北京导数专题汇编

1、海淀期中文科18.(本小题满分 14 分)(I)当a 1时，求函数f(x)的单调区间;(U)当a 0时，求函数f(x)在区间0,1上的最小值.已知函数f(x)ax 1答案18.(本小题满分 14 分)解：(I)当a 1时，f(x) ,x Re由f (x) 0-1分f(x),f(x)随x的变化如下:x(,2)2(2,)f (x)+0所以f(x)f(x)/极大值-2分 所以f(x)的单调递增区间为(,2),单调递减区间为(2,) .-1分ax a 1xex 0,1.- 1 分令f (x) 0,因 为a 0,解 得x 111.-1分a当110时，即10对x 0,1 恒成立，a所 以f (x)在0,1

2、上 单 调 递 增，.1分所以f(x)minf(0)1(U)由f(x)ax 1得f(x)当0 1丄1时，即a 1时，f(x),f(x)在0,1上的情况如下:ax01(0,1一)a11 - a1(1一，1)a1f (x)0+f(x)极小值/综上，当14时，函数f (x)存在最小值.海淀期末理科已知函数f(x) lnxa1.x(I)若曲线y f(x)存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；(U)求f(x)的单调区间；(川)设函数g(x)-,求证：当1 a 0时，g(x)在(1,)上存在极小值In x答案19.(本小题满分 14 分)解：(I)由f(x) In x 1得x“、1 a x azc、(x

3、)22(x 0)x x由已知曲线y f(x)存在斜率为1的切线,所以f(x)1存在大于零的实数根,即x2x a 0存在大于零的实数根，因为y x2x a在x 0时单调递增,所以实数的取值范围(-,0).(U)由f(x)今,x 0,a R可得x当a 0时，f (x) 0，所以函数f(x)的增区间为(0,);当a 0时，若x ( a, ),f (x) 0，若x (0, a),f (x)0,所以此时函数f(x)的增区间为(a,)，减区间为(0, a).Inx-1(川)由g(x)及题设得g(x)x2竺,In x(In x) (In x)由1 a 0可得0 a 1，由(II)可知函数f(x)在(a,)上

4、递增,所以f(1)a10,取xe，显然e1,aaf (e) Ine 10,ee所以存在X。(1,e)满足f(Xo) 0，即存在x0(1,e)满足g(x0)0，所以g(x),g(x)在区间(1,)上的情况如下:x(1,x0)x0(x0,)g(x)0g(x)极小/所以当1 a 0时，g(x)在(1,)上存在极小值.(本题所取的特殊值不唯一，注意到0(x 1)，因此只需要In x01即可)海淀一模18. (本小题满分 13 分)已知函数f (x) x22ax 4(a 1)ln( x 1)，其中实数a 3.(I)判断x 1是否为函数f(x)的极值点，并说明理由；(U)若f (x) 0在区间0,1上恒成

5、立，求a的取值范围.答案18.(本小题满分 13 分)解：法 1：(I)由f(x) x22ax 4(a 1)l n( x 1)可得函数定义域为(1,),f(x) 2x 2a4(a 1)x 122x(1 a)x (a 2)x 12(x 1)x (a 2)x 1由f (x) 0得x(1,X2a 2.因为a 3，所以a 2 1.当a 1时，a 21，所以f(x),f(x)的变化如下表:x(1,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值/当1 a 3时，1 a 2 1,f(x),f(x)的变化如下表:x(1,a 2)a 2(a 2,1)1(1,)f(x)00f(x)/极大值极小值/综上，X 1是函数f (

6、x)的极值点，且为极小值点(U)易知f (0)=0,由(I)可知, 当a 2时，函数f(x)在区间0,1上单调递减,所以有f(x) 0恒成立;当2 a 3时，函数f (x)在区间0, a 2上单调递增，所以f(a 2)f(0)0，所以不等式不能恒成立；所以a 2时有f (x)0在区间0,1上恒成立.法 2:(I)由f(x) x22ax 4(a 1)1 n( x 1)可得函数定义域为(1,),f (x) 2x 2a4(a 1)x 12x2(1 a)x (a 2)x 1令g(x) x2(1 a)x (a 2)，经验证g(1) 0,因 为a 3， 所 以g(x) 0的 判另I 式2 2 2(1 a)

7、24(a 2) a26a 9 (a 3)20，说明：写明(1 a)24(a 2) a26a 9 (a 3)20也可以由二次函数性质可得，1 是g(x) x2(1 a)x (a 2)的异号零点，所以 1 是f(x)的异号零点, 所以x 1是函数f(x)的极值点.(U)易知f (0)=0,因为f(x)2(x坐(a2,x 1又因为a 3，所以a 2 1,所以当a 2时，在区间0,1上f(x) 0，所以函数f(x)单调递减，所以有f(x)0恒成立；当2 a 3时，在区间0, a 2上f(x) 0，所以函数f(x)单调递增,所以f(a 2)f(0)0，所以不等式不能恒成立；所以a 2时有f (x) 0在

8、区间0,1上恒成立.海淀二模19. (本小题满分 13 分)已知函数f(x) eaxx.(I)若曲线y f(x)在(0, f(0)处的切线I与直线x 2y 3 0垂直，求a的值;(U)当a 1时，求证：存在实数xo使f (xo) 1.答案19.(本小题满分 13 分)解：(I)f (x) aeax1,因为曲线y f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x 2y 3 0垂直，所以切线|的斜率为 2，所以f(0) 2，所以a 3.(U)法 1:当a 0时，显然有f(1) ea1 0 1，即存在实数xo使f(xo) 1;当a 0,a 1时，由f(x) 0可得x ln丄，a a所以在x (, - ln

9、1)时，f (x) 0，所以函数f(x)在(丄In丄)上递减；a aa ax (bn丄，)时，f(x) 0，所以函数f(x)在(丄“丄，)上递增a aa a所以fQIn1) 1(1 Ina)是f (x)的极小值.a a a由a1可得n 0,由函数f(x) eaxx可得f(0) 1,a a所以f(丄|n) f(0) 1,a a综上，若a 1，存在实数xo使f(xo) 1.(U)法 2:当a 0时，显然有f(1) ea1 0 1，即存在实数xo使fg) 1;当a 0,a 1时，由f(x) 0可得x1In丄，a a所以在x (, -1n1)时，f (x) 0，所以函数f(x)在(丄In丄)上递减；a aa ax (hn丄，)时，f(x) 0，所以函数f(x)在(丄In：)上递增.a a