将军饮马强方法

1、将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营 A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【问题原型】将军饮马造桥选址【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短;三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直、将军饮马问题常见模型1 .两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1:在定直线l上找一个动点P,使动点

2、P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB,与直线l的交点Q,Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB最小，且最小值等于 AB.原理：两点之间线段最短。证明：连接AB,与直线l的交点Q, P为直线l上任意一点，在力PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB叁AB（当且仅当PQ重合时取=）例2：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB的和最小.关键：找对称点定直线7作法：作定点B关于定直线l的对称点C,连接AC,与直线l的交点Q即为所要寻找的点, 即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于 AC.原理：两点之

3、间，线段最短证明：连接AC,与直线l的交点Q, P为直线l上任意一点,在力PAC中，由三角形三边关系可知:AP+PC皂AC（当且仅当PQ重合时取2 .两动一定型例3:在/ MON的内部有一点 A,在OM上找一点 B,在ON上找一点 C,使得ABAC周长作法：作点A关于OM的对称点A',作点A关于ON的对称点A'',连接A'A'与OM交 于点B,与ON交于点C,连接AB, AC, 4ABC即为所求.原理：两点之间，线段最短例4:在/ MON的内部有点 A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.B'作法：作点A关于OM

4、的对称点A',作点B关于ON的对称点B',连接A' B',与OM交 于点C,与ON交于点D,连接AC, BD, AB,四边形ABCD即为所求.原理：两点之间，线段最短3 .两定两动型最值例5:已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d （动 点M位于动点 N左侧），使 AM+MN+NB 的值最小.提不：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A',作A'关于直线l的对称点A'；连接A' B, 交直线l于点N,将点N向左平移长度d,得到点Mo作法二：作点A关于直线l的对称点Ai

5、,将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2 B, 交直线l于点Q,将点Q向左平移长度d,得到点Q。原理：两点之间，线段最短，最小值为A B+MN例6:（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短?军营转化数学问题：直线11/ 12,在直线11上找一个点C,直线12上找一个点D,使得CD±12,且AC+BD+CD 最短.点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点.作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A',连接A' B,交12于点D,过点D作DCX12于点C,连接AC.则桥C

6、D即为所求.此时最小值为 A +CD原理：两点之间，线段最短，4 .垂线段最短型例7:在/ MON的内部有一点 A,在OM上找一点 B,在 ON上找一点 C,使得 AB + BC原理：垂线段最短点A是定点，OM, ON是定线,作法：作点A关于OM的对称点A',过点A'作A' CON,交OM于点B, B、C即为所求。例8:在定直线l上找一个动点 P,使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB最小.作法：连接AB,作AB的中垂线与l的交点，即为所求点此时 IPA-PB |=0例9:在定直线l上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B距离之差最大，即|PA-PB|最大

7、作法：延长BA交l于点C,点C即为所求,即点B、A、C三点共线时，最大值为 AB的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例10:在定直线l上找一个动点 C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法：作点B关于l的对称点B,连接AB ,交交l于点P即为所求，最大值为 AB的长度。原理：三角形任意两边之差小于第三边典型例题1 .(三角形) 如图，在等边 ABC中，AB = 6, AD ± BC, E是AC上的一点，M是AD 上的一点，且 AE = 2 ,求EM + EC的最小值【分析解答】 点C关于直线AD的对称点是

8、点 B,连接BE,交AD于点M,则ME+MD 最小，过点B作BH XAC于点H,则 EH = AH 八E = 3 - 2 = 1 BH = BC2- CH2 =符1 = 3%与在直角 BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3>/3)2 + 12 = 2V72 .(正方形)如图，正方形 ABCD的边长为 8, M 在 DC上，且 DM = 2, N是 AC上的一动点，DN + MN的 最小值为B【分析解答】即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小 故作点D关于AC的对称点B,连接BM, 交AC于点N。则DN+MN = BN+MN=BM线段B M的长就是DN+ MN的最小值 在直角

9、ZXBCM 中，CM=6, BC = 8, 则 BM = 10故DN + MN的最小值是103 .(二次函数)如图，在直角坐标系中，A, B, C的坐标分别为(-1,0), (3, 0),(0, 3),过A, B, C三点的抛物线的对称轴为直线l, D为直线l上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当 AD+CD最小时点 D的坐标；【分析解答】(2)连接BC,交直线l于点D, WJ DA+DC = DB+DC= BC, BC的长就是 AD+DC的最小值，BC: y = -x + 3则直线BC与直线x = 1 的交点 D(1 , 2)【分析解答】即是在直线CD上作一点P,4.（圆）已知。O的直径 CD为4, /AOD的度数为60° ,点B是圆弧AD的中点, 在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求