Ch114-5(机械振动)

1、复复 习习一、简谐振动的三个判据一、简谐振动的三个判据1. 回复力：回复力：kxF 2. 动力学方程：动力学方程：0222 xdtxd 且且由系统决定由系统决定3. 运动学方程：运动学方程：)cos( tAx二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征1. 简谐振动为周期振动。简谐振动为周期振动。2. 状态由状态由A， 决定。决定。3. 由振动系统本身性质决定，由振动系统本身性质决定，A、 由振动由振动 系统和初始条件共同确定。系统和初始条件共同确定。三、旋转矢量法三、旋转矢量法Ax vnaOxa四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量EkAEEPK2141 2 221kAEEEpk 简谐振动的三个特征简

2、谐振动的三个特征量通过量通过旋转矢量法旋转矢量法表示表示出来，用旋转矢量法处出来，用旋转矢量法处理问题更理问题更直观、更方直观、更方便，必须掌握。便，必须掌握。 代数方法：代数方法：设两个振动具有相同频率，在设两个振动具有相同频率，在同一直线上振动，有不同的振幅和初相位。同一直线上振动，有不同的振幅和初相位。11-4 简谐振动的合成（简谐振动的合成（Composition of two SHO）一、一、 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtx tAA cos)coscos(2211 t

3、AA sin)sinsin(2211 tAtA sinsincoscos )cos( tA 结论结论：仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动。的简谐振动。合振幅合振幅)cos(212212221 AAAAA式中：式中：22112211coscossinsin AAAAarctg 可见：可见： , 2 , 1 , 0 212 kk 21AAA 合振幅最大。合振幅最大。A2A1A)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAarctg xY11cos A22cos A11sin A22sin AA2A1A 1 2 几何方法几何方法)cos()(111 tAt

4、x)cos()(222 tAtx振动的振动的合成合成)cos(212212221 AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsin AAAAarctg 讨论一：两分振动同相位讨论一：两分振动同相位, 2 , 1 , 0 212 kk 21AAA 合振幅最大。合振幅最大。当当 A1A212AA A2A1A讨论二：两分振动反相位讨论二：两分振动反相位讨论三：一般情况讨论三：一般情况 , 2 , 1 , 0 ) 12(12 kk |2121AAAAA k 12)cos(212212221 AAAAA当当 A1A2时，时，A 0| 21AAA 1A2AA2AA1A例题例题1 两个

5、同方向同频率的简谐振动，其合振动的两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为振幅为 20cm，与第一简谐振动的相位差为，与第一简谐振动的相位差为 1 =/6，若第一个简谐振动的振幅为，若第一个简谐振动的振幅为cmcm3 .17310 则第二个谐振动的振幅为则第二个谐振动的振幅为 cm，第一、二两个谐振动的相位差第一、二两个谐振动的相位差 2 1= 。cmAAAAA10)cos(2112212 22221AAA 40010)310( 22 即即2/ ,2112 AA解：解：由矢量合成法则：由矢量合成法则：30A1A2A20310102/ 附附 同方向的同方向的 N 个同频率简谐振动的合成（用矢

6、量个同频率简谐振动的合成（用矢量 合成法）合成法） 设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为：表达式为：tatx cos)(1 )cos()(2 tatx)2cos()(3 tatx)cos()( NtatxN 1a3a NaPMRAO NC上两式相除得上两式相除得)2/sin(2 NRA )2/sin(2 Ra 在在 OCP 中：中： )2/sin()2/sin( NaA 2/ )( NCOM 2/ )( COP 21 NCOMCOP1a3a NaPMRAO NC所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。

7、即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。讨论讨论1：)21cos()2/sin()2/sin( NtNa)cos()( tAtx当当 , 2 , 1 , 0 2 kk NaNaA ) 2/sin() 2/sin(lim 讨论讨论2： 即：即： 这时各分振这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。幅为零。 , 2 , 1 , 0 2 nnN 以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。衍射规律时有重要的应用。)21cos()2/sin()2/sin()( NtNatx

8、当当 且且Nn /2 kNn 0)/sin()sin( NnnaA Same directionDifferent Frequency二、二、同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 拍拍利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：合成振动表达式：合成振动表达式：为了简单起见，先讨论两个为了简单起见，先讨论两个振幅相同振幅相同，初相位也相同初相位也相同，在同方向上以不同频，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：率振动的合成。其振动表达式分别为：)cos()(101 tAtx)cos()(202 tAtx 2cos2cos2coscos )cos()cos()(

9、2010 tAtAtx附录：三角函数关系式的证明附录：三角函数关系式的证明 coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21242sin2sin2cos2cos242sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos242cos2cos2222 合成振动表达式：合成振动表达式： 当当 1 与与 2 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，合视为振幅变化部分，合成振动是以成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。2/ )(12 |2/)cos(2|120tA 其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来其振幅变化的周期

10、是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为振动这种合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。一般情况下，合振动无明显的周期性。一般情况下，合振动无明显的周期性。)cos()cos()(2010 tAtAtx ttA2cos2cos212120单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。叫拍频。 显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)2cos(12t )(txt应用：可用于校准钢琴，测量频率等。应用：可用于校准钢琴，测量频率等。121212222212

11、Perpendicular Direction三、方向垂直、同频率简谐振动的合成三、方向垂直、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即向相互垂直的同频率简谐振动，即; )cos(101 tAx)cos(202 tAy10101sinsincoscos ttAx20202sinsincoscos ttAy)sin(sincoscos1020102201 tAyAx 上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 =( 20- - 10)相位差决定。相位差决定。)sin(sincoscos1020102201 tAy

12、Ax)sin(cossinsin1020102201 tAyAx 221222212sincos2AAxyAyAx 质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 0 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 2 时，质点时，质点沿逆时针方向运动。沿逆时针方向运动。当当 时，时，正椭圆退化为圆正椭圆退化为圆。21AA 同频率垂直同频率垂直振动的合成振动的合成讨论讨论1 0)(1020 0221222212 AAxyAyAx 所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。xAAy12 yx 221222212sincos2AAxyAyAx讨论讨论2 )(10200221222

13、212 AAxyAyAx所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。xAAy12 讨论讨论32)(1020 1222212 AyAx 所以是在所以是在 X 轴半轴长为轴半轴长为 A1，Y 轴半轴长为轴半轴长为 A2 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。yxyx; )cos(101 tAx)cos(202 tAy质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向。方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论41222212 AyAx23)(1020 所以是在所以是在 X 轴半轴长为轴半轴长为 A1，Y 轴半轴长为轴半轴长为 A2 的的椭圆方程，且椭圆方程，

14、且逆逆时针旋转时针旋转。yxyx; )cos(101 tAx)cos(202 tAy讨论讨论62010k 则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。3 2 1 0 2121020， kk 综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上合振动在一直线上或者在椭圆上进行进行（直线是退化了的椭圆）；当两个分振动（直线是退化了的椭圆）；当两个分振动的的振幅相等时，椭圆轨道就退化成为圆振幅相等时，椭圆轨道就退化成为圆（直线（直线是退化了的圆）是退化了的圆） 。图形图形012 412 4312 54 74 212 23 四、四、垂

15、直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论讨论1. 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。所示图形依次的循环变化。012 当当 时是顺时针转；时是顺时针转；当当 时是逆时针转。时是逆时针转。 120 212 图形图形2. 如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成如果两个

16、互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。运动轨迹的图形称为李萨如图形。 用李萨如图形用李萨如图形在无线电技术中在无线电技术中可以测量频率：可以测量频率： 在示波器上，垂直方向与水平方向同时，输入在示波器上，垂直方向与水平方向同时，输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。一个未知的频率。2:1: yxTT垂直振动垂直振动的合成的合成垂直振动垂直振

17、动的合成的合成1:211-5 阻尼振动和受迫振动阻尼振动和受迫振动 共振共振Damped oscillations & Forced oscillations Resonance一、阻尼振动：振幅随时间减小的振动一、阻尼振动：振幅随时间减小的振动1. 阻尼的分类阻尼的分类a. 摩擦阻尼：机械能转化为热能摩擦阻尼：机械能转化为热能b. 辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、辐射阻尼：能量辐射出去，形成波（音叉、 乐器等）乐器等）2. 阻尼振动的说明：阻尼振动的说明：kmT 22 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动dtdxvfr 振动系统受介质的粘滞阻振动系统

18、受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与力与速度大小成正比，与其方向相反。其方向相反。弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：xkxxm 022022 xdtdxdtxd 称称 0 为振动系统的固有角频率，称为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数。为阻尼系数。m2 ;20mk 令：令：（1）阻尼较小时，）阻尼较小时， 此方程的解：此方程的解：202 220 )cos()(0 tAetxt这种情况称为这种情况称为欠阻尼欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大由初始条件决定由初始条件决定 A 和初相位和初相位 0 设设000 ,) 0(, 0vdtdxxx

19、tt 即有：即有： 00000cossincos AAvAx ,)(220020 xvxA 0000 xxvtg t欠阻尼欠阻尼)(txa. 周期周期 T：一个位移极大到另一个极大出现的一个位移极大到另一个极大出现的 时间间隔，准周期运动。时间间隔，准周期运动。b. T 比无阻尼时稍长。比无阻尼时稍长。 其中其中 C1，C2 是是积分常数，由初始积分常数，由初始条件来决定，这种条件来决定，这种情况称为过阻尼。情况称为过阻尼。tteCeCtx)(2)(1202202)( （2）阻尼较大时，）阻尼较大时， 方程的解：方程的解：202 t过阻尼过阻尼)(tx无振动发生。无振动发生。202 称之为临界

20、阻尼情况。它是振动系统称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在阻尼天平、平衡位置的情况，应用在阻尼天平、灵敏电流计等。灵敏电流计等。21 , CC是由初始条件决是由初始条件决定的积分常数定的积分常数。tetCCtx 21)()( （3）如果）如果 方程的解：方程的解：202 是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的到无周期性的临界点临界点。220 ZD_4t临界阻尼临界阻尼)(txO2. 振动的特点：振动的特点： 减幅振动和简谐振动的叠加，减幅振动和简谐振动的叠加，t 很大时，作很大时，作=策策 的简谐振动。的

21、简谐振动。设强迫力设强迫力mFhmmk020 2 ; ；令令 1. 谐振子的受迫振动：用周期力驱动的振动谐振子的受迫振动：用周期力驱动的振动二、谐振子的受迫振动二、谐振子的受迫振动 tFf cos0 xvfr 阻尼力：阻尼力：代入动力学的基本方程，则代入动力学的基本方程，则tFdtdxkxdtxdm cos022 非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解 齐次微分方程的解齐次微分方程的解非齐次的一个特解。非齐次的一个特解。 是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论：由微分方程理论：thxdtdxdtxd cos22022 202 其

22、解为：其解为：)cos()cos()(00220 0 tAteAtxt经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解：)cos()(0 tAtx该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅稳定态时的振幅2222204)( hA22002 arctg受迫振动的相位差为：受迫振动的相位差为：讨论：讨论：2200/ , hmFA 较小较小kFmFA02000/ , 0002/ , mFA 若若 很小，很小，A 很大。很大。振幅有极大值振幅有极大值求振幅求振幅 对频率的极值，得出对频率的极值，得出2222204)( hA2202 r共振的角频率。共

23、振的角频率。 2202 hAr共振的振幅。共振的振幅。三、三、 共振共振1. 位移共振：位移共振：A 达到最大值的振动状态（受迫振动）达到最大值的振动状态（受迫振动） 当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（振（resonance）。O阻尼为零阻尼为零2r 0 A1r 发生位移共振时，因振幅最大，所以振动系统能发生位移共振时，因振幅最大，所以振动系统能量最大，系统形变最厉害。量最大，系统形变最厉害。 (2) 速度振幅随阻尼速度振幅随阻尼的减小而增大，但共的减小而增大，但共振频率皆为振频率皆为 0 2. 速度共振速度共振(1) = = 0 时，速度振幅时，速度振幅vm（vm=A ）达到极大达到极大) ( Avvmm 值，叫做速度共振。值，叫做速度共振。 此时系统动能也达到此时系统动能也达到最大值，也叫能量共振。最大值，也叫能量共振。3. 共振的危害及应用共振的危害及应用利：利：乐