数学思想方法一整体思想

1、数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数 学问题时，通过研究问题的整体形式、整 体结构、整体特征，从而对问题进行整体 处理的解题方法.从整体上去认识问题、 思考问题，常常能化繁为简、变难为易， 同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷 性.整体思想的主要表现形式有：整体代 入、整体加减、整体代换、整体联想、整 体补形、整体改造等等.在初中数学中的 数与式、方程与不等式、函数与图象、几 何与图形等方面，整体思想都有很好的应 用，因此，每年的中考中涌现了许多别具 创意、独特新颖的涉及整体思想的问题， 尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.一.数与式中的整体思想例1 .已知二

2、1 4,则依U的值等于 a b ) 2a 2b 7ab( )A. 6B. 6C5D. 2分析：根据条件显然无法计算出a , b的值，只能考虑在所求代数式中构造出工1的a b形式，再整体代入求解.1 1 2解.a 2ab b E 24 26 2a 2b 7ab 2(1 1) 7 2 ( 4) 7b a说明：本题也可以将条件变形为b a 4ab ,即a b 4ab ,再整体代入求解.例2.已知代数式x2叫 cx) 2,当x 1时, x dx值为3,则当1时，代数式的值为解：因为当x 1时，值为3,所以2 3,即从而)当x1时)原式 1 d(a b c)-21 2 11 d例 3 . 已知 a 20

3、0x 2007 ) b 200x 2008 )c 200x 2009 :)求多项式 a2 b2 c2 ab bc ac的值.分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到2,22,a b c ab bc ac12 (a b)2 (b c)2 (c a)2 ,只要求得a b, b c, c a这三个整体的值，本题的计算 就显得很简单了.解：由已知得，a b b c 1 , c a 2 ,所 以，原式 2 ( 1)2 ( 1)2 22 3说明：在进行条件求值时，我们可以 根据条件的结构特征，合理变形，构造出 条件中含有的模型，然后整体代入，从整 体上把握解的方向和策略，从而使复杂问 题

4、简单化.二.方程（组）与不等式（组）中的整体思 想例4.已知x 2y 4k 1,且0 x y 3,则k的 2x y k 2取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x, y再 代入0 x y 3肯定比较麻烦，注意到条件中 x y是一个整体，因而我们只需求得x y,通 过整体的加减即可达到目的.解：将方程组的两式相加，得：3（x y） 5k 3,所以 x y 5k 1,从而 0 5k 1 3,解得3336一 k 一55例5.已知关于x, y的二元一次方程组3xhay：的解为x 5,那么关于x, y的二元 x by 11y 6一次方程组3(x y) a(x y) 5的解为为x y b(x y) 11分

5、析：如果把x 5代入3xhayi5,解出a, y 6x by 11 b的值，再代入3(x y)“a(x上进行求解，应当x y b(x y) 11是可行的，但运算量比较大，相对而言比 较繁琐.若采用整体思想，在方程组3(x y) a(x y) 5中令x y m,则此方程组变形为 x y b(x y) 11x y n3m an 5对照第一个方程组即知m 5,从而m bn 11n 6 7xy5,容易得到第二个方程组的解为 x y 611的值，又简化x 4,这样就避免了求a, b y2了方程组，简便易操作.11解：, 31y 2说明：通过整体加减既避免了求复杂 的未知数的值，又简化了方程组（不等式 组

6、），解答直接简便.例6 .解方程2x2 3x 452X 3X分析：本题若采用去分母求解，过程 很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用 整体换元，将分式方程转化为整式方程来 解.解：设2x2 3x y,则原方程变形为y 4即 y2 4y 5 0,解得 yi 5 , y2 1,所以 2x2 3x 5 或 2x2 3x 1 ,从而解得 x1 5 , x2 1 , x3 2 , x4 1 , 经检验xi, x2, x3, x4都是原方程的解.说明：（1）对于某些方程，如果项中 含有相同部分（或部分相同）可把它看作 一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程.当然本题也可以设y 2x2 3x 4

7、,将方程变形为y,来解.(2)利用整体换元，我们还可以解决形如告 口?这样的方程，只要设x 1 2x 2xx2 1y,从而将方程变形为3y 2y ：，再转化为一元二次方程来求解.例7.有甲、乙、丙三种货物，若购 甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲 4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现在计划 购甲、乙、丙各1件，共需多少元分析：要求的未知数是三个，而题设 条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、 丙各1件的钱数一一求出来是不可能的， 若 把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体， 问题就可能解决.解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、元、元依 题 意 ， 得43xx 170yyzz3.

8、41.520 ， 即2(x3y)(xyz)3.153(x3y)(xyz)4.20解关于x 3y , x y z的二元一次方 程组，可得x y z 1.05（元）答： 购甲、 乙、 丙各 1件共需1.05元xy说明： 由于我们所感兴趣的不是z的值，而是x y z这个整体的值，所以目标直奔主题，收到了事半功倍的效果函数与图象中的整体思想例8.已知y m和x n成正比例（其中m、n是常数）（1）求证：y是x的一次函数；（ 2）如果y 15时，x 1； x 7时，y 1 ，求这个函数的解析式.解：(1)因y m与x n成正比例，故可设 y m k(x n)(k 0)整理可得y kx (kn m)因k

9、0, k、阿m)为常数，所以y是 x的一次函数.( 2) 由 题 意 可 得 方 程 组15 k (kn m)1 7k (kn m)解得 k 2，kn m 13 .故所求的函数解析式为y 2x 13说明： 在解方程组时，单独解出k、m、n是不可能的，也是不必要的.故将 kn m看 成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法例9. 若关于x的一元二次方程x2 (a2 1)x a 2。有一，根大于1, 一根小于1,求 a的取值范围.分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为 困难.整体考虑，把一 元二次方程 x2 (a2 1)x a 2 0 与二次函 数y x2

10、(a2 1)x a 2联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易.解：由题意可知，抛物线与x轴的交点 坐标，一个交点在点(1。的右边，另一个交 点在点(1,0)的左边，抛物线图象开口向上, 则可得：当x 1时,y 0,当x 1时，y 0,即a2 a 2 0a a2 0说明：（1）由于当x1,x 1日寸,y0所以解答过程中不必再考虑0了.（2）利用函数与 图象，整体考察，是解 决涉及方程（不等式） 有关根的I可题最有效 的方法在之一，在数学教学中应当引起足 够的重视.四.几何与图形中的整体思想例10.如图）123456分析：由于本题出无任何条件，因而 单个角是无法求出的.利用三

11、角形的性 质，我们将1 2视为一个整体，那么应与 ABC中BAC的外角相等,同理3 4,5 6分别与 ABC , ACB的外角相等，利用三角形外 角和定理，本题就迎刃而解了.解：因为 1 2 DAB） 3 4旧A,5 6 GCB ,根据三角形外角定理，得 DAB IBA GCB 360 , 所以 123456 360.说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键.例11.如图，菱形ABCD的对角线长分别为 3 和4） P是对角线AC上任点（点P不与A, C重合）且PE/ BC交AB于E） PF II CD交AD于F）则图中阴影部分的面 积为.解：不难看出，四边形AEPF

12、为平行四边形，从而 OAF 的面积等于 OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于 ABC的面积， 又因为SABC 1SYABCD 2 2 3 4 3,所以图中阴影部 分的面积为3.说明：本题中，OAF 与4 OAE 虽然并不 全等，但它们等底同高，面积是相等的.因 而，可以将图中阴影部分的面积转化为 ABC的面积.我们在解题过程中，应仔细分 析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含 的信息，然后通过整体构造，常能出奇制 胜.例12.如图，在正方形 ABCD中，E为BC 边的中点，AE平分BAF ,试判断AF与BC CF的大小关系，并说明理由.解：AF与BC CF的大小关系为AF BC CF. 分

13、别延长AE , DC交于点G,因为E为BC边的 中点,因而易证 aBeWGCE,所以AB GC) 并且 BAE CGE , AB BC ) 从而 BC CF GF .由于 AE 平分 BAF,所以 BAE FAE) 故 FAE CGE ) 即 AFG为等腰三角形 ) 即AF GF,所以,AF BC CF .说明：证明一条线段等于另外两条线 段的和差，常常用截长法或补短法把问题 转化为证明两条线段相等的问题，本题中 我们利用三角形全等将BC CF转化为FG这一整体，从而达到了解决问题的目的.用整体思想解题不仅解题过程简捷 明快，而且富有创造性，有了整体思维的 意识，在思考问题时，才能使复杂问题简

14、 单化，提高解题速度，优化解题过程.同 时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的 整体思想方法，常常能帮助我们走出困 境，走向成功.练习一、选择题1. （2011 盐城，4, 3 分）已知 a-b=1, 则代数式2a - 2b - 3的值是（）A. - 1C._ 52. （2011,台湾省,26,5 分）计算（250+）3. - （ 250） 2之值为何（）A、B、C、 1200 D、 24003.10 （2011山东淄博10, 4分）已知a是 方程x2+x- 1=0的一个根，则言上的值a 1 a a为（）A. 一B.?C.- 1、填空题1. （2011德州，14, 4分）若Xi, X2是方 程 X2+X - 1=0 的两个根）则x12+x22= 2. （2011年山东省威海市，16, 3分）分解因式：