导数用于单调性和极值问题

1、专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性sin xn1. 证明：函数f(x)=在区间-2, n上单调递减.X A. x = 2为f (x)的极大值点题型二利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间.3x(1) f (x) = x-X； (2) y = e - x+ 1.3. 求函数y= x2- In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值围2 a4. 已知函数f (x) = x + x(xz 0，常数a R).若函数f (x)在x 2 ,+s )上是单调递增的,z.求a的取值围.5. (1)已知函数f (x) = x3+ bx2 + cx + d的单调

2、减区间为1,2，求b, c的值.(2) 设f (x) = ax3 + x恰好有三个单调区间，数a的取值围.题型四用单调性与导数关系证不等式6. 当x 0时，证明不等式ln( x + 1) x -2x2.n7.当Ov xv g时，求证:x sinxv 6x.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是()1A. y = 2xB. y = 一xC. y = 3x 1D. y = x229 .设函数 f (x) = - + Inx,则()xB. x =为f (x)的极小值点C. x = 2为f(x)的极大值点D. x = 2为f (x)的极小值点10. 若函数y = f (x)是定义在 R上的可导

3、函数，则f (xo) = 0是xo为函数y = f (x)的极值点 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 函数y= x ex的最小值为 .12. 若函数f (x) = -r(a0)在1 ,+ 上的最大值为乂3，则a的值为x + a3题型六、利用极值求参数围n3 n13. 已知函数f (x) = asi nx bcosx在x=才时取得极值，则函数 y = f(-厂一x)是()A. 偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB. 偶函数且图象关于点(-厂,0)对称3 nC. 奇函数且图象关于点(-厂，0)对称D. 奇函数且图象关于点(n, 0)

4、对称3214 .已知函数f (x) = x + ax + bx+ c, f (x)在x= 0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有相反的单调性.(1) 数b的值；(2) 数a的取值围.题型七、导数用于解决实际问题15. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形 的边长为()A. 6B. 8C. 10D. 1216. 一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为 C2 元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生

5、产量)设每年每台的库存费为 C元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床 台，一年中库存费和生产准备费之和最小题型八、图像问题17. 二次函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数 y= f (x)的图象是如图所示的一条直线，y = f (x)的图象的顶点在()A.第I象限B.第n象限C. 第川象限D.第W象限18. 设函数f(x)在定义域可导，y=f (x)的图象如下图所示，则导函数y= f (x)的图象可能 是()巩固练习：119. 定义域为R的函数f(x)满足f=1,且f(x)的导函数f (x)?，则满足2f(x)x+ 1的x的集合为()A. x| 1x1B. x|x1C. x| x1

6、D. x| x1n120. 函数 f (x) = sinx + 2xf (石),f (x)为 f (x)的导函数，令 a= 2, b= log 32，则下列32关系正确的是()B. f(a)f (b)D f(| a|)f (b)C. f(a) = f(b)21. 若关于x的方程x - 3x+ m 0在0,2上有根，则实数m的取值围是()A. 2,2B. 0,2C. 2,0D. ( s, 2) U (2 ,+ )1 3 1 222. 已知函数f(x) = 3ax + 2ax 2ax+ 2a + 1的图象经过四个象限，则实数a的取值围是3228 .设函数 f(x) = ex- ax 2.(1) 求

7、f (x)的单调区间；(2) 若a= 1, k为整数，且当x0时，(x k)f (x) + x+ 10,求k的最大值.1.证明专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案 xcos x sin xf (x)=厂xn，又 x ,n ,则 cos x0 , xcos x sin” n f (x)0, f (x)在,x0，则 x OO令 f (x)0 ,即 ex 10 , 则 x (0 , +o )；令 y 0 ,即 ex 1 0在x 2 , +o )时恒成立， 2x3 a即一茫 0在x 2 ,+o )时恒成立.23-0，2 a0 ,3 a 0(x 2 , +O )有且只有 f (2) = 0, a

8、的取值围是(O,16.5. 解(1) v函数f (x)的导函数f (x) = 3x2 + 2bx+ c,由题设知1x2是不等式3x2 + 2bx+ c0的解集. 1,2是方程3x2+ 2bx+ c= 0的两个实根，2c 3二 g( x) v g(0) = 0, x sin x v x .8. 答案D解析画出图像即可知 y = x2存在极值f(0) = 0.9. 答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.f (x) = 22+ - = -(1 2) = 0 可得 x = 2.x x x x当 0x2 时，f (x)2 时f (x)0 , f (x)单调递增所以x= 2为极小值点.对于含

9、有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.10. 答案B解析女口y =x3,y=3x2,yI x= 0= 0，但x = 0不是函数y=x3的极值点. + 2 = 3b, (1) x 2= 3，3即 b= c = 6.(2) f (x) = 3ax2+1，且f (x)有三个单调区间，方程f (x) = 3ax2 + 1= 0有两个不等的实根，丄2-A = 0 4x 1 x 3a0,. af(0) = 0证得.1 2 规解答令 f (x) = ln( x + 1) x + qx , (4 分)1 x2贝U f (x) = 1 + x=.(6 分)1 + x1 + x当 x (0，+a )时，f (

10、x) 0, f (x)在(0，+a )上是增函数.(8分)于是当 x0 时，f (x) f (0) = 0,1 2当x 0时，不等式ln( x + 1) x qx成立.(12分)1 3n7. 证明 设 g(x) = x sin x x , x 0,2X- 21 22Xg (x) = 1 cos x = 2 sin 3n/ x 0,，二 0 vsin xv x, sin x v2 g (x) v0,n g( x)在0, 上单调递减,ii. 答案e解析y= (x + l)e0, x= 1.当 x 1 时，y 1 时 y 0ymin = f ( 1)12. 答案3 1解析f (X)x2 + a 2x

11、：-x + a22a x2.x + a当 x a时 f (x)0 , f (x)在(a,)上是递减的，当一ax0,f(x)在(a,a)上是递增的.当x=a时，f(a)=/=#，1 a=0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，2所以应有 2w Ta 4,解得6w aw 3.315. 答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vsmf,由题意，得 V= x(48 2x) (0x24) , V= 12(24 x)(8 x).令 V= 0，则在(0,24)有 x = 8,故当 x = 8 时，V 有最大值.16.答案G2NCT解析设每批生产x台，则一年生产N批. 一年中库存

12、费和生产准备费之和y = Gx+ Nx(o xN).y的最y = G-爭 由y= 0及0x0,4a解析 设f (x) = ax2 + bx + c,二次函数y= f (x)的图象过原点，二b=2ax+ b,由 y = f (x)的图象可知，2a0,a0,0,2a故选A.18. 答案A解析f(x)在(g, 0)上为增函数，在(0 , +s)上变化规律是减t增t减， 因此f (x)的图象在(g, 0)上，f (X)0，在(0，+g )上f (X)的符号变化规律是负t正t 负，故选A.19. 答案B1解析 令 g(x) = 2f (x) x 1,t f (x)-, g (x) = 2f (x) 10

13、, g(x)为单调增函数, f(1) = 1,二 g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,当 x1 时，g(x)0,即 2f(x)x+ 1,故选 B.20. 答案Aj ,n解析 f (X) = cosx + 2f (), nn , n f(y) = cos + 2f (可),即f7t12. f (x) = sin x x.又 f (x) = cosx 1 0, 故f(x)在R上递减.1又 2f(log 32),即 f(a)f(b) 21. 答案A32解析 令 f (x) = x - 3x+ m 贝y f (x) = 3x -3 = 3(x +1)( x- 1)，显然当 x1 时，f (x)0

14、, f(x)单调递增，当一1x1 时，f (x)0, f(x)单调递减，.在 x =- 1时，f (x)取极大值f ( 1) = nu 2,在x= 1时，f (x)取极小值f(1) = m- 2.f1 0,m-20,则f 2 0,f 2 0,此时无解；若a0,则f1 0,6363 5a-洛综上知，-5a- 16.23. 答案(3, - 2)解析f (x) = 3x2- 3,设切点为 Rxo, yo)，则切线方程为 y- (x3- 3xo) = (3 x2- 3)( x3232-X。)，T切线经过点 A(1 , m , m- (X0 3X0)= (3xo 3)(1 - x。), m=- 2x0

15、+ 3x。一 3, M =-6x2 + 6X0,.当0x1时，此函数单调递增，当x1时，此函数单调递减，当x= 0 时，m=- 3,当 X0= 1 时，m=-2，当一30 时，e2x1, f (x) = 2(1 - e2x)0 时，f (x)0 时，1 + 2x- e2x0，即 1 + 2x0,. X10, X20 , x (0,+ ) , f (x)0故f(x)在(0,+ )递增.13 当 a0时，A = 8a + 4 0,即卩 a 时，g(x) 0, f (x) 0,即一2a0,aa+1x! 2a+ 1 小X2=0a令 f (x)0 , x (X1, X2),f (x) 0时，f (x)在

16、(0,+ )递增.1当一2a0时，A 0,此时g(x) = 0的两根xi =a+ 1 ；2a+ 1a，X2 =a+ 1+ ：2a+ 1一 a+ 1 + 2a + 1一 a+ 1 一2a +1在(0 ,X1)和(X2, + )递减(其中 X1=, X2=).aa1当aw时，f(x)在(0 ,+ )递减.26. 分析如图，设出AD的长，进而求出|AB表示出面积S,然后利用导数求最值.设矩形边长为 AD= 2x，则|AB = y = 4 x2,解析32即 S= 8x 2x , S= 8 6x ,2则矩形面积 S= 2x(4 x )(0 x2),令 S= 0,解得 xp 2 , X2= 一2-J舍去)

17、当 x0;当 gx2 时，S 0,.当xW时，S取得最大值，此时，S最大 =詈,8y= 3.即矩形的边长分别为 爸3、8时，矩形的面积最大.点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.解析(1)函数f (x)的定义域为(0 ,+ ),1 a 11f (x)4-疋-】，由导数的几何意义，且切线与y=只垂直.得 f (1) =1 a 1= 2,. a=(2)由(1)知 f (x) = x+ 4x Inx 2,2151 x 4x 54x2 f(x) = 74 4xx令f (x) = 0解得x= 1或5, 1不在定义域之故舍去.当 x (0,5) , f (x)0 , f(x)在(5 ,

18、+s )递增.5 13 f (x)在 x= 5 时取极小值 f(5) = +- ln5 -= ln5.4 4228.分析解析f (x)的定义域为( ),f (x) = e .x xxe 1, e e x 2x Z 2 + 1 =x e 1e 1由(1)知，函数 h(x) = ex x 2 在(0，+g )单调递增.而 h(1)0，所以 h(x) 在(0，+g )存在唯一的零点故 g (x)在(0，+g )存在唯一的零点设此零点为 a,则a (1,2).当 x (0 , a )时，g (x)0.所以g( x)在(0，+g )的最小值为g( a ).又由 g ( a ) = 0，可得 e = a + 2,所以 g( a ) = a + 1 (2,3).由于式等价于k0，所以f(x)在(s,+s )单调递增.若 a0,则当 x ( g, In a)时，f (x)0 ,所以f (x)在(g, In a)单调递减，在(In a,+ )单调递增.(2)由于 a= 1，所以(x k) f (x) + x + 1 = (x k)(e x 1) + x+ 1.故当 x0 时，(x k)f (x) + x+ 10 等价于x+ 1k0).则 g (x)=x + 1 令 g( x) = ey + x,23. 已知函数f (x) = x3 3x,若过点A(1 , n)( m 2)可作曲线y= f (x)