第五讲：二次函数系数(对称轴公式)应用

1、关于二次函数系数不等式问题关于二次函数系数不等式问题1、二次函数、二次函数y=x x2 2+2x-3+2x-3与与 x 轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。 2、二次函数、二次函数y=x x2 2 +x+1+x+1 与与 x 轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。 3、二次函数、二次函数y=4x x2 2+4x+1+4x+1与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。 用公式法解方程：用公式法解方程：（1 1）x x2 2+2x-3=0+2x-3=0（2 2）x x2 2+x+1=0+x+1=0（3 3）4x4x2 2+4x+1=0+4x+1=024212162xx1=1，x2=3bb2 24ac=24ac=

2、22 2-4-41 1(-3)=16(-3)=160 0解：解：b b2 24ac=14ac=12 24 41 11 10 0原方程无解原方程无解解：解：解解: :bb2 24ac=44ac=42 24 44 41=01=021420421xx(1(1，0)0)，( (3 3，0)0)（ ，0）21无无4、二次函数、二次函数y=x x2 22x2x8 8 与与x 轴有轴有 个交点。个交点。 5、二次函数、二次函数y= x x2 2+ x + 1+ x + 1与与x 轴有轴有 个交点。个交点。 6、二次函数、二次函数y= 4x4x2 2+1+4x +1+4x 与与x 轴有轴有 个交点。个交点。

3、021抛物线抛物线与与x轴轴交点个数的判定：交点个数的判定：(1)b2-4ac0 2个交点；个交点；(2)b2-4ac=0 1个交点；个交点； (3)b2-4ac0 0个交点个交点抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标x x1 1、x x2 2是是一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根。的根。重要结论：重要结论：a 0， c 0。a 0， c 0。a 0， c 0。a 0， c 0。b 0，b 0，b 0，b 0，yxOyxOyxOyxO二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示的图像如图所示:a 看

4、开口方向；看开口方向； c 看抛物线与看抛物线与y轴交点位置；轴交点位置；b 看对称轴：看对称轴：对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，a、b同号；对称轴在同号；对称轴在y轴右侧，轴右侧，a、b异号。异号。（左同右异）（左同右异）02ab02ab02ab02ab若对称轴若对称轴y y轴，则轴，则二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象中）的图象中a a、b b、c c的符号的符号判别：判别： OyxxOyxOyyOxyo oxyxo oyxOyxOa 看开口方向；看开口方向； c 看抛物线与看抛物线与y轴交点位置；轴交点位置；b 看对称轴：看对称轴：对称轴在对称

5、轴在y轴左侧，轴左侧，a、b同号；对称轴在同号；对称轴在y轴右侧，轴右侧，a、b异号。异号。（左同右异）（左同右异）b=0b=0。，得由02aba 0， b 0， c 0 = =(2004年年绵阳绵阳)二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则的图像如图，则二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象中）的图象中a a、b b、c c的符号的符号判别：判别：a 看开口方向；看开口方向； c 看抛物线与看抛物线与y轴交点位置；轴交点位置；b 看对称轴：看对称轴：对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，a、b同号；对称轴在同号；对称轴在y轴右侧，轴右侧，a、b异号

6、。异号。yxOb2-4ac 0若对称轴是若对称轴是y y轴，轴，则则b=0b=0。（左同右异）（左同右异）a 0， b 0， c 0 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则的图像如图，则二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象中）的图象中a a、b b、c c的符号的符号判别：判别：a 看开口方向；看开口方向； c 看抛物线与看抛物线与y轴交点位置；轴交点位置；b 看对称轴：看对称轴：对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，a、b同号；对称轴在同号；对称轴在y轴右侧，轴右侧，a、b异号。异号。yxOb2-4ac 0= =若对称轴是若对称轴是y y轴，轴

7、，则则b=0b=0。（左同右异）（左同右异）二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则的图像如图，则a 0， b 0， c 0-11yxOab+c 0ab+c 0abc 0二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象中）的图象中a a、b b、c c的符号的符号判别：判别：a 看开口方向；看开口方向； c 看抛物线与看抛物线与y轴交点位置；轴交点位置；b 看对称轴：看对称轴：对称轴在对称轴在y轴左侧，轴左侧，a、b同号；对称轴在同号；对称轴在y轴右侧，轴右侧，a、b异号。异号。当当x=1，y=a+b+c当当x=1，y=ab+c若对称轴是若对称轴是y y轴

8、，轴，则则b=0b=0。（左同右异）（左同右异）yx31Oyx3-1Oyx-3-1O1、如图、如图1：抛物线：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是 。2、如图、如图2：抛物线：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是 。3、如图、如图3：抛物线：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是 。图图1图图2图图3直线直线x=2直线直线x=1直线直线x=2AAPBPBA P B设设A(x1，0），），B (x2，0）是抛物线与）是抛物线与x轴的两个交点，则轴的两个交点，则抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线221xxx结论：结论：4 4、二次函数、二次函数y=axy=ax2

9、2+bx+c+bx+c的图象上有两点的图象上有两点A(1A(1，3)3)和和B(7B(7，3)3)，则，则此拋物线的对称轴是此拋物线的对称轴是 。直线直线x=4x=4设设A(x1，ya），），B (x2，yb）是抛物线上的两点，且）是抛物线上的两点，且ya=yb，则，则抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线221xxx推广：推广：已知抛物线已知抛物线y yx x2 2+bx+c+bx+c的部分图象如图所示，的部分图象如图所示，若若y0，则，则x的的取值范围是取值范围是 ；若若y0，则，则x的取值范围是的取值范围是 。1 1-3-3-1-1y yx xO Ox x2 2=3=32112x令令x

10、1=1221xxx抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线解：解：3 3函数值的正、负性函数值的正、负性-确定图象与确定图象与x轴的交点坐标轴的交点坐标1 1x x3 3x x-1-1或或x x3 3设抛物线与设抛物线与x轴另一交点的坐标为（轴另一交点的坐标为（x2，0）已知抛物线已知抛物线y yx x2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示，的图象如图所示，当函数值当函数值y随随x的增大的增大而减小时，而减小时，x x的取值范围是的取值范围是_。x=1x=1x x1 1函数的增减性函数的增减性-确定对称轴。确定对称轴。已知二次函数已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于的部分

11、图象如图所示，则关于x的的 一元二次方程一元二次方程x2+2x+m=0解为解为 。Oyx31x1=3，x2=1x x2 2= =1 1221xxx抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线2312x令令x1=3，设抛物线与，设抛物线与x轴另一交点的坐标为（轴另一交点的坐标为（x2，0）解：解：（3 3）4x4x2 2+4x+1=0+4x+1=0抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标x x1 1、x x2 2是是一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根。的根。重要结论：重要结论：抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与

12、x轴交点的横坐标轴交点的横坐标x1、x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。的根。抛物线与抛物线与x轴两个交点间的距离公式推导：轴两个交点间的距离公式推导：22121xxxxaacbxx4221即在在x 轴上截得的线段长度是轴上截得的线段长度是 二次函数二次函数y=x2+2x 3 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。4-3yxO1x1x2acxxabxx2121，22244aacbacab212214 xxxxaacb42(1(1，0)0)，( (3 3，0)0)413142422aacb已知抛物线已知抛物线y yx x2 2+bx+c+bx+cA. A. 1 1x x4

13、B. 4 B. 1 1x x3 3 C. xC. x1 1或或x x4 D. x4 D. x1 1或或x x3 3的部分图象如图所示，若的部分图象如图所示，若y0，则，则x的的取值范围是（取值范围是（ ）1-3-1yxO3B201 b+c,-3=c解解: :将（将（1,01,0）和（）和（0,0,3 3）代入抛物线）代入抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c中，则中，则得得x x1 11 1，x x2 23 322cb解得：y=x22x3令令y=0，则，则x22x3=0二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象上有两点的图象上有两点A(1，3)和和B(7，3)，则此，则此 拋物线的对称轴是拋物线的对称轴是 。xy17设设A(x1，ya），），B (x2，yb）是抛物线上的两点，且）是抛物线上的两点，且ya=yb，则，则抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线221xxx推广：推广：直