2.6对数与对数函数讲义

1、4.6对数与对数函数【2014高考会这样考】1.考查对数函数的图象、 性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和 对数函数有关的复合函数.【复习备考要这样做】1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系.基础知识,自主学习要点掠理1 .对数的概念如果ax= N(a>0且aw 1),那么数x叫做以a为底N的对数，记彳x= logN,其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数.2 .对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且aw1, M>0, N>0,那么 loga(MN)=

2、logaM + logaN： logaN=logaMlogN：logaMn=nlogaM (n R)；fn n logamM =mlogaM(2)对数的性质alogaN = _N_; logaaN=N (a>0 且 aw 1).(3)对数的重要公式换底公式：心"二甯b均大于零且不等于力推广 10g ab log bc log cd = logad.3 .对数函数的图象与性质(2)值域：R(3)过定点(1,0),即 x= 1时，y=0(4)当 x>1 时，y>0 当 0<x<1 时，y<0(5)当 x>1 时，_y50 当 0<x<

3、1 时，y>0(6)在(0, +8)上是增函数(7)在(0, +8 )上是减函 鳌4.反函数指数函数y= ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称.难点正本疑点清源1 .对数值取正、负值的规律当 a>1 且 b>1 或 0<a<且 0<b<1 时，logab>0;当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.2 .对数函数的定义域及单调性对数函数y= logax的定义域应为x|x>0.对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调

4、性时，要按 0<a<1和a>1进行分类讨论.3 .关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1);(4)化同真数后利用图象比较.基础自测1. (2011江苏)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 .答案2，+°° !解析 函数f(x)的定义域为 12, + 8令 t=2x+1 (t>0).因为y= log5t在tC(0, +8)上为增函数，t=2x+1在+ 00 ”为增函数，所以函数y=log5(2x+1)的单调增区间为 12, +00)2. 函数y= loga(x+3)1 (a>

5、0且aw 1)的图象恒过点 a,若点a在直线 mx+ny+1 = 0上(其一 12.中mn>0),则一十一的最小值为 m n答案 8解析 y=loga(x+ 3) 1 (a>0 且 awl)的图象恒过点 A(-2, 1), A(2, 1)在直线mx+ ny+ 1 = 0 上，即 2m+ n= 1.1 , 2n,4m、,3+n(2m+n)=4+m+k >4+2V4=8,当且仅当4m2 =n2时取等号.3.(2012 安 徽)(log 29) (log 34)()“1JA.4B.2C. 2D . 4答案 D解析方法百卡ig_9 ig4原式=lg 2 lg 321g 3 21g 2

6、 lg 2 lg- 3.方法二原式=2l0g23器=2*2 = 4.4. (2012 重庆)已知 a= logz3+log2y3, b= log29log2v3, c= log32,则 a, b, c 的大小关玄早不THB . a=b>cA. a=b<cC. a<b<cD . a>b>c答案 B解析 a= logz3+log2V3= log23V3, b = log29 - log2>/3 = log 23/3,a= b.又函数y= logax(a>1)为增函数，a= log23-73>log22= 1, c= log32<log33

7、= 1, a= b>c.5. (2011安彳t)若点(a, b)在y= lg x图象上，aw 1,则下列点也在此图象上的是()A.,bB. (10a,1-b)C噂，b+1，D. (a2,2b)答案 D解析由点(a, b)在y= lg x图象上，知b= lg a.对于A,点岁 b),当x=a时，y= lg ：=lg a=bwb,不在图象上.对于 B,点(10a,1 b),当 x= 10a 时，y= lg(10a)=lg 10+lg a=1+bw1 b, .不在图象上.对于C,占八、00, b + 1 'j,当 x= ¥时，y= lg 100= 1 - lg a= 1 b

8、w b+ 1,，不在图象上.对于 D,点(a2,2b),当 x=a2时，y=lg a2=2lg a=2b, ，该点在此图象上.题型分类深度剖析题型一对数式的运算【例1】计算下列各式：一一 一 一 2(1)lg 25 + lg 2 lg 50 + (lg 2)；,(lg 3 2Tg 9 用(lgp+lg 8-IggPO )(2) lg 0.3 lg 1.2'(3)(log 32+lOg92) (lOg43+lOg83).思维启迪：(1)lg 2 lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号.(3)利用换底公式，是本题的切入口.解 (1)原

9、式=(lg 2)2+ (1 + lg 5)lg 2 + lg 52=(lg 2 + lg 5+ 1)lg 2 + 2lg 5 = (1 +1)lg 2 + 2lg 5= 2(lg 2+lg 5) = 2.(2)原式=#g 3 2-2lg 3 + 1 各g 3 + 3lg 2-3 !(lg 3-1 *lg 3 + 2lg 2-1 ) ，八3，八 一，(1-lg 3 )2(lg 3 + 2lg 2-1 )3(lg 3-1 ) (lg 3 + 2lg 2-1，lg 4 lg 8皿4 Jg2_Jg3_lg3_Mg 32lg 3 ,匕g 2 3lg 2 , 31g 2 51g 3 52lg 3 6lg

10、2-4.探究提高(1)在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数哥的形式，使哥的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明 常用的技巧.变式训练1求值：鬻9； (2)(lg 5) 2+ lg 50 1g 2;lOg23(3)2lg 49-|lg .8+lg .245.解(i)原式=地交32=2.log 233(2)原式=(lg 5)2+lg(10 X5)lg 1505= (lg 5)2 +(1 +lg 5)(1 - lg 5)= (lg 5)2 + 1 (lg

11、 5)2= 1.原式=lg 472-lg 4 + lg(7j5)=lg "=皿.题型二对数函数的图象与性质【例2】已知f(x)是定义在(00,+8)上的偶函数，且在(oo, 0上是增函数，设a=f(log47),b=f(log23), c=f(0.2 o6),则 a, b, c的大小关系是()B. c<b<aA. c<a<bC. b<c<aD. a<b<c利用函数图象可以直观地得思维启迪：比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值;到各自变量的大小关系.答案 B解析log23= log23= log49, b= f(log23) = f(

12、log49)= f(log49), 10g47<log49,0.2 0.6=(r-1= 5/125> 5/32= 2>log49,又 f(x)是定义在(一8 , +oo)上的偶函数，且在(一8, . 0 610上是增函数，故 f(x)在0,+8)上是单倜递减的，f(0.2)<f(log3)<f(log47),即 c<b<a.探究提高(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合 的思想.变式训练2(i)(2012天津)已知a=21.2, b=弓/

13、0.8, c= 210g52,则a, b, c的大小关系为()A . c<b<aB . c<a<bC. b<a<cD . b<c<a答案 A解析b= t :0.8= 20.8<21.2= a,c= 210g52= 10g 522<log55= 1<20.8= b,故 c<b<a.(2)已知函数 f(x)=loga(x+ b) (a>0且 awl)的图象过两点(1,0)和(0,1),则 a=, b=.答案 2 2解析f(x)的图象过两点(一1,0)和(0,1).则 f( 1)=lOga(1 + b)=0 且 f(

14、0)=lOga(0+b)=1,b 1 = 1b= 2i，即 .b= ala= 2题型三对数函数的综合应用【例3 已知函数f(x)= loga(3 ax).(1)当xC 0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数 a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1?如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手.解 (1) ; a>0且aw 1,设y=3 ax,则y= 3 ax为减函数，xC 0,2时，t最小彳直为3 -2a,当 xC0,2, f(x)

15、恒有意义,即 xC0,2时,3ax>0 恒成立. -3-2a>0.,.a<3-2又 a>0 且 aw1, . a> C (0,1) U，, 2)(2)t=3-ax,a>0 , 函数t(x)为减函数, , f(x)在区间1,2上为减函数，y= log at为增函数，. .a>1, xC 1,2时，t(x)最小彳直为 3 2a, f(x)最大值为 f(1)= loga(3a),33-2a>02 a<2，*，即,故不存在.10gM3a 户 1 a = 3La 2探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函

16、数的底数 a (0,1),还是aC(1, +°0)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定 义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.变式训维m已知f(x)= iog4(4x1).求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间g, 2 I上的值域.解由4x 1>0 ,得x>0.，f(x)的定义域为x|x>0.(2)设 0<xi<x2,贝u 0<4x1-1<4x2-1 , l log4(4xi 1)<log 4(4x2 1), f(xi)&l

17、t;f(x2).故 f(x) = log4(4x1)在(0, + 00)上为增函数.(3) .f(x)在(0, +8)上为增函数，那日一11 0, 2f(2) = log4(4 -1)=log415.1 f(x)在 j, 2 上的值域为0, log 415.思想与方法典例：(12 分)已知函数 f(x) = loga(ax1) (a>0 且 aw1).求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0,+°°)或(oo,y2 y10)内取值.

18、(2)可以在f(x)上任取两点 A(x1, y1)，B(x2, y2), 证明>0即可.规范解答证明(1)由 ax- 1>0,得 ax>1, 1 分当a>1时，x>0,即函数f(x)的定义域为(0, + 8),此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；3分当0<a<1时，x<0,即函数f(x)的定义域为(一8, 0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧.5分，函数f(x)的图象总在y轴的一侧.6分(2)设A(x1，y1)、B(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1<x2,则直线AB的斜率ky1 y2”=匕7 0分x1 x2ax1

19、1y1-y2= loga(ax1- 1)- loga(ax2- 1)= logaax2-1, 8 分当 a>1 时，由（1）知 0<xi<x2, ，1<axi<ax2,axi 1 ._ . 0<axi _ 1<ax2 1.-0V7<1, . yi y2<0.ax2 1又 x1 一x2<0, . *>0.9 分当 0<a<1 时，由（1）知 x1<x2<0,ax1>ax2>1,1. ax1 1>ax2 1>0.10 分,axT , -7>1, . . y1一丫2<0.又

20、x1一x2<0,k>0.ax2 1函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0.12分温馨提醒说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题.事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想.本题的易错点：找不到证明问题的切入口.如第（1）问，不知道求其定义域.不能正确进行分类讨论.若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论思想方法：感悟提高方法与技巧1 .指数式ab=N与对数式logaN = b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2 .多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.3 .注意对数恒

21、等式、对数换底公式及等式logambn = £logab, logab= -1-在解题中的灵活mlog ba应用.失误与防范1 .在运算性质logaMn = nlogaM中，要特别注意条件，在无 M>0的条件下应为logaMn = nloga|M|（nC N*,且 n 为偶数）.2 .指数函数y=ax （a>0 ,且aw1）与对数函数y=logax（a>0,且aw1）互为反函数，应从概 念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3 .解决与对数函数有关的问题时需注意两点（1）务必先研究函数的定义域；（2）注意对数底数的取值范围.练出高分（时间：60分钟）A组专

22、项基础训练、选择题(每小题5分，共20分)1所已知 x=ln 兀，y= log52, z= e 一万，则A. x<y<zB. z<x<yC. z<y<xD. y<z<x答案 D 解析 x= In 兀>ln e, ，x>1.1 y= log52<log 5书，1- 0<y<2.1111.1 z= "2=赤"=2，2<z<1. 综上可得，y<z<x.2.1og2x, x>0, 设函数f(x) = 1log2(-x ):x<0,若f(a)>f( a),则实数a的

23、取值范围是B. (8, 1)U (1, +OO )D. ( 8, 1)u (0,1)A. (-1,0)U(0,1)C. (-1,0)U (1 , +oo )答案 Ca>0解析 f(a)>f( a)? 51 或10g2 a>log2aa<0，八 门a>0a<0f 1? ' /或" 10g2(a >log2( a )a>111<aa>1 或一1<a<0.3.函数f(x) = loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A. (1, +oo )B . (0,1)C.0, 3；D. (3, +8)答

24、案 D解析 由于a>0,且aw1，u= ax- 3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)= logau必为增函数，因此a>1.又y= ax- 3在1,3上恒为正，,.a-3>0,即 a>3,故选 D.4.设函数f(x)定义在实数集上，f(2 x)=f(x),且当x> 1时，f(x)=ln x,则有11A. f（3）f（2）f（2）1 1B. f（2）f（2）f（3）1 1C f（2）f（3）f（2）11D. f（2）f（2）f（3）答案 C解析 由f（2 x） = f（x）知f（x）的图象关于直线 x = 2-x+ x =1对称，又当x1时，f（x）=ln

25、x,所以离对称轴 x= 1距离大的x的函数值大,|2-1|>1-1|>|1-1|, . f(1)<f(1)<f(2).3223二、填空题（每小题5分，共15分）5.（2012江苏）函数f（x）=41 210g6x的定义域为答案 （0,啊解析 要使函数f（x） = ,1 2log6x有意义,x>0,解得o<xwq6 1 2log6x> 0.6.1右 f(x) = ax2,且 f(lg a)=gT0,则 a=答案10或噜解析 f(lg a) = alg a2=50, lg(alg a - 2)= 1g/10= 2, 1- 21g2a lg a- 1 = 0

26、,lg a= 1 或 lg a= 2, ，a=10或 a = 0.7.已知集合 A=x|1og2xW2 , B=（-oo, a）,若a? b,则实数a的取值范围是（c, + oo）, 其中c=.答案 4解析 a=(o,4,又 A? B,a>4.即实数a的取值范围是（4,+8）,，c=4.三、解答题（共25分）8.(12 分)已知函数 f(x)=loga如T(a>0, b>0, aw 1).x b求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性.x+ b解(1)使f(x)有息义，则->0,x b1.- b>0 , x>b 或 x< b,f(x)的定义域为x

27、|x>b 或 x< b.(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,x+ b-f(-x)= lOga x b = lOgax- bx+ b,i'x+b y 1=loga,x+ b 、= Togat =-f(x)-，f(x)为奇函数.9. (13分)若函数y= lg(3 4x+x2)的定义域为 M.当xC M时，求f(x)= 2*23X 4x的最值 及相应的x的值.解 . y=lg(3-4x+x2),3-4x+x2>0 ,解得 x<1 或 x>3, M = xx<1 或 x>3, f(x)=2x+ 2-3X 4x=4X 2x 3X (2x)2.

28、令 2X= t,x<1 或 x>3,t>8 或 0Vt<2.，f(t)=4t-3t2=- 3-由二次函数的性质可知，当 0<t<2 时，f(t)e -4,3,当 t>8 时，f(t) £ ( 8, 160),当 2x= t=即 x= 10g 2时，f(x)max=q.333综上可知，当x= 10g23时，f(x)取到最大值3,无最小值.B组专项能力提升、选择题(每小题5分，共15分)设 f(x)= 1g则使f(x)<0的x的取值范围是A. (-1,0)C.(巴 0)答案 AB. (0,1)D . ( 8, 0) U (1 , +8 )解

29、析 由f(x)是奇函数可得a=- 1,1 +x ."gH'定乂域为(T"1 + x由付<0,可得 0<E<1,1<x<0.2.已知函数f(x)=|lg x|,若awb,且A . (1,+8 )C. (2, +oo)答案 C解析如图，由f(a) = f(b),得 11g a|= |lg b|.设 Ovavb,则 1g a+lg b= 0.f(a) = f(b),则a+b的取值范围是B.1， +°° )D.2, +8 )3.ab= 1, a + b>2Jab= 2.(2012青岛模拟)已知函数f(x)=ax+1og

30、ax(a>0, aw 1)在1,2上的最大值与最小值之和为1oga2+6,则a的值为“ 1-1八 CA.2B.4C. 2D. 4答案 C解析 当x>0时，函数y = ax, y=logax的单调性相同，因此函数 f(x)=ax+ logax是(0, + 8)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1) + f(2)=a2+a+ log a2,由题意得 a?+a+loga2 = 6+ loga2.即 a?+a6= 0,解得 a= 2 或 a= 3(舍去).二、填空题(每小题4分，共12分)1 ，4.函数f(x)=log2(x 2x 3)的单倜递增区间是 .答案( 8, 1)解析 设 t=x22x 3,则 y=logt.由t>0解得