2018年高考数学一轮复习考点一篇过专题40抛物线理

1、考点 40 抛物线君例凛夂(1) 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(2) 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质、抛物线的定义和标准方程1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛物线的准线抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴.注意：直线I不经过点F,若I经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线I的一条直 线.2抛物线的标准方程(1 )顶点在坐标原点，焦点在(2 )顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为x

2、轴负半轴上的抛物线的标准方程为2y = 2px(p 0)；2y =-2px(p 0)；(3 )顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为2x =2py(p 0);(4 )顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为2x - -2py(p 0).远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永pv0 的错误.-2 -、抛物线的几何性质1.抛物线的几何性质标准方程2y = 2 px( p 0)2y = -2 px( p 0)2x =2py(p0)2x =2py(p0)图形L*bI占书0

3、xoX几何性质范围x0,y Rx兰0, y Ry 3 0,xw Ry兰0,xw R对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称焦占八 、 八、F(匕0)2F(-)2F（0,号）F(T准线方程Px =一一2px=一2pyTpr顶点坐标原点（0 , 0）离心率e=12.抛物线的焦半径抛物线上任意一点P（Xo,y。）与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径.根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表:抛物线方程2y = 2 px( p a 0)2y = -2 px( p a 0)2x =2py(pn0)2x =-2py(pn0)焦半径公式| PF |=p+x2|PF戶上-X。2| PF戶上+

4、y。2|PF戶y。23.抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦.焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线-3 -AB为焦点弦,A(Xi,yJ,B(X22),则抛 物线 方程2y = 2 px( p a 0)2y =2px(p:0)2x =2py(p 0)2x = -2 py( p 0)焦占八、 、弦公式| AB|= p+(xi+X2)| AB|=p (Xi+X2)| AB|=p + (yi + y2)| AB|=p (yi + y2)其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB称为抛物线的通径.对于抛物线y

5、2=2px(p 0)，由A(号，p),B(f,-p)，可得|AB| = 2p，故抛物线的通 径长为 2p.4.必记结论直线AB过抛物线y2=2px(p 0)的焦点，交抛物线于A(xi,yi) ,B(X2,y2)两点，如图:2(1)yiy2=-p2,X1X2=号.2 |AB| =Xi+X2+p,Xi+X22JX,X2=p,即当Xi=X2时，弦长最短为 2p.的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设-4 -1 1 2(3) 两+両为定值P.2p(4)弦长AB=L(a为AB的倾斜角).sina(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A B在准线上射影的张角为 90賀 2 点考向一考向一抛

6、物线的定义和标准方程1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M一个定点F(抛物线的焦点)条定直线I(抛物线的准线)，一个定值 1 (抛物线的离心率)2抛物线的离心率e= 1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为所以抛物线的方程为x2=y,将Am4)代入抛物线的方程，解得 m= 2.典例 2 已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),耳 1,0),且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为点到准线的距离，即PF| = x+#或 |PF使问题简化.典例引领典例 1 已

7、知抛物线C: x2=2py(p0)上一点A(rnj4)到其焦点的距离为卫，则p,m的值分别为4A.p=1, m=2B.p=1,m=2C.p=-, m=22D.p=, m=22【答案】D【解析】由-5 -2 2B.1 ir1（x主0）2 2Ax y A.1（x工 0）43-6 -2 2x y C.1（y丰0）43【答案】D【解析IS坐标原点为认抛物线的焦点为昨M崖魅J(过点AAO分另怖AA丄口矿丄WP丄其中仲P为垂足测/为圆的切线0为切点且!X4-朋T0P =4,T抛物线过点扎5打册|=亦/旧冃用肌二迅4出刚=屈T-：胁：勻血；=2点尸的轨迹是以期为焦点的椭圆二在抛物线上匚焦点F不在工轴上故抛吻

8、线的焦点的轨迹方程是+2=1),43变式拓展1.已知点F是抛物线y2= 4x的焦点，M N是该抛物线上两点，|MF1 + |NF| = 6 ，则MN中点的横坐标为A.-B. 22C.5D. 32考向二求抛物线的标准方程1求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数P，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程2用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：22xy D.1（y工 0）-7 -8 -若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程典例引领典例 3 若点AB在抛物线y2=2p

9、x(p0)上，0是坐标原点，若正三角形0AB勺面积为 4 ,则该抛物线的方程是A. y2空 x3【答案】A4后;,故一3AB=4J；V ,故AB=44正三角形0AB的高为 2,故可设点A的坐标为(2,2),代入抛物线方程得 4=4p,解得p=丄 3 ,故所求抛物线的方程为y2=3Nix.3典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程.(1) 过点(-3,2);(2) 焦点在直线x-2y-4=0上.【解析】设所求抛物线的方程为或2py(p0).2.9丁过点(-3,2)4 =-2px(-3)或9 = 2/二卩二二或卩=匚一34491q故所求抛物线的方程为Z=-|x或宀討

10、对应的准线方程分别是?y = -.(2)令X= 0得y = -2；令y = 0得x=4,抛物线的焦点为(4,0)或(0, -2).当焦点为(4,0)时，p=4 p =8，此时抛物线的方程为y2=16x；2B.C.y2=2xD.yx3【解析】根据对称性,可知ABL x轴,由于正三角形0AB的面积是-9 -当焦点为(0,一2)时，P = 2 , P = 4，此时抛物线的方程为X2=_8y.2故所求抛物线的方程为y =16X或X2= -8y，对应的准线方程分别是x = -4,y =2.变式拓展2 22.已知抛物线的顶点在原点， 对称轴重合于椭圆 乞_L=1短轴所在的直线，抛物线的焦点916到顶点的距

11、离为 5,求抛物线的标准方程考向三焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键典例引领典例 5 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(Xi,yi)，B(X2，y?)，若|AE|=7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为X=- 1.由抛物线的定义知PPc r,即VI +V! - -，得557一、：，于是弦AB的中点M的横坐标为一，因此点M到抛物线准线的距离为1.222典例 6 已知

12、过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为 2：的直线交抛物线于A Xi,yi),B(X2,y2)(Xi |TQj-广小 -严故选A.典例 8 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点，点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PFJ+|PA的值最小.2 2【解析】T(-2) |AB|,当且仅当P, QA三点共线时,|PF+IPA取得最小值,即|AB|. A（-2,4）,不妨设|PF|+|PA|的值最小时，点P的坐标为（-2,y。），代入抛物线方程x2=8y得1yo=.2使|PFJ+|PA的值最小的抛物线上的点P的坐标为（-2,丄）.2变式拓展4已知点 是抛物线上一点，设点 到此抛物线准线的距

13、离是，到直线，-二的距离为 ，则 的最小值是A. 51V55考向五实际应用题抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意建立恰当的直角坐标 系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进 而解决实际问题B. 4D.115-15 -典例引领20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 米，目前吃水线上部分中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现在状况下还可多装 1000 吨货物，但每 多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况 下能否直

14、接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系卜810 .任i-6AT拱顶距水面米，桥墩高出水面4米,设抛物线方程是云=2砂则102=2p（-2）, Ap=25,二抛物纟戋的方程为宀一丸厂 即y =-占込1若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当x= 8 时，y=丄 X82=128（米）50即船体在x=_8之间通过，B（8,-1.28），此时B点距水面6-1.28 = 4.72（米）而船体高为 5 米，.无法通行.又5-4.72 =0.28（米），0.28 0.04 = 7,150 7 =1050（吨），若船通过增加货物通

15、过桥孔，则要增加 1050 吨，而船最多还能装 1000 吨货物，.通过增加货物也无法通行，故只好等待水位下降，船才能通过该桥孔变式拓展典例 9 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为-16 -5辆卡车高 3 m,宽 1.6 m,欲通过截断面为抛物线型的隧道，已知隧道的跨度恰好是拱高的 4 倍,若跨度为am,求使卡车通过的a的最小整数值A./ 1( ,0)8pB.1( ,0)16pC.(0,-2p)D. (0,-p)2.以x轴为对称轴，通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是A.2八y=8xB.2y=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y3.已知

16、抛物线/上一点Q：,且Q点到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离是A. 4B. 8C. 12,若抛物线y2=2x的焦点为F,点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|-|QF|的最小值是|FA|+|FB|+|FC|A. 3D. 164.已知点M-3,2)是坐标平面内一定点A.C.7252B. 3D. 25 .设F为抛物线C:x2=12y的焦点,A、B C为抛物线上不同的三点B. 9D. 181 .抛物线x=-4py2(p0)的焦点坐标是-17 -C. 12A.(0,3B.U,+R)33C. 1,+R)D. (0,12/27若抛物线y=2px(卩)的焦点与双曲线y=1 的右顶点重合，则p=_ .48

17、 .已知等腰梯形A B C D勺顶点都在抛物线y2=2 p X p 0上 ,且AB/CD,AB =2,CD =4,NADC=60*，则点A到抛物线的焦点的距离是 _ .9已知过抛物线x=4y2的焦点F的直线交该抛物线于M N两点，且|MF|=-,则8|MN|=_.10已知抛物线Cy2=ax(a0)的焦点为F,点A(0,1),射线FA与抛物线C相交于点M与其准线相交于点N,若|FM: |MN=1 : 3,则实数a的值为_ .11.已知抛物线J:的焦点为二准线方程是二 一巾.(1) 求此抛物线的方程；(2) 设点在此抛物线上，且；厂 :,若门为坐标原点，求厶OFM的面积6.已知抛物线y2=2px(

18、p0)的焦点为F,抛物线上的两个动点AB始终满足/AFB=60 ,过弦AB的中点H作抛物线的准线的垂线HN垂足为N,则冏|AB|的取值范围为-18 -12.已知A(Xi, yj, 0X2,y2),C(X3,y3)是抛物线y2=2px(p0)上的三个点,且它们到焦点F的距离|AF|,|BF|,|CF|成等差数列，求证：2 詔厂+.13.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在I时，拱顶离水面 2m,水面宽4m.若水位下降 1m 后,水面宽为多少?14设A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且满足OALOBO为坐标原点).求证:(1)AB两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值；-19 -(2)直线AB

19、经过一个定点-20 -1.（ 2016 新课标全国 I 理科）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线 于D, E两点已知|AB=4, 2DE|=2、 ,5， 则C的焦点到准线的距离为A. 2B. 4C. 6D. 82.（ 2017 新课标全国 I 理科）已知F为抛物线C: y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的 直线li,丨2,直线li与C交于A、B两点，直线丨2与C交于D E两点，贝U|AB+|DE的最 小值为A. 16B. 14C. 12D. 103.（ 2016 四川理科）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一B.D. 1y2=4x上的点M到焦

20、点的距离为 10,则M到y轴的距离是5.（ 2017 新课标全国 II 理科）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FMM是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM勺斜率的最大值为4.（ 2016 浙江理科）若抛物线直通高考-21 -的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，贝U FN =_.113 96 ( 2017 浙江)如图，已知抛物线x2=y，点 A(，抛物线上的点2 42 413P(x, y)( x )过点B作直线AP的垂线，垂足为Q22(1)求直线AP斜率的取值范围;* )求| PA| | PQ|的最大值.7. (2016 新课标全国 III 理科)已知抛物线C:y2=2

21、x的焦点为F，平行于x轴的两条直线11,J分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.-22 -(1若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.变式拓展1 .【答案】B【解析】由题意得令心，口爪心詁二),由抛物线的几何意义得|MF| + |NF|=6丨十i+,+丨，可得入丨+X J,所以MN中点的横坐标为凶奁=2 .选 B.22.【解析】法一，由已知条件可知抛物线的对称丰助对扎二设抛物线的方程为=莎或护二-细0)又T抛物线的焦点到顶点的距离为 X 二彳=爲3=1。二所求抛物线的方程为尸=2血或尸=-20 x.法二：由已知条件

22、可知抛物线的对称轴为x轴，.设抛物线的方程为y2=m m0).-23 -又抛物线的焦点到顶点的距离为论20.所求抛物线的方程为y2= 20 x或y2=- 20 x.3.【答案】C【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直， 所以线段AB是抛物线的通径，则2pR，12所以p=6，又点P到AB的距离为p，所以ABP的面积为-p 2p = p2=36.故选 C.24.【答案】C【解析】：点尸到删丄缶的准线的距离必等于点卩到抛物线严二牧的焦点的距离旳，则必+亦 的最小值即为片到直兔*I?二0的距离5.【解析】以隧道顶点为原点，拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点B的坐标为（a, -

23、a）.24aa由抛物咛=4再（期.：（% +如罰=1 + 2x0-12故选C-24 -设隧道所在的抛物线方程为x2=mym0）,则（一）2=m（-一），解得n=-a,24所以抛物线的方程为x2=-ay.-25 -aa o 8欲使卡车通过隧道,应有y-()3,即-3,44a由于a0,故a12.21,所以a应取的最小整数值为 13.考点冲关1 .【答案】B【解析】抛物线方程的标准形式为y2=-丄x(p0),则焦点坐标为(1,0).4p16p2.【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则 2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选 C.3.【答案】B【解析】本题主要

24、考查了抛物线的焦半径公式，由题意可知，抛物线的焦点为卫,0 j,准2,所以3abHNa=b时等号成立,故冠的取值范围为-27 -p _、.3、.3 _ 7.32一34一129【答案】2：丨I1y2=x,其焦点为F(,0),准线方程为x=-,T|MF|= | . | . 81 11-,点M的横坐标为，故直线MF垂直于x轴，8|NF|=|MF|=1,|MN|=.810 【答案】【解析】依题竜得焦点尸的坐标为Q 股恵在抛物线的准线上的射影为尼连接逝宙抛物线的定义釦41|.U?l=|AK,a为PM：|=1：无所以id：区M=2芒；1最咕二 = 一忌呦厂2倉所以 二_0aiiwi4=2 .二,解得a=.

25、a11.【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，所以卫=1，得 .2所以抛物线的方程为设:,因为点 淬匕迁:在抛物线上,且 1- 1 -,8 【答案】7皿12【解析】由 题 意 可设A m,1 , D m 3,24 = p2m仁2 pm73m = 因此点A到抛物线的焦点的距离是【解析】抛点M到抛物线的准线的距离为-28 -由M2,y在抛物线上，满足抛物线的方程，知y0= 2、2,所以OFM的面积为1OF212.【解析】抛物线的准线方程为x= 一卫.2由抛物线的定义知,|AF|=Xi+P,|BF|=X2+卫,|CF|=X3+P.2 2 2/ |AF|,|BF|,|CF|成等差数列， 2|BF|=|

26、AF|+|CF|,二 2x2=x1+X3.2 2 2又y2=2px, 2宜 = 卡匹2p2p 2p口【解析】建立如團所示的平面直角坐标系设抛物方程为昭二-羽劭则丿-劭将其坐标代入JC2= -2py得P-1. - -2y.当水面F降Im,得一习（的0）,将其坐标代入*=一即得 Q i兀0 珈=V6 冰面|CD|=2V6m由抛物线定义知MF =x0十卫=3，得=2.-29 -14.【解析】设A(xi,yi),B(x2,y2),则i=2pxi,=2px2.-30 -/ OAL OEB XiX2+yiy2=0.2 2 2 Ur；=4pxiX2=4p(-yiy2), yiy2=_4p,XiX2=4p2.

27、即AB两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值.； 一 .7；=(yi-y2)(yi+y2)=2p(xi-X2), 当xi=X2=2p时，直线AB的方程为X=2p;当一时 5 722P当Xi工X2时，Xi X2yiy2则直线AB的方程为y-力 并 x - Xi,直线AB过定点（2p,0）.直通咼考i .【答案】B【解析】如圉，设抛物线方程为於=2严心丸），圆的半径为耳曲酗分别交x轴于点，则1歼眄1即/点纵坐标为2血，则点横坐标为土0C=-由勾股定理知PPDF + OF|MDOrACOCMAOr1?即(据严+=(2血尸+(上几解得2p2py=x-71 + ?2 Xi + 72+yi=7172x+Yi

28、 + V2又yiy2=-4-x-71 +乃2p71 + 2(x-2p).-31 -p = 4，即C的焦点到准线的距离为4,故选 B.ki = -k2= 1（或-1）时,取等号.故选 A.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立， 求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错误 所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考 不好的主要原因2

29、.【答案】A【解析】设A（xi, yj, B（X2, y2）,。佻小），E（X4, y4），直线h的方程为y=ki（x_1），y2= 4x2 222方程 ，得k1x -2k1x-4x k,=0 ,.x1x2y二ki(x-1)-2kf - 4一k22kf4ki22k2+4同理直线l2与抛物线的交点满足x3xk2由抛物线定义可知| AB | | DE | =为x2x3k k； 8=16，当且仅当专4讹 Z-32 -表示，设直线的倾斜角为：，则| AB|马二，则|DE卜 空2，所以sin m. 2 / , n cos ctsin (a+)2| AB | |DE |2f孳=4(丄cos a sin a

30、 cos a2 211122sin：cos :2) =4(22)(cos一八sin :) = 4(222)_4 (22)=16sin _：i cos _：i sin二cos _：sin :3. 【答案】C【解析】设尸（2卫巴2少）.皿匕j）（不妨设 d,则丽=2戸*-?2円丁而吕丽*1、2t二2t时取等号，.koM max二牙，故选 C.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要 求最大值，因此我们把斜率k用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的 知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.4.【答案】9【解析】xM 1 =10= xM=9.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离.5.【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作MB_I于点B,NA_I于点A,由抛物线的解析式可得准线方程为x=-2,则|ANF 2,FF |,4,2362 pt-33 -所以PA PQ二-(k-1)(k 1)3.