关于高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

1、精品word ,欢迎共阅高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1 .极限的保号性很重要：设lim f (x) = A ,x > Xo(i)若 A>0,则有 0 >0,使得当 0<|xx0 K6 时，f(x) >0;(ii )若有 6 >0,使得当 0 <|x-x0 |<6 时，f (x)圭 0,则 A 之 0。2 .极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为xt七时函数的极限和xt x0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：(i )数列&n收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是

2、其奇子列和偶子列都收敛于a”(H) lim f(x)=A= lim f(x)= lim =A x1二x)-二x二(川)lim f(x) =A= lim = lim =Axx0xx0- xx0(iv)单调有界准则(v)两边夹挤准则(夹逼定理 /夹逼原理)(vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限lim f (x)存在的充分必要条件是： x )x0VEA0J6 A0,使得当 X、x2EUo(x0)时，恒有|f(x1) f(x2)K9二.解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。只能在乘除 时候使用。例题略。 2 .洛必达(L' hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)

3、它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是 N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次，必须是函数的导数要存在，假如告诉f (x)、g (x)，没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3种情况：0(i) “0” “一”时候直接用0(ii) “ 0 ,笛” “ 88： 应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通11项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)=#L或f(x)g(x)=l; f(x

4、)_g(x);而 f)g(x)f(x)f(x)g(x)g(x)g(x)1n f(x)(iii) “0°” “L “ s0”对于哥指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即f (x)=e,12=1 xx-2!sinx3 x =x 35-(-1)m 5!x2" ; 八 m+ cos6x2m 书(-1)x(2m 1)!(2m 3)!cos=21-x2!4x4!(-1)m x2m (1)m 1cos" x2m 2(2m)!(2m 2)!ln (1+x) =x-十一十23n(-1)nJ(-1)nnxn 1(n 1)(1 ix)n 1精品word ,欢迎共阅这样就能把哥上的函

5、数移下来了，变成“0 g”型未定式。3 .泰勒公式（含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）n-xx e n 1+ +x ;n! (n 1)!3u _ .u(u -1) 2入 n n入 n $1u _n J n：；1(1+x)=1 uxx Cu xCu (1x)x2!以上公式对题目简化有很好帮助4 .两多项式相除：设an,bm均不为零，P (x) =anxn+2口口"+ax+a0, Q(x) =bmxm +bmxm，十一 +b1x + b0(i)limxan /、,(m =n)bnP(x) =0,(n <m)Q(x)(ii二，（n m）)若 Q(x0)#。，则 = xim(0Q

6、(x)P(x。)Q(Xo)5 .无穷小与有界函数的处理办法。例题略。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的 函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。6 .夹逼定理：主要是应用于数列极限， 常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设aAbcA0,n n n nXn=Mab c，求 limXnlim xn =an n 1解：由于a <xn <an/3,以及lim a =aim (an/3) =a ,由夹逼定理可知n ，n .求“mJ .六1(2n)2解：由 04（n 11）21(2n)21：-2n1中一 十2 n

7、11,以及lim 0 = lim _ = 0可知)原式=0 nnn n求1 + L 1 +12 +1Vn2 +2'n2 +n /精品word ,欢迎共阅由 1 111一 J 4, 1上n nnn2 1n1lim1=lim-2=limn j： ： n)二，n -n n )：11111n十 - 4<+-=十'. 一 _n 2 n2 -n n2，n n2，n.n2，n n2，n=1得，原式=111n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如:2n 1.求lim（1+2x+3x +nx ） （|x|<1）。提示：先利用错位相减得方法对括号内的

8、式子求和。n ,8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：111=lim += = + ! limqm： 1 2 2 3 n(n 1) 1nmL1=1(n - 1)1-2 V3 "" -1n-1(n1)9.利用xx与斗极限相同求极限。例如:（1）已知a1=2,an书=2+工，且已知iman存在，求该极限值。解: 设 lim an=A，n ，（显然A>0）贝U a =2+工，即A22A1=0,解得结果并舍去负值得AA=1+.2（2）利用 单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如设 x1 二 2,x2= 2 二 2 ,

9、xnxn解：(i )显然 x1 <x2 <2 (ii )假设 xk<xk <2,则 d'2 + xk川%；2 + xk <422 ,即 xk <xk书 <2。所以,&口是单调递增数列，且有上界，收敛。设lim = A,(显然 A A0)则 A= J2+A ,即 A2 A 2 = 0。n >解方程并舍去负值得A=2.即lim xn =2n .10.两个重要极限的应用。（i） lim 皿 =1常用语含三角函数的“ 0”型未定式1.(ii) lim(1十x T =e ,在“ 1 型未定式中常用 x 011.还有个非常方便的方法就是当趋近

10、于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的,nn快于n! ,n !快于指数型函数bn（b为常数），指数函数快于募函数，哥函数快于对数函数。当 x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限 xmoarccosx 一一.-° 斛：设 t = arccosx 一 一，贝1Jxt 0时，t t 0,且x = cos(t +) = -sin t °sin2x22原式=ixmarccosx 2x 2sin2x 2xMimx 50arccosx 22xt-2sint713.利用定积分求数列极限。例如：求极限J:。由于n nlimn-j二n=lnm：2 1=ln2 x14.利用导数的定义求“ 0 ”型未定式极限。0般都是XT 0时候，分子上是f(a+x)f(a)”的形式，看见了这种形式要注意记得利用导数的定义。(当题目中告诉你 就是暗示一定要用导数定义)f'(a) =m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上例:设f(a)>0, f (