精选2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第1讲集合

1、r一位集合与常用逻辑用语§ 1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.集合的交、并、补运算及两集合间的包含2 .能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.关系是考查的重点,在集合的运算中经常3 .理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.与不等式、函数相结合，解题时常用到数5 .理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.轴和韦恩(Venn)图,考查学生的数形结合思想和计算推理能6 .理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.力，题

2、型以选择题为主，低档难度.7 .能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础知识自主学习一赳扣勘加铜皿笫工地目一知识梳理1 .集合与元素集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号C或?表示.集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+(或 N)ZQR2 .集合间的基本关系关系自然语百符号语后Venn 图子集集合A中所有兀素都是集合B中的兀素(即若x A,则x B)A? B(或 B? A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合 A中A?B(或

3、B?A)()集合相等集合A B中的儿系相同或集自A B互为子集A= BCE)3 .集合的基本运算运算自然语百符号语后Venn 图交集由属于集合A且属于集合B的所有兀素组成的集合AA B=x|x £ A 且 xC BCifc) AFIB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合AU B=x|x £ A 或 xC B AUB补集由全集U中不属于集合 A的所用兀素组成的集合?UA= x|x CU且 x?A【知识拓展】1. 若有限集合A中有n个元素，则集合 A的子集个数为 g,真子集的个数为2n-1.2. A? B? AA B=A? AU B= B.3. AA ?ua= ?;

4、 AU ?uA= U； ?u(?ua) = A.基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(X )(2)x|y=x2+1 = y|y =x2+1=(x , y)|y =x2+1. ( x ) 若x2,1=0,1,则 x= 0,1.( x )(4)x|x <1=t|t <1. ( V ) 对于任意两个集合A, B,关系(A AB)? (AUB)恒成立.( V )(6)若 AA B= AA C,则 B= C.( X )题组二教材改编2 .已知 Ul= a |0 ° V a <180° , A=

5、x|x 是锐角, B= x|x 是钝角,则？u(AUB) =答案 x|x是直角3 .已知集合 A= (x , y)|x 2 + y2=1, B= (x , y)|y = x,则 An B 中元素的个数为 .答案 2解析 集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合 B表示直线y = x,圆x2+y2=1与直线y=x相交于 两点 隹学）（-琴著） 则An b中有两个元素.题组三易错自纠4 .已知集合 A= 1,3 ,洞,B=1 , m, AU B= A 则 m等于（）A. 0或下B. 0或3C. 1或审D. 1或3或0答案 B解析A= 1,3 ,jm,B= 1 , m, AU B= A,

6、故 B?A,所以m= 3 或m= m,即 m= 3或m=0或m= 1,其中 m=1不符合题意，所以 m= 0或m= 3,故选B.5.已知集合 A= x|x 2-2x-3< 0 , B= x|x<a，若A? B,则实数 a的取值范围是 .答案（3, +oo）解析 A= x|x 2-2x-3<0 = x| -1<x<3,. A? B, B= x|x<a ,a>3.6.若集合 A= x C R|ax23x+2=0中只有一个元素，则 a =.一 ,9答案0或£8解析 若a=0,则A= 13 :,符合题意；若aw0,则由题意得 A=98a=0,解得a=

7、7.8综上，a的值为0或*8题型分类深度剖析 真粒典翔强度先祈 31点椎点事谯揉究 题型一集合的含义 自主演练1 .设集合 A= -1,1,3 , B= a +2, a2+ 4 , An B= 3,则实数 a=.答案 1解析 3 B,又 a2+4>4,a+2=3,a= 1.经检验，a=1符合题意.2.若 A= 2,3,4 , B=x|x =n - m, m, nCA, m# n,则集合 B 中的元素个数是（）A. 2 B . 3 C . 4 D . 5答案 B解析B= x|x =n - m, m n A, m n = 6,8,12.思维升华（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元

8、素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合.（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.题型二集合的基本关系.师生共研典例(1)设A, B是全集I=1,2,3,4的子集，A=1,2,则满足 A B的集合B的个数是()A. 5 B . 4 C . 3 D . 2答案 B解析 . 1,2 ? B, I =1,2,3,4,.满足条件的集合 B有1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4，共 4个.(2)已知集合 A=x|x 2 2 019x + 2 018<0 , B = x|x<a,

9、若 A? B,则实数 a 的取值范围是 答案 2 018 ,)解析 由 x2 2 019x + 2 018<0 ,解得 1<x<2 018 ,故 A= x|1<x<2 018.又B= x|x<a , A? B,如图所示，见，I 11器。可得 a>2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为x|x >a,其他条件不变，则实数a的取值范围是 .答案 (8, 1解析 a= x|1<x<2 018 , B= x|x >a , A? B,如图所示，可得 a< 1.ii x r_p _ a 12018思维升华(1)空集是任何集合的

10、子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.11A. 3或一2跟踪训练(1)已知集合 A= x R|x2+x-6= 0 , B= x R|ax -1 = 0,若B? A,则实数a的值为(r U1B. 3或2C.；或;或0D.-;或1或0323 2答案 D解析 由题意知，A= 2 , - 3.当a=0时，B= ?,满足B? A;1当aw0时，ax 1 = 0的解为x = -, a,_ 11由b?a，可得a=-3或2, .a=- 1

11、 或 a = 2.综上可知，a的值为J或1或0. 3 2(2)已知集合 A= x| -2<x<7 , B= x|m+1<x<2m 1,若B? A,则实数 m的取值范围是 答案(一巴4解析 当B= ?时，有 m+ 1 > 2m- 1,则m< 2;当Bw ?时，若B? A,如图，2 »h-1 2ffm+ 1>-2,贝U 22m- 1 <7,解得 2<mc 4.1<2m- 1,综上，m的取值范围是（00, 4.题型三集合的基本运算多维探'究命题点1集合的运算典例（1）（2017 全国 I ）已知集合 A= x|x<1

12、 , B= x|3 K<1,则（）A.AnB=x|x<0B.AUB=RC.AUB=x|x>1D.AAB=?答案 A解析B=x|3 x<1 ,B=x|x<0.又 A= x|x<1 , . AA B= x|x<0 , AU B=x|x<1.故选A.（2）（2018 届珠海二中月考）已知集合 A= x|x 22x>0, B= x| -5<x<5,则（）A. AA B= ?B. A? BC. B? AD. AU B= R答案 D解析: A= x|x>2 或 x<0 , AU B= R.命题点2利用集合的运算求参数典例(1)设

13、集合A= x| 1Wx<2, B= x|x<a，若An Bw?,则a的取值范围是(A. - 1<a<2B, a>2C. a> 1D. a>1答案 D解析 因为An BW ?,所以集合A, B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a>-1.（2）集合 A= 0,2 , a, B=1 , a2,若 AU B= 0,1,2,4,16,则 a 的值为（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 4答案 D解析由题意可得a , a2 = 4,16 ,，a=4.a的取值范围是（3）设集合 A=0 , - 4 , B=x|x 2+ 2（a +1）x +a21

14、= 0, xC R.若 An B= B,则实数答案 （8, 1 U1解析 因为A= 0 , 4,所以B? A分以下三种情况：当B= A时，B=0, 4,由此可知，0和一4是方程x2+2(a + 1)x+a21 = 0的两个根，由根与系数的关系，A = 4(a + 1 j- 4(a2 1 >0,得,一2(a + 1 广-4,解得 a= 1 ；a2-1 = 0,当 Bw ?且 B?A时，B= 0或 B= -4,并且 A =4(a + 1)2-4(a2-1) =0,解得a= - 1,此时B= 0满足题意；当 b= ?时，A =4(a + 1)2-4(a2-1)<0 ,解得a< 1.

15、综上所述，所求实数a的取值范围是(8, 1 U1.思维升华(1) 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用 Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表 示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.跟踪训练(1)(2017 天津)设集合 A= 1,2,6 , B= 2,4 , C= x C R| 1W x W 5,则(A U B) n C 等于()A. 2B. 1,2,4C. 1,2,4,6D. x R|-1<x<5答案 B解析 AU B= 1,2,4,6.又 C= x e R|-1<x<5,则(AUB)A

16、C= 1,2,4, 故选B.(2)已知集合 A= x|x 2-x-12< 0 , B= x|2m1<x<m+ 1,且 An B= B,则实数 m 的取值范围为()A. -1,2)B. -1,3C. 2 , +8)D. -1, +oo)答案 D解析由 x2-x-12<0,得(x +3)(x -4) <0,即一3< x<4,所以 A= x| -3<x< 4,又 AA B= B,所以 B? A.当b= ?时，有1<2m- 1,解得 m> 2;3<2m- 1,当Bw ?时，有m+ 1<4,、2m- 1<m+ 1,解得1

17、 w m<2.综上，m的取值范围为1,).题型四 集合的新定义问题 'a师生共研典例若集合 E=(p , q, r, s)|0 w p<sw 4,0 w q<sw 4,0 w r<s W4 且 p, q, r, sCN, F= (t , u, v, w)|0 < t<u<4, 0Wv<w< 4且 t, u, v, wC N,用 card(X)表示集合 X 中的元素个数，则 card(E) + card(F)等于()A. 200 B . 150 C . 100 D . 50答案 A解析 在集合E中，当s=1时，p= q=r = 0,此

18、时只有1个元素；当s=2时，p, q, r C 0,1,此时有2X2 X 2= 8(个)元素；当 s = 3 时，p, q, r C 0,1,2,此时有 3X 3X 3= 27(个)元素；当 s=4 时，p, q, r C 0,1,2,3, 此时有 4X4X4= 64(个)元素，故 card(E) = 1 + 8+27 + 64= 100.在集合 F 中，(t , u)的取值可能是(0,1) , (0,2) , (0,3) , (0,4) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4), 共 10 种可能.同理，(v, w)也有 10 种可能，故

19、 card(F) =10X10=100, /. card(E) + card(F) =200.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.跟踪训练定义一种新的集合运算:& B= x|x SA,且x?B.若集合 A= x|x 24x+3<0, B= x|2 <x<4,则按运算4,BA A等于()A. x|3<x <4B, x|3 <x< 4C. x|3<x<

20、;4D. x|2 <x< 4答案 B解析A= x|1<x<3,B= x|2<x<4,由题意知，BA A= x|xCB,且 x?A = x|3 < x< 4.课时作业，基础保分练1 .已知集合 A= 1,2,3, B= 2,3，则（）A. A= BB. AA B= ?C. A?BD. B?A答案 D2. （2017 浙江）已知集合 P= x| -1<x<1, Q= x|0 vx<2,则 PU Q 等于（）A. （-1,2）B. （0,1）C. （-1,0）D. （1,2）答案 A解析 p= x| -1<x<1 , Q=

21、 x|0 vx<2,PU Q= x| - 1<x<2.故选A.3. （2016 四川）设集合A=x| -2<x<2 , Z为整数集，则集合 AA Z中元素的个数是（）A. 3 B . 4 C.5 D . 6答案 C解析由题意可知，An Z= -2, - 1,0,1,2，则An Z中的元素的个数为5.故选C.4. （2017 吉林大学附中模拟 ）若集合A= x e N|5+4xx2>0 , B= x|x<3，则AA B等于（）A. ?B. 1,2C. 0,3）D, 0,1,2答案 D解析 由 A 中不等式变形，得（x - 5）（x +1）<0, x

22、CN,解彳导1<x<5, xCN,即 A= 0,1,2,3,4,B= x|x<3 , .AC B= 0,1,2.5. （2017 潍坊调研）已知全集U= R集合 A=1,2,3,4,5, B=xCR|x>2,则图中阴影部分所表示的集合为（）B. 1D. 0,1,2A. 0,1C. 1,2答案 B解析 因为An B= 2,3,4,5,而图中阴影部分为集合A去掉AH B部分，所以阴影部分所表示的集合为1.6. 已知集合 M= 1,2,3,4,则集合 P=x|x CM且2x?M的子集的个数为（）B. 4D. 2A. 8C. 3答案 B解析由题意得P=3,4 , 集合P有4个子

23、集.7. (2017 全国 H )设集合A= 1,2,4, B= x|x24x+m= 0.若 AA B= 1,则 B 等于()A.1 , - 3 B . 1,0 C. 1,3 D . 1,5答案 C解析 .Anb= 1 ,1 e b. . 1 4+ nn= 0,即 nn= 3.B= x|x 2-4x+3=0 =1,3.故选 C.8 .已知集合 A= x| 1<x<0, B=x|x wa,若A? B,则a的取值范围为()A. ( 8, 0B. 0 , +oo )C. ( 8, 0)D. (0 , +8 )答案 B解析 用数轴表示集合 A, B(如图)，I I-I O d J由 A?

24、B,得 a>0.9 .已知集合P= x|x2-2x>0 ,Q= x|1<x<2,则(？RP)nQ=.答案 (1,2)解析 p= x|x >2 或 xW0, ?rP= x|0 vx<2,( ?rP) n Q= x|1 vx<2.210 .若3,4 , m3m- 1 n 2m, 3 = -3,则 m=.答案 1解析由集合中元素的互异性，mi 3m 1 = 3,2m 3,可得2mw 3,2mw 4,所以m= 1.11 . (2017 衡水模拟)若集合 A= y|y = lg x , B= x|y =，x,则集合 AA B=答案 0 , +8)解析 集合 A= y|y = lg x = y|y £ R = R,B= x|y =水 = x|x > 0,则集合 An B= x|x >0 = 0 , +8).12 .已知集合 A= x|y = lg(x x2) , B= x|x 2 cx<0, c>0,若 A? B,则实数 c 的取值范围是 答案1 , +00)解析由题意知，A= x|y = lg(x -x2) =x|x x2>0 = (0,1) , B= x|x 2-cx<0, c>0=(0, c).由 A? B,出