泛函和泛函的极值

1、泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。变分法的基本问题是求解泛函的极值。作为变分法的简单例题。考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。设Pi (xi, y。和P2(X2, y2)为平面上给定的两点，y (x)为连接两点的任意曲 线。于是，这一曲线的长度为mWdx连接Pi, P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足 边界条件的y (x)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得 曲线长度L最小的一条。根据上式，L y依赖于y (x),而y (x)是x的函数，因此称y (x)为自变函数；L y

2、是倚 赖于自变函数的函数，称为泛函。求解最短程线问题，即在满足边界条件在 x=x 时，y(x)=yiy'(x)= y'i在 x=x2时，y(x)=y2y'(xi)= y'i的函数y (x)中，求使得泛函Ly为极值的特定函数。因此 y (x)称为容许函 数。上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y (xj =yi,y (x2)=y2的极小值问题。设 y(x) = y(x)+£(x)假设函数y (x)是使彳#泛函Ly为最小的特定函数(真实的)。变分法有兴趣 研究的是邻近于y (x)的任意容许函数了(工)引起泛函L 了0)的改变。设y(x) = y(

3、x)+ £tf(x)其中名为小参数，而刈(x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数任) 与y (x)的差yy称为泛函自变函数的变分，即=世工)一了(工)=印类似地，容许函数了 的斜率与y (x)斜率白差6y',称为泛函自变函数斜率的 变分，即S yr=yf(x)y9(x)=应该注意6y与函数y (x)的彳散分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y (x)的无穷小增量。而变分5y是y (x)的任意一个微小的改变量。设泛函增量A7 =按泰勒级数展开，则j=五(jcj +8了,>'+3 p)dx*1X|血取aF HF二 J 尸 G,y,/)&am

4、p;+J管3 7+s 了 岫 *震 0/)+ 2霍.3/、鬻伍/2)&+.2!； qySydydy设泛函的增量由泛函的变分表示，有算了柒3F算/F算57+=;方了粒；中 中箝寸野3"2募打"+款”)心分别定义为泛函的一阶，二阶或 k阶变分，分别为名的一次，二次或者k次齐次根据假设，y (x)是使得泛函Jy为最小的特定函数。从而泛函增量 AJ大 于零。注意到当参数名减小时，函数 双工)趋近于y (x),泛函增量 J趋近于 零。首先讨论泛函Jy为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。由于 一阶变分6 y与小参数名成正比，而二阶变分62y与小参数w成正比，一般的讲，

5、 而k阶变分6ky与小参数小成正比。因此，当名充分小时，二阶以上各项变分与 一阶变分6J比较，可以忽略不计。所以，泛函增量 J趋近于零的条件为J =0在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值， 需要考 虑泛函的二阶变分62J。在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分。因为满足极值条件时1)132!3!由于二阶变分62J与小参数金成正比，而k阶变分6 kJ与小参数J成正比。 因此，当总充分小时，三阶以上变分与二阶变分每2J比较，可以忽略不计。因止匕, 如果S2J>0,则AJ>0,泛函Jy为极小值的；反之,如果 S2J&

6、;0,则AJ < 0,泛函Jy为极大值的。因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一 变分62J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分 是最大值。上述条件为泛函极值的充分条件。以下讨论泛函阳4停对于?S函J y的一阶变分为伊由于变分6y和by不是独立无关的，因此上式第吟0一阶变分J J=0,如果二阶 .J是负定的，则此极值J y极值的必要条件。SF5十”曲=08/二项积分可以写作回代则CU -打回代，则- 3F3J - 寺由于函数y (x)在Pi,J dx中餐;dx dy应1：-垮(割s炖二 1 町 飞” d "、出!扁一星(彳胪加P2两点的值为已知，6 y=在这两点/、口能启发化,即在X=Xi和X=X2时，6 y=0,所以dy 收,T 乙叫坨)由于6 y在区间(x, X2)是x的任意函数,所以上式成立的必要条件为积分函 数在区间(x,»)内为零。即y (x)能使得泛函为最大或者最小的必要条件是箓白告尸。上式称为欧拉(Euler)方程。求解此方程并且利用相应的边界条件，就可以 确定y (x) o欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。如 果要确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分”J大于还是小于 零。例题III-1已知泛函(0)=0, Y)=l满足边界条件2,试