shearlet剪切波的构造

1、剪切波的构造Shearlet是一类新的多尺度几何分析方法，该方法通过对基本函数的膨胀、 剪切和平移变换来构造，体现了函数的几何和数学特性，如近几年来许多领域的 研究学者所强调的函数的方向性、尺度和振荡等。Shearlet可以在广义多分辨率分析的框架中研究，这样就可以获得像小波一样的迭代算法，并推广到经典的级联算法。因此Shearlet变换作为一种新型的多尺度几何分析工具为图像处理领域 的研究人员所广泛接受。1、 Shearlet及其变换的定义函数f(x)的连续Shearlet变换为：SHf(a,s,t)=(fWaQ(1.1)其中，中a,s,t(x)=a口十(AB(x-1)(1.2)为剪切波函数

2、，aw R +为尺度参数，sw R为剪切参数，tw R2为平移参数， A=(a,0;0, a1-,2 )是各向异性膨胀矩阵，B =(1,s;0,1)是剪切矩阵。对任彳 £=(匕工2)wR2,q #0,令中满足憎力/仁)叱住)(1.3) 1其中，些为中a,s,t的傅里叶变换，匕为连续小波函数，笑小第R ), supp附 w-5/4, -1/4 L 1/4,5/4 ，匕为 bump 函数，必W C( R) , supp也运-1,1, 在区间-1,1上巴0且俨2|=1。由以上定义可得Wa,s,t(x)的傅里叶变换为%，小户才修兀出出冷。21 + "I I G刀显然，剪切波的几何性

3、质在频域上更为直观。由歌和劈2的支撑条件很容易看到嵋Ut有如下的频域支撑：supp*,s，u)：*斗，5H黑7+小 时由上式可知，在不同尺度，Wa,s,t支撑在以原点对称、以s为斜率的梯形对上；改 变剪切参数s,支撑区域可获得保持面积不变的旋转；旋转区域由尺度参数a控制，随着a-0,支撑区间逐渐变窄。图 1.1 给出了(a=1,s = 0),(a=1/4,s=0),(a=1,s =图1.1不同a和s值时Wa,s,t的频域支撑连续剪切波变换的平移参数可检测到所有奇异点的位置， 而剪切参数则可显 示出奇异曲线的方向。2、 Shearlet的离散化为了实现剪切波的离散化，令尺度参数aj=2j (产Z

4、),剪切参数Sj,k =ka12=k2j/ 22 k Z),以及平移参数 tj,k,m=Daj,sj,m(mw Z2)。假定(2.1)Z 平(2°jw，=1, w > ja8w1 W1(2.2)由式(2.1)和式(2.2)可知：对任何 6,7户Co ,有2，22j, A2 I A 22Z Z 悭0)(七A/B一 十£ £ H(2 j1)也/k) =1j 且 k=-2jj>0k=2j_1其中，C0=(，$)wR2:|q“8,|m1,如图 2.1 (a)所示，即函数*(之A 0BV)形成Co的一个剖分,如图2.1 (b)所示。由以上的讨论，可知集合32(0

5、k,m(x) = 24 川0) (B 0 A 0x-m): j>0,-|2j12> k < 22'm Z2 j是 L2(Co)V =f wL2(LT):supp?uCo得一个紧框架。其中,由图2.1 (b)可以看出，剪切波的每个元素V j,k,m支撑在梯形对上，每一个梯形包含在一个大小近似为2j M 22j的盒子里,方向沿着斜率为12的直线。(b)剪切波的频域剖分图同样可以构造一个L2(G)V的紧框架，其中 1由下式给定芦Ci是垂直锥?(1)( )='2( 2)?2()2(2.3)则集合3jH j(1k,m(x) = 24中(BkA1j x-m): j>

6、0,-2j 2 1< k<2j2 ,m Z2是L2(G)V的一个紧框架。其中，A=|202。最后，令小三L2( R2 )满足：对任何WR2,有22j 1£忖1A丁B0k) j -0 k=-2 j2j 4+£工聆ABj) =1j .0 k=-2 j2上式暗含 supple 1/8,18 f ,且 ?=1 。因此剪切波集合为彳-m(x) =，(x -m): m Z之)U； jk)m(x): j _0, 一 2j2 <k< 2j2 ,m Z2,d =0,1，3、剪切波的主要性质从上述可以看出，剪切波具有以下良好特性：(1)剪切波具有非常好的局部化特性。在上述剪切波的构造中，剪切波在频域 内是紧支撑的，并且在空域内具有快速的衰减特性。(2)剪切波满足抛物线尺度化特性。每一个元素5j,k,m支撑在一个梯形对上，且 每个梯形对包含在一个大小近似为2jM22j的盒子内，如图2.1 (b)所示。这是因 为剪切波具有非常好的局部化特性，在空域内每个 中j,k,m本质上支撑在一个大小 为2父22的盒子里面。当jTK时，元素的支撑区间会逐渐变窄。(3)剪切波体现了非常高的方向敏感性。元素 H?j,k,m的方向是沿着斜率为-12- 的直线。相应的元素中