空间图形中ABCD是正方形，PD_L而ABCD, PD=AD,求平面PAD和PBC所成的二而角的大小。3 .如图，斜三棱柱ABC-4B£i的棱长都是a,侧棱与底而成60°角, 侧面B

8、CCiB而ABC,求平面AB1C1与底而ABC所成的二面角的大小。解关于二面角问题二面角是立体几何中最重要的章在。二而角中的内容综合了线而垂直，三垂线定理及其逆定理 和异而直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。在总结时，若能够引导学生进行对解二 面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的 也有很重要的作用。为此我对这方面进行总结，以供教学和学习参考。（-）对本内容进行思考时，必须弄清两个概念：（1）什么是二面角，如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角来度量，二面角的平面 角是几度，就说这个二面角是几度.（2）什么是二面角的平面角，如何表示

9、？这一概念特别重要，要能够很快地反应出二而角的 平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个而内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角。，二面角的平面角的定义三个主要特征是：过棱上任意一点：分别 在两个面内作射线：射线垂直于棱。明白这一点对于能够作出或找出二而 角的平面是很关键。在脑子里要能想象出二面角平而角的图形。如图，OCa, OAu a , OBu B ,OA_La, 0B±a3（二）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键，这也是个难点。在从图形中作出二面角的 平面角时，要结合已知条件来对图形中的线线、线而和而而的位置关系先进行

10、分析，确定有哪些是 平行、垂直的或者是特殊的平而图形，然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出 二面角的平面角。所以解关于二而角问题需要有很好的对线线、线面和而面的位置关系的分析判断 能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂而法。至于在求解有关 平面角的问题时.这平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这 包括正弦和余弦定理的知识，也会用到其它的平面几何知识。（1）定义法：利用二面角的平而角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角

11、的平而角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下而举几个 例子来说明。例1：如图，立体图形V-ABC的四个面是全等的正三角形，画出二面角V-AB-C的平面角并求出 它的度数。分析：由图可知，所求的二面角的棱是AB,两个面是面VAB和面CAB。由已 知可知这是一个正四而体，各个而是全等的正三角形，根据二面角的平而角 的定义，我们可利用正三角形的性质来找出平面角，取AB边上的中点D,连 结VD和CD。则NVDC是所求二面角的平面角。可设正三角形的边长为Q， 用解三解形的知识求出VD=CD= &0，在4VDC中，利用余弦定理可求得 2 cosZVDC=1/3,

12、 A ZVDC=arccos1/3评注：在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平而角的定义来找 出所要求的平而角。在求解时利用的是平而几何解三角形的知识。这也就是把 立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。.例 2：在三棱锥 P-ABC 中，Z APB= Z BPC= Z CPA=60°,求二面角 A-PB-C 的余 弦值。分析:所求二面角的棱是PB,两个面为而PBA和而PBC。用二而角的平面角的 定义找出平面角，在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平而PBA和半平而PBC 上作QM1PB. QN1PB,则由定义可得NMQN即为二面角的平而角。设PM=a，则在RtAPQM

13、和 Rt APQN中可求得QM=QN=y±a：又由APQN三APQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a，在三 2角形MQN中由余弦定理得cos/MQN=1/3,即二面角的余弦值为1/3。这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出二面角B-AC-Bi的平面角并求出它的度数。2、.边长为a的菱形ABCD , ZACB=60°,现沿对角线BD将其折成才60。的二 面角，则A、C之间的距离为 o (菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二而角的平面角) 3、正三棱

14、柱ABCA1B1C1的底面边长是4,过BC的一个平面与AAi交于D,若 AD=3,求二而角D-BC-4的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较 快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求 的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平而图形，正三角形，等腰三角形, 正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求 角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者 角，再用解三角形的知识去求解。(2)三垂线法：是利用三垂线的定理及

15、其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平而角的方 法。这种方法关键是找垂直于二而角的面的垂线。此方法是属于较常用的。M是PB的中点。例 3：如图，在三棱锥 P-A8C 中，PAL平而 ABC, PA=AB, AC=BC=1, ZACB=90°, 求证：BC_LPC, (2)平而MAC与平而ABC所成的二而角的正切。分析：第1小题较简单。第2小题，观察图形中的线面位置关系，已知PA_L平 面ABC. M是PB的中点，若在4PAB中取AB的中点N,则很快发现MN_L平而 ABC,作KN_LAC,连MK,则由三垂线定理可得MK_LAC,所以NMKN为所求的 二面角的平面角。而求其正切值，在

16、RtAMNK中求出MN和KN,而求MN和KN, 只需在4PAB和4ABC中就可求出，从而求出其正切值为、尼。评注：本题用定义法较难以实现，但由图可找到二而角一个面的垂线。从而作 棱的垂线，由三垂线定理证明是所要找的平面角。关键找到MN这条垂线。例4：如图，已知AABC中，AB_LBC, S为平面ABC外的一点，SAL平面ABC, AM±SB于M, AN_LSC于N,(1 )求证平面SABL平面SBC (2)求证/ ANM是二面 角A-SC-B的平面角.分析：由图和题意可得BCL平面SAB,从而可得证平而SABL平而SBC,而要 证二面角A-SC-B的平面角是/ ANM,从已知条件AM

17、XSB于M,由两个平而垂直的性质可得AML平面SBC,又有AN_LSC,所以由三垂线逆定理可得MN_LSC,从而证明了N ANM 是二面角A-SC-BC的平面角.评注：本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二面角的一个面的垂线，再由三垂线 的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的，所以观察分析图时要 注意多运用有关定理去判断。本题可变形为：如图，己知AABC中，AB1BC. S为平而ABC外的一点，SA_L平面ABC, ZACB = 60°, SA=AC = a，求证平面SABL平面SBC (2)求二而角A-SC-BC的正弦值.解第2小题的第一步是

18、按例4做出二面角的平面角，然后利用各个直角三角形求出AN和AM的长。总之，在运用三垂线找平而角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理， 按三垂线的条件，一垂线垂直二而角的一个而，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在 二面角的而内。（3）垂面法；作一与棱垂直的平而，该垂面与两二而角两半平而相交，得到交线，交线所成的 角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二而角两半平面都有交线的平面。例5：如图在三棱锥S-ABC中，SAJ_底而ABC, AB1BC, DE垂直平分SC s 且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB, SB = BC,求二面角E-BD-C的度卜、

19、数。W分析：由题意和图，可得SC_L平面BDE,则SC_LDB,又SA_L平而ABC,则 SA_LDB,从而得 BD_L平而 SAC。所以 BD_LDC, BD±DE,则NDEC 是 kV/一C 二面角的平面角。要求它的度数，可在RtSAC和ADEC中求，先求出NDSCA的度数,设SA=a,在图的直角三角形中求出SB = BC= V2a, AC =V3a,故得到NSCA=30°,从而得到NDEB=60°。评注；本题的垂直关系很多，如何利用好这些关系？这需解题的目标要明确才能运用好这些关系。 从这些垂直关系很容易就判定BDL平面SAC,而BD是二面角的的棱，所以平面

20、SAC是二面角的垂 面，由二面角的平面角的定义就找到了NEDC是所求二面角的平面角。它的应用例如：如图，ACua,BDu0，。与£所成的角为 60°, AC_L/于 C, 3。_1_/于8, AC=3, BD=4, CD=2,求A、B两点间的距离。/ / 7由题意要应用二面角的度数，要找出它的平面角，可过C作 /CEDB,且 CE=DB,连 AE,则很容易得到此而 ACE, Z （ fACE是二而角的平而角，为了求AB,连BE,在AACE中由 、B余弦定理求出AE,在RtZkAEB中可求出AB的长。总之要会运用此法，对线线、线而、面面的垂直关系要有很好的判断能力，才能找到解

21、的思路。（三）寻找无棱二而角的平而角的方法和求解。无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则 需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二而角的解法解题。 这种主要有两类：一类是分别在两个而内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平 面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2,这点在二面角的棱上，连公共点和这点 就是二面角的棱；另一类是分别在两个而内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判 定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个而的交线。由公理4,可知这两条 直线平行于二面角的棱。所

22、以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二而角的棱。例5：如图，AABC在平面上的射影为正若BB尸一, 2CCi=ABi=1,求平而ABC与平而ABC所成锐角二而角的大小。- J-y分析：所求的二面角只各一个公共点A,观察图可知二面角的两个面内BC和共而但不平行，所以若延长它们必交于一点D, Z/由公理2知，点D在二面角的棱上。所以连AD就找到棱。接着是找出二面角的平面角。由图形的性质知，CiD=2BiC1=2, AiCi = 1, ZAC1B=60°,用正弦定理或余弦定理都可求出N3AD = 90。，再由三垂线定理得NCA。为二面角的平而角，然后在RtZkCAQ中可求得

23、NCACi=45%评注：本题是属于第一类的问题。延长两条直线交于一点从而得到棱， 再用三垂线法找二而角的平面角。此题可变为：如图,在底而是直角梯形的立体图S-ABCD中，NABC=90°, S4 "L底而 ABCD. SA=AB = BC = 1, AD=0.5,求而 SCD 与而 SBA 所成二 面角的平而角的正切值。由图可知二面角有一个公共点S,但在两面中的AB和CD共而且不平 行，所以延长交于点E。再由题意证明BC_L平面SAB, SBJ_SE,由三垂线 定理可知/BSC是所求的二面角。在RtASBC中可求得正切值为正。2例6：如怪|,在所给的空间图形中ABCD是正方形，PD±Hn ABCD, PD = AD.求平面PAD和PBC所成的二面角的大小。分析：由图知二面角有一个公共点P，在两而内的AD和BC是共面且平 行，所以AD平而PBC,由直线和平面平行的性质知，过AD的平面PAD 与平而平面PBC的交线（即为二面角的棱）与AD平行，所以过P作PE AD,则PE为二面角的棱。由题意PD_LifffABCD,所以PD_LAD, PD1 PE,又可证得CD_L平而P