等差数列的性质以及常见题型

1、等差数列的性质以及常见题型等差数列的性质以及常见题型上课时间:上课教师：上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法一等差数列的定义及应用也成等差数列y z1. 已知数列an的通项公式为an 3n 2 ,试问该数列是否为等差数列2. 已知：-,-,-成等差数列，求证:x y z思考题型；已知数列an的通项公式为an pn2 qn（ p,q R,且p,q为常数）（1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？（2） 求证：对于任意实数p和q，数列am an是等差数列。二等差数列的性质考察(一)熟用 an ai (n 1)d am (n m)d

2、， d（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式）1、 等差数列 an 中，a3 50，as 30，则 a? .2、 等差数列 an中，a3 as 24， a? 3，贝卩a6 .3、 已知等差数列an中，a?与a6的等差中项为5 , a3与a?的等差中项为7 ,贝 y an .4、 一个等差数列中ai5 = 33 , a25= 66，则a35=5、 已知等差数列an中，ap q , aq p，则ap q .（二）公差d的巧用（注意：等差数列的项数）1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于2、等差数列耳包耳丄，an的公差为贝卩数列5a1,5a2,

3、5a3，L ,5兔是（A .公差为d的等差数列B .公差为5d的等差数列C.非等差数列D .以上都不对3、等差数列an中，已知公差a1aaLa9960，贝卩 a1a2 La100A. 1704. 已知x y ,则生电等于b2 b|A -nB. 150且两个数列x,a1,a2,C. 145am, y 与 x,b1, b2,D. 120bn,y各自都成等差数列,m 1nC 一n 1m23，公差为整数的等差数列中，前5. 个首项为项起为负数，则公差d为（）A -2B -3C -46项均为正数，从第7D -5三） m n s t am an as at 性质的应用 注意：角标的数字）1. 等差数列 a

4、n 中，若 a3a4a5a6a7450 ，则 a2 a82. 等差数列 an中，若a4a5a6a7450，则 S10 。3. 等差数列 an中，若S1320 。则 a7_ 。4. 等差数列 an中，若a1110 ，则 S21_ 。5. 在等差数列an 中a3a1140 ，则 a4a5a6 a7 a8 a9 a106. 等差数列 an中,a1a2a324, a18a19a20 78, 则 S20_7. 在等差数列an中，a4 a5 12，那么它的前8项和&等于。8. 如果等差数列an中，a3a4a512 ，那么 a1a2La7。9. 在等差数列an中，已知a a2 a3a 20，那么a3等于。1

5、0. 等差数列 an 中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为 234,则a7 .11. 已知数列 an 的前n项和Sn二n2+3 n+1 ,则ai+ a3+ a5+a21 = 。12. an为等差数列，ai+ a2+ a3=15 , an+ an-i + a n-2 =78 , Sn=155 ,贝 Hn二。（四）方程思想的运用（注意：联立方程解方程的思想）1. 已知等差数列an中，S3=21 , S6=24，求数列an的前n项和52.已知等差数列an中，a3a716 a6 0,求数列an的前n项和Sn（五）Sn,S2n Sn,S3n S?n也成等差数列的应用1. 等差数列前m项和

6、是30，前2m项和是100 ,则它的前3m项和。2. 等差数列an的前n项的和为40 ,前2 n项的和为120，求它的前3n项的和为。3. 已知等差数列an中，S3 4,S9 12,求S15的值.4. 已知等差数列an中，a1 a2 a3 2耳a6 4,则a仃的值5. a1, a2 , a3, a2n+1为等差数列，奇数项和为60 ,偶数项的和为45 ,求该数列的项数.6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有7.在等差数列an中，S4 = 1 , S8 = 3，贝卩 a17 + a18 + a19 + a2o 的值是。（六）an乩的运用2n

7、11.设Sn和Tn分别为两个等差数列an , g的前n项和，若对任意n N* ,都有StTn7n 1 贝y鱼l二4n 27 b112. 设Sn和Tn分别为两个等差数列an , g的前n项和，若对任意n N* ,都有Sn 二 3n 1Tn 4n 33. 有两个等差数列an , n，其前n项和分别为Sn , Tn，若对n N有莘 件+I n 2 n 3成立，求M=（）。bs（七）an与Sn的关系问题；1. 数列an的前n项和Sn=3n n2，贝S an =2. 数列an的前n项和Sn= n2 n 1，则a. =3. 数列an的前n项和Sn= n 2n2，贝S a. =4. 数列an的前n项和Sn=

8、 3n2 4n ,则a. =5. 数列an的前n项和&= 2n 1,则an =6. 数列4n 2的前n项和Sn=.7. 数列 4n 8的前n项和Sn=.8. 数列an的前n项和Sn= 8n2-10.则a.（八）巧设问题；一般情况，三个数成等差数列可设:a d,a,a d ;四个数成等差数列可设:a 3d, a d,a d,a 3d .1.三个数成等差数列，和为18,积为66,求这三个数.2. 三个数成等差数列，和为18,平方和为126,求这三个数.3. 四个数成等差数列，和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.4. 四个数成等差数列 ,中间两个数的和为 13, 首末两个数的积为 2

9、2, 求这四 个数.5. 一个等差数列的前 12 项之和为 354 ，前 12 项中偶数项与奇数项之比 为 32 ：27 ，求公差（九）最值问题 :；1.在等差数列an中,ai 80,d6，求Sn的最大值.2.在等差数列 何中,ai 80,d5,求Sn的最大值.3. 在等差数列a.中,印80,d 6,求Sn的最小值.4.在等差数列an中,ai80, d 5,求Sn的最小值.5.等差数列an中，ai 0, S4 S9，贝S n的取值为多少时？ Sn最大6. 在等差数列an中，a4 =- 14,公差d = 3,求数列a.的前n项和&的最小值7. 已知等差数列an中ai=13且Sa= S11,那么n

10、取何值时,Sn取最大值.8.在等差数列an中，若asa9，公差d v 0，那么使其前n项和Sn为最大值的自然数n的值是.（十）累加法的应用裂项相消1. 已知数列an满足:an an 1 2n 11,求a.2. 已知数列an满足:an 1 an 4n 1耳1 ,求an .3.已知数列an满足:an 1 an 2n 14 ,求 a2o.4.在数列an中，a1 2,an 1 an ln（1 一），求 an.n（十一）由an求an的前n项和1.数列an的前n项和Sn n2 4n，则向| L | a1（） | 2.数列an的前n项和Snn2 4n， 0 a，则数列bn的前n项和Tn3.数列an中，a18

11、, a42，满足 an 22an1an0,n N .(1 )求通项 an ; (2 )设 S |q| L aj，求 & ;1(3 )设bn- ,n N*,Tn b1 b? L bn,n N*，是否存在最大的整数m ,n 12 an使得对于任意n N*，均有Tn 成立，若有求之，若无说明理由.32(十二)由Sn得an的题型、直接法1.已知正项数列an的前n项和为Sn，(n N*)。(1 )求数列an通项公式an ；111(2 )求证：当n 2时，一2 r二La? a3 a4ai3，且满足 2Sn 1 2Sn 3an 1N )，求 an0(n 2)求Sn和an ；倒数法1.已知数列an中，an工，

12、ai = 2，an1 =念（n 12.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1 2，an 2&Snl1（I）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（II）2 2 2 1 1（III ）求证：S1 S2Sn -。4n3.已知函数f(x) -(a,b为常数,ax b解。a 0)满足f (2) 1且f(x) x有唯(1)求 f(x)的解析式(2 )如记Xnf (xn J，且 Xi 1， n N ，且 xn。数列与函数1.已知二次函数y f (x) f (x) 3x2 2x，数列an的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n N )均在函数y f(x)的图像上。(I )求数列an的通项公式；(II )设bn -,Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有n N都anan 120成立的最小正整数m ；倒序相加12.设函数f x -