第27章相似三角形专题讲解：第2讲相似三角形的性质(word精编版)-有答案

1、人教版九年级下册第二十七章相似第2讲相似三角形的性质模块一 |相似三角形的性质1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。2、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。3、相似三角形周长的比等于相似比。4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。模块二典题精练利用相似比求相似三角形对应线段的比【例1】如图，已知点 D, E, F分别是 ABC三边的中点，则A DEF与4ABC对应高 的比是（）A. 1 ： 2 B. 1 ： 3/ C. 1：4 D . 1 ：亚%【解答】解：. ADE与 ABC相似，/、/ .DEF与4ABC对应高的比等于相似比，即是1：2 。 B 尸 C故答案

2、是A ADE 与ACB 相似，/【例 2】如图，已知 ABC 中，AB = 20, BC = 14, AC= 12,第16页共14页307AD 125 14坦理.胆L.ae=皿 AB BC 20 147利用相似比求三角形的周长和面积【例3】如图所示，平行四边形 ABCD中，E是BC边上一点，且 BE=EC, BD、AE(1)求4 BEF与4AFD的周长之比;(2)若 Sbef= 6cm1 2,求 Saafd.【解答】 解：(1)二.在平行四边形 ABCD中，AD/BC,且AD = BC,1BE BF EF 1又.BE = -BC= = = 一,2BC, AD DF AF 2'.BEF

3、与 AFD 的周长之比为 BE+ BF、EF =1.AD+DF + AF 2'1(2)由(1)可知 BEFsDAF,且相似比为,字 BEF,1 o=（二）,. Saafd = 4Sabef =4X 6= 24cm2生 AFD2利用相似三角形的周长或面积比求相似比【例4】若 ABCs A'B'C',其面积比为1 ： 2,则 ABC与 ABC的相似比为()A. 1 ： 2C. 1 ： 4B. 2D. 2【解答】解：ABCsAB'C；其面积比为 1 ： 2, .ABC与ABC的相似比为 1 ：也=啦:2.故选B.利用相似三角形的性质和判定进行计算【例5】如图所

4、示，在锐角三角形 ABC中，AD, CE分别为BC, AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别为18和8, DE= 3,求AC边上的高.【解答】解： 过点B作BFLAC,垂足为点 F. /ADXBC, CEXAB,RtAADBRtABD AB 日口CEB，/ = CB 即BD BEAB CB一.Sx bed,且/ABC = / DBE, .-.AEBDACBA,利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题【例6】如图所示，PN / BC, ADLBC交PN于E,交BC于D.（1）若 AP : PB= 1 ： 2, Saabc= 18,求 Saapn；AE3（2）右Saapn : S四边形PBCN

5、= 1 ： 2,求赤的值.ADS APN解：（1）因为 PN/BC,所以/APN = /B, /ANP = /C, AAPNA ABC,所以=SA ABC（AB）2.因为 AP ： PB=1 ： 2,所以 AP ： AB = 1 ： 3.又因为字abc=18,所以 S：PN=（3）2=，所 以 Sa apn= 2;一, AP（2）因为 PN/ BC,所以/ APE=/ B, /AEP=/ADB,所以APEsABD,所以左= AB落,望=（Ap）2=（AD）2.因为生 apn：shm!pbcn=1 ： 2,所以 SABC=g=（AD尸所以用=43 .【例7】如图， ABC是一张锐角三角形的硬纸片

6、.AD是边BC上的高，BC= 40cm, AD= 30cm.从这张硬纸片剪下一个长 HG是宽HE的2倍的矩形EFGH ,使它的一边EF在 BC上，顶点 G, H分别在 AC, AB上.AD与HG的交点为 M.十f AM HG（1）求证：而记EF / GH , ./ AHG = Z ABC,又. / HAG = Z BAC, . AHGA ABC,（2）解：由（1）iir up士 得：设 HE = xcm, MD = HE = xcm,AD BC. AD = 30cm, .AM = ( 30 x)cm, HG = 2HE, /. HG = ( 2x) cm,可得 解得，x=12, 故 HG =

7、2x= 24所以矩形EFGH的周长为：2X ( 12+24) = 72 (cm).答：矢I形EFGH的周长为72cm.利用相似三角形的性质解决动点问题【例8】如图，已知 ABC中，AB=5, BC=3, AC = 4, PQ/AB, P点在 AC上（与A、C不重合），Q点在BC上.PABQ面积的1时，求CP的长；3PABQ的周长相等时，求 CP的长.（1）当 PQC的面积是四边形（2）当4 PQC的周长与四边形【解答】解：（1）.PQ/AB,1一 一PQCs/xABC, . SzPQC =；S 四边形 PABQ,SPQC ： SABC3=1 ： 4, .112，-CP = 2CA=2;CP C

8、Q PQ CP CQ 3 5(2) .2 PQCs ABC, .CA = _CB=AB,一彳=可，-CQ=ZCP.同理可知 PQ="CP,53 . Capcq= CP+ PQ + CQ= CP+ -CP+-CP = 3CP, C 四边形 pabq= PA+ AB+BQ+PQ=(4-CP) 4435117+ AB+(3-CQ)+PQ = 4-CP + 5+3-4CP + -CP = 12-CP,12-CP= 3CP, .,.2CP =-2412, CP=y.模块三跟踪练习选择题（共5小题）1.如果两个相似三角形对应边的比为4： 5,那么它们对应中线的比是（A. 2j 娓B. 2： 5C

9、. 4： 5D. 16： 252 .已知 ABCs A'B'C',如果它们的相似比为 2： 3,那么它们的面积比是（）A . 3:2B. 2: 3C.4: 9D. 9: 43 .若ABCsDEF,相似比为1： 2,则4ABC与4DEF的面积的比为（）A. 1：2B. 1： 4C.2： 1D. 4： 14 .要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm, 4.5cm和6m,另一个三角形的最长边长为12cm,则它的最短边长为（）A . 6cmB. 9cmC. 16cmD. 24cm5 .已知ABCsDEF,面积比为9: 4,则 ABC与 DEF的对应角

10、平分线之比为（）A. 3： 4B. 2： 3C, 9： 16D, 3： 2二.解答题（共7小题）6.如图，在 ABC中，AB = AC, ZBAC=120° , AB边上的垂直平分线与 AB、BC交于点 D、E, AC边上的垂直平分线与 AC、BC分别交于点 G、F,（1） 4AEF是什么形状？你能证明吗？（2）连结DG,你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=/BC吗？（3） DG=5cm,试求 AEF的周长.7.如图，在 ABC中，AB = 8cm, BC = 16cm,点P从点A开始沿边 AB向点B以2cm/s的 速度移动，点Q从点B开始?&边BC向点C以4cm/s的速

11、度移动，如果点P、Q分别从点A、 B同时出发，经几秒钟 PBQ与 ABC相似？试说明理由.8 .如图，在 ABC中，点 D、E分别在边 AB、 (1)求证：DE / BC;(2)如果 SiAADE ： S 四边形 DBCE=1： 8,求 S“DEsc9 .如图， ABC的面积为12, BC与BC边上白 在BC上，点H, G分别在边 AB、AC上，且 H (1)求AD的长；(2)求矩形EFGH的面积.A/ 卜B r D F c10 .如图，在 ABC中，点 D为边BC上一点，D作DF/AB,交边 AC于点F,连接EF, EF2二(1)求证： EDFA EFC;,E saedf I , 一 _ _

12、(2)如果 £=,求证：AB = BD.2ADC AC 上，AE =AD?AB, /ABE=/ACB.:SABDE 的值.勺高AD之比为3： 2,矩形EFGH的边EF G=2GF.且 AD = AB, AEXBC,垂足为点 E.过点=y-BD?EC.11,已知 ABC 中.AB=15cm, BC = 20cm, AC = 25cm,另一个与它相似的 A' B' C' 的最长边 A' C' = 50cm,求A' B' C'的周长和面积.12.已知如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,点E自A点出发，以每

13、秒1cm的 速度向D点前进，同时点 F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为 t,且 0<t<6.(1)当t为多少时，DE = 2DF；(2)四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.(3)以点D、E、F为顶点的三角形能否与 BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；参考答案与试题解析一.选择题（共 5小题）1 .如果两个相似三角形对应边的比为4： 5,那么它们对应中线的比是（）A. 21 巫B. 2： 5C. 4： 5D. 16： 25【解答】解：二.两个相似三角形对应边的比为4： 5,，它们对应中线的比为 4: 5,故选：C2 .

14、已知 ABCs A'B'C',如果它们的相似比为 2： 3,那么它们的面积比是（）A. 3: 2B. 2: 3C. 4: 9D. 9: 4【解答】解： ABCsA'B'C',- SA ABC： SaA'B'C'= 22： 32= 4： 9.故选：C，J ）3 .若ABCsDEF,相似比为1: 2,则ABC与ADEF的面积的比为（）A. 1： 2B. 1： 4C, 2： 1D. 4： 1【解答】解：. ABCA DEF ,相似比为1: 2,.ABC 与 DEF 的面积的比为（1： 2） 2=1： 4.故选：B.4 .要制作两

15、个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm, 4.5cm和6m,另一个三角形的最长边长为12cm,则它的最短边长为（）A . 6cmB. 9cmC. 16cmD . 24cm【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm, 12根据题意，得：,解得：x=6,即另一个三角形的最短边的长为6cm.故选：A.5.已知ABCsDEF,面积比为9: 4,则4ABC与4DEF的对应角平分线之比为（）A. 3： 4B, 2： 3C, 9： 16D. 3： 2【解答】解：. ABCA DEF , ABC与 DEF的面积比为9: 4,.ABC与 DEF的相似比为 3: 2,.ABC与ADEF对应角

16、的角平分线之比为3： 2,故选：D.解答题（共7小题）6.如图，在 ABC中，AB = AC, /BAC=120。，AB边上的垂直平分线与 AB、BC交于点D、E, AC边上的垂直平分线与 AC、BC分别交于点 G、F,(1) 4AEF是什么形状？你能证明吗？(2)连结DG,你能根据学过的相似三角形的知识证明DG=BC吗？(3) DG=5cm,试求 AEF的周长.理由如下：AB = AC, / BAC = 120° ,B=Z C=30° , DE垂直平分AB, FG垂直平分AC, .BE = AE, AF=CF, ./ EAB = Z B=30° , / FAC

17、= Z C=30° , ./AEF = 2/ B=60° , /AFE=2/C = 60° , . AEF为等边三角形；(2) D是AB中点、G是AC中点，DG是 ABC中位线，DG = BC ；(3) DG = 5, . BC=2DG = 10, . AE=BE, AF=CF, . AE+EF+AF = BE+EF+CF = BC= 10cm,.AEF的周长为10cm.7.如图，在 ABC中，AB = 8cm, BC = 16cm,点P从点A开始沿边 AB向点B以2cm/s的 速度移动，点Q从点B开始?才边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A

18、、B同时出发，经几秒钟 PBQ与 ABC相似？试说明理由.【解答】解：设经 x秒钟 PBQ与 ABC相似,则 AP=2xcm, BQ=4xcm,/ AB= 8cm, BC= 16cm, .BP = ABAP= (8 2x) cm,.一/ B是公共角,.当天乌_即上上占_时 PBQsABC,BA BC 816解得：x=2;BP _BQBC -BA16时， QBPs ABC,解得：x=0.8, .经2或0.8秒钟 PBQ与 ABC相似.8.如图，在 ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AE2=AD?AB, /ABE=/ACB.(1)求证：DE/BC；(2)如果 SAADE : S 四

19、边形 DBCE=1： 8,求 SADE： SBDE 的值.5C【解答】(1)证明： ae2=ad?ab,AE AB二, .一 二'又. / EAD = Z BAE, . AEDc/dA ABE, ./ AED = Z ABE, . / ABE = Z ACB, ./ AED = Z ACB ,DE / BC;(2)解：DE / BC, . ADEABC, S A ADE AD、a仁器以S四边形IBCE 3S "二§ AAfiC 9，延第J, 下9四AB 3.四二， EB 2.S AADH 1 . -=?-.$ A0DE ?9.如图， ABC的面积为12, BC与BC

20、边上的高 AD之比为3: 2,矩形EFGH的边EF在BC上，点H, G分别在边AB、AC上，且HG=2GF.(1)求AD的长；(2)求矩形EFGH的面积.【解答】解：（1）设BC=3x,则AD=2x,.ABC的面积为12,.Tj-X 3xX 2x= 12,解得，x1 = 2, x2=- 2 （舍去），则AD的长=2x= 4；（2）设 GF = y,贝U HG = 2y, 四边形EFGH为矩形，HG / BC, . AHGA ABC,.幽纯日“ 2V 4-y &，即-一丁，解得，y=芋，, 一 24HG = 2y=,则矩形EFGH的面积=叫 X 三一二.774910.如图，在 ABC中，

21、点 D为边BC上一点，且 AD = AB, AEXBC,垂足为点 E.过点D 作 DF/AB,交边 AC 于点 F,连接 EF, EF2=BD?EC.(1)求证： EDFc/dA EFC；(2)如果包亚1=上，求证：AB = BD.SAADC ”.,ef2=ed?ec,即得 黑=器, hl 口 t1又. / FED = Z CEF,EDFs”FC.(2) AB = AD, ./ B=Z ADB,又. DF / AB, ./ FDC = Z B, ./ ADB = Z FDC , ./ ADB + /ADF =/FDC + /ADF ,即得/ EDF = Z ADC ,EDFsEFC, ./ EFD = Z C, . EDF ADC,2Wc (44'EDATED = AD,又 ED= BE =BD,BD = AD, . AB= BD.11.已知 ABC 中.AB=15cm, BC = 20cm, AC = 25cm,另一个与它相似的 A B，C 的最长边 A' C' = 50cm,求AA' B' C'的周长和面积.【解答】解：. ABC 中，AB=15cm, BC = 20cm, AC = 25cm, .ABC 的周长=60cm, AB2+BC2 = AC2,.ABC是直角三角形， . ABC 的面积