2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件理

1、第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条基础知识自主学习基础知识自主学习ET知识梳理-i 四种命题及相互关系互逆逆命题(苦P*则,(若务则卩1互I1-互逆否命题(若衲则咽)*（朴则FjTh ）2 四种命题的真假关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3 充分条件与必要条件(1)如果p?q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;如果p?q,但q?p,则p是q的充分不必要条件;如果p?q,且q?p,则p是q的充要条件;如果q?p,且p?q,则p是q的必要不充分条件;如果p?q,且q?p,则p是q

2、的既不充分也不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A=x|p(x) ,B=x|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A? B,则p是q的充分条件；若A?B,则p是q的必要条件；若A=B,则p是q的充要条件；(4) 若A B,则p是q的充分不必要条件；(5) 若AB,则p是q的必要不充分条件；若A B且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件.【思考辨析】2判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1） “X2+ 2x 3y,则x|y| ”的逆命题B. 命题“若x1，则x21”的否命题C. 命题“若x= 1

3、，则x2+x 2 = 0”的否命题D. 命题“若x20,则x1 ”的逆否命题答案 A解析 对于 A,其逆命题是若x|y|，则xy,是真命题，这是因为x|y| y,必有xy.2.（教材改编）命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是（）A.若xy，贝 Ux2y2B.若xy，贝 Ux2y，贝 Ux2y2D.若xy，贝 Ux2y2答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若xwy,则x20,一22“*2”是一兀二次不等式ax+bx+c0的解集为 R”的充要条件； =b4acw03“XM1”是“X2工 1”的充分不必要条件.答案解析 易知正确.对于，

4、若x= 1，则X= 1,充分性不成立，故错误题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一命题及其关系例 1（2016 宿州模拟）下列命题：1“若a2b2,则a1，则ax2 2ax+a+ 30 的解集为 R”的逆否命题；4“若. 3x（XM0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是（）A.B . C . D .答案 A解析 对于，否命题为“若a2b2,贝U ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等 的三角形是全等三角形”，是假命题；对于，当a1 时， = 12a0,则x1 20”的否命题是()2A.若x0，则x0,贝U x0C.若xw0,则x0D.若x0,贝Ux 3b3”是“ loga

5、3vlogb3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件11到 3a3b3，例如当a= 2,b= 3 时，loga3b1.故“3a3b3” 是23“ loga3x，得 2x3,即q： 2x1 或xx，则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)Aa b解析 T33 3,.ab1，此时 loga3logb3 正确；反之，若 loga31 且y1,q:实数x,y满足x+y2, 则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件已知p：x+沪一2,q：x,y不都是一 1，则p是q的（）A. 充分不必要条

6、件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案（1）A（2）A解析当x1,y1 时，x+y2 一定成立，即p?q,当x+y2 时，可以x=- 1,y=4，即q?p,故p是q的充分不必要条件.（2）（等价法）因为p：x+y工一 2,q：XM1 或沪一1,所以綈p:x+y= 2，綈q:x= 1 且y= 1,因为綈q?綈p但綈p?綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件， 即p是q的充分不必要条件，故选A.题型三充分必要条件的应用例 3 已知P= x|x2 8x 20w0，非空集合S= x|1 mrc x 1+n.若xP是xS的必 要条件，求m的取值范围.26解 由x 8x 20W0

7、,得一 2x 10, P= x| 2x 10,由xP是xS的必要条件，知S?P.11 +m则* 1 r 2, 0 me3.J+ me10,当 0eme3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3.引申探究1 .本例条件不变，问是否存在实数m使xP是xS的充要条件.解若xP是xS的充要条件，则P=S,71 m= 2,方程组无解，1 + m= 10,即不存在实数m使xP是XS的充要条件.2本例条件不变，若 乂綈P是乂綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由例题知P= x| 2Wxw10,綈P是綈S的必要不充分条件，P?S且S?P.- 2. li.i_ |_ I m,1 +m1mW

8、2,1m101+ m10. m9,即卩m的取值范围是9 ,+) 思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2) 要注意区间端点值的检验.Whl隊-：(1)已知命题p：axa+ 1，命题q：x3 4x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_ 已知条件p： 2x 3x+ 1w0,条件q：x (2a+ 1)x+a(a+1)w0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 _1 答案(1)(0,3)(2)0 ,孑2解析(1)令 M=

9、 x|awxwa+ 1, N= x|x 4x0 = x|0 x0, 解得 0a3.故答案为(0,3) a+14,1aw2a+11, 或1a0;条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p,贝Ua的取值范围是（）A.1,+）B. （a,1C. 1,+a）D. （a, 3思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析（1）因为“pAq是真命题”等价于“p, q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“pAq是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.由x2+ 2x 30,得x1，由

10、綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.x|xal；x|x1, a 1.答案（1）A（2）A课时作业课时作业n1 命题“若a=，贝ytana= 1”的否命题是（）4A. 若a工4，贝Utana工1nB. 若a= ，则 tana工1n9C. 右 tana工 1,贝U a工-D.若 tana丰1,则a= n4答案 A222.命题“如果xa+b,那么x2ab”的逆否命题是()A. 如果xa2+b2,那么x2 ab,那么xa2+b2C. 如果x2ab,那么xa+b，那么xv2ab答案 C解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”， “”

11、的否定是“ 1” 是 “log,(x+2)v0”的()2A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 1?x+ 23?log1(x+2)v0 , log1(x+2)v0?x+ 2 1?x- 1,故“x 1 ”2 2是“log“(x+2)v0”成立的充分不必要条件.故选B.25.(2016 山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面a,3内，则“直线a和直线b相交” 是“平面a和平面3相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a和直线b相交，则平面a和平面3相交；10若平面a和平面3相交，那

12、么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.16. 已知集合A= x R| 22x8 ,B=x R 1x 2B. m|2C. mm2D. m 2nr2答案 C1x解析A= x R| 22 8 = x| 1x3,即 m2,故选 C.7 .设U为全集，A B是集合，则“存在集合C使得A?C, B?UC是“AnB= ?”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 C解析 由 Venn 图易知充分性成立.反之，AnB= ?时，由 Venn 图(如图)可知，存在A=C,同时满足A?C B? ?UC.故“存在集合C使得A? C,B? ?UC是“AnB= ?

13、”的充要条件.8.(2015 湖北)设a,a?,anR,n 3.若p：a,a2,an成等比数列；q：(a1+a?+ +aLi)(a2+a3+a2) = (aia2+a2a3+ +anG)2，则()A. p是q的必要条件，但不是q的充分条件B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析 若p成立，设ai,a2,，an的公比为q,则(a2+a2+a21)(a2+a；+a)=0?(1I 2 |. 2n4、2“ i 2 |. 2n4、2 2“2丨.2n4、2 /丨.、2+q+q)a2(1+q+q)= 2比(1+q+q),(

14、aia2+a2a3+ana11=(aa2)2(1 +q2+q2n4)2，故q成立，故p是q的充分条件.取a1=a2 =an= 0,贝Uq成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选 B.9._ 设a,b为正数，则“ab1”是“a2b21 ”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析Tab1,即即ab+ 1.又a,b为正数，a?(b+ 1)2=b+ 1 + 2bb+ 1,即ab1成立，反之，当a=,3, b= 1 时，满足ab1,2 2但ab1 不成立所以“ab1”是“ab1”的充分不必要条件.10.有三个命题：1“若x+y= 0,则x,y互为相

15、反数”的逆命题；2“若ab,则a2b2”的逆否命题；23“若XW3,贝y x+x 60”的否命题.其中真命题的序号为_.答案解析 命题为“若x, y互为相反数，则x+y= 0”是真命题；因为命题“若ab,则a2b2” 是假命题，故命题是假命题；命题为“若x 3,则x2+x60”，因为x2+x6W0? 3xw2,故命题是假命题.综上知只有命题是真命题.11已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x) 为3,4上的减函数”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”)答案充要解析若当x 0,1时，f(x)是增函数，

16、又y=f(x)是偶函数，.当x 1,0时，f(x)是减函数.当x 3,4时，x 4 1,0,T= 2,二f(x) =f(x 4).故x 3,4时，f(x)是减函数，充分性成立.反之，若x 3,4时，f(x)是减函数，此时x 4 1,0,TT= 2,二f(x) =f(x 4),则当x 1,0时，f(x)是减函数.Ty=f(x)是偶函数，12当x 0,1时，f(x)是增函数，必要性也成立.故“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件.2.12 .若xn卄 1 是x 2x 30 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 _ .答案0,2解析 由已知易得x|x2 2xx|x

17、m 1，又x|x2 2x 30 = x|x3,13-10,即 2n+ 12 入对任意的n N3都成立，于是可得 32 入，即入5.故所求入的取值范围是秩+).*14.下列四个结论中:“入=0”是“入a= 0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB+AC=BC”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若ab R,则“a2+b2工 0”是“a,b全不为零”的充要条件；若a,b R,则“a2+b20”是“a,b不全为零”的充要条件.其中正确的是 答案 解析 由入=0 可以推出 入a= 0,但是由 入a= 0 不一定推出 入=0 成立，所以正确； 由AB+AC=BC可以推出厶ABC是直角三角形，但是由厶ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确；由a2+b20可以推出a,b不全为零，反之，由a,b不全为零可以推出a2+b20,所以“a2+b2工 0”是“a,b不全为零”的充要条件，而不是“a