定积分计算应当注意的几个问题

1、定积分计算中应当注意的几个问题辛开远通过求解例题,定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题,让读者掌握解题技巧。、利用函数奇偶性简化计算f (x)在-a, a上连续并且为偶函数，则有aaf(x)dx=2 f (x)dx ,( f (x)是偶函数)_af(x)在_a,a上连续并且为奇函数，则有af (x) dx = 0- -a,(f (x)是奇函数)1：计算:因为兀7 102x一2f(x)sin xdx10=x sinx是奇函数，积分区间对称于原点，所以,0。例2 :计算a xdx-a22.a x解：原式=a adx -_a22 a - xa xdx-a22.a - x右边

2、第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数,于原点，从而积分区间对称a原式=23 0/、ax idx =2a arcsin | =兀玄a 丿oa2 2a _x1例 3:计算 x4 -200x395sinxcosx 1 dx$ -41 12解：原式=必4+1乐盲、利用函数的周期性简化计算设f (x)是以T为周期的连续函数，则有a TTf f (x)dx = f(x)dxaa FTTf (x)dx = n ° f (x)dx(n为整数)例4 :计算1002100邸2tg 2xs in2 2xdx解：因为被积分函数以 二为周期，所以原式=n 2tg2xsin22xdx =

3、4 了 sin4 xdxji "2482 sin xdx 二例5 :计算d cost” dt dt解：原式=sin t dt = 2nsin tdt、计算分段函数的定积分一1沁 0例 6:设 f (x)二 1 -x ,计算异f(x)dx其它- -1解：原式=x(1 x)dx x(1 -x)dx =0四、计算含有绝对值的函数的定积分例7:计算“Jsin3 x _sin5 xdx$ 0解：3/sin3 x _sin5 x = Jsin3 x(1 _sin2 x) = sin2 xcosx , H 1在 0 ,二上，cosx =cosx ,1 2兀上，cosx=-cosx，于是兀 33JI

4、 原式=.02sin 2 x cosxdx 亠 i .sin 2 x(-cosx)dx2=isin一細2Tx兀一2在计算含有绝对值的函数的定积分时，应当根据该函数的正负值将积分区间分开。例&计算J ： |x 1dx解：原式= 匚 x1dx+Ji |x1dx13=J(x-1)dx 1(x-1)dx=4五、利用变量代换简化计算a2 - x2 dx解：设x = asint,列表原式 =Ja2 _x2dxJTa22a cost costdt.jfcoftdtx0at0202 (1 cos2t)dt例10：计算0”严解：设、2x 1 =t，贝U4 x 2 dx.2x 1,3222(t 3)dt2

5、 13t2 -13 23 22 tdtt例11：若f(x)在0 , 1上连续，证明二 xsin x1 cos2 xdx。x04t13ji . jiJ 0 xf (sin x)dx = § J 0 f (sin x)dx 由此计算证：设x -二-t，则dx二-dt于是J； xf (sin x)dx =(兀 _t) f Lin(兀-t) dtJJTt=J0 (兀-t) f (sint)dt =叮0 f (sint)dt - J0 tf (sin t)dtji二二 0 f (sin x)dx： xf (sin x)dx兀从而 o xf ( s x)dxJI 31=2 0 f ( s x)d

6、x利用上述结论，即得二 xsinxdx1 cos2 x：' xsin xdx20 1 cos2 x二 d (cos x) _ 二20 1 ' cos2 xarctg (cosx)丨 01例 12：证明 °xm(1 -x)ndx10xn(1-x)mdx证：令1 _x =u，于是0左式=i (1 -u)mun(-du)1 =0un(1 _u)mdu =右式六、利用分部积分法计算定积分V (x)，则有分部积分公式:设函数u(x)、V(x)在区间a, b上具有连续导数u (x)、bbbudV -uVa - Vdu=aau和dV要考虑下面两点:应用分部积分法时，恰当选取u和dV是一个关键。选取(1) V要容易求得；(2) Vdu要比.udV更容易积出。例 13：计算 2 xsin xdxA 0解：设 u 二 x， dV 二 sinxdx贝U du =dx， V = -cosx代入分部积分公式，得JJE原式=：-xC0Sx 02 02cosxdx =：sin x(2 =11 例14：计算 e xdx、0解：先用变量代换方法：令x = t ,则 x = t2, dx = 2tdt。于是 e xdx =2 tetdti 0 从而原式=