等价无穷小替换_极限的计算

1、无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、 几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1

2、.定义前面我们研究了 n数列xn的极限、x（ x、x）函数f x的极限、x X。（ x xo、x xo ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。下面我们用 x*表示上述七种的某一种趋近方式，即* nxxxxx0 x x0xx0定义：当在给定的x*下，f （x）以零为极限，则称f （x）是x *下的无穷小，即xm*fx0。例如，lim sinx 0, 函数sin x是当x0时的无穷小.limn(1)n0,1函数-是当x时的无穷小数列口是当n时的无穷小.n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆; 不是无穷小。零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都定义：当在给定的x*下,x无限增大，则称f X是x*

3、下的无穷大，即lim f x 。显然，nx *时,n、n2、n3、都是无穷大量,无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim exxlim ex 0,xf x为无穷大,所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果1 1则丄为无穷小；反之，如果 f x为无穷小，且f X 0，则为无穷大。f xf x小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量， 任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先

4、应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系：定理1 limf(x)=A? f (x) A+ (x),其中(x)是自变量在同一变化过程X? xxx Xo (或x )中的无穷小.证：(必要性)设 lim f (x) = A,令(x)二 f (x)- A,则有 lim (x) = 0,x? xox? xox? x0x? x0f(x) A (x).(充分性)设f(x) = A +(x),其中(x)是当x? X。时的无穷小，则lim f (x) = lim( A+X xx x(x) Alim (x)x x0A【意义】(1 )将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2)给出了函数f(x)在x

5、o附近的近似表达式f(x)?A,误差为(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小11例如,n时,丄是无穷小，但n个 -之和为1不是无穷小.nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小如：lim ( 1)nn 1 c1c1-0， lim xsin0， lim sinx 0nx 0 xx x推论在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论常数与无穷小的乘积是无穷小推论有限个无穷小的乘积也是无穷小二、无穷小的比较1例如，当x? 0时,x,x2,sinx,x2sin 都是无穷小，观察各极限:x2lim 0, x2比3x要

6、快得多x 03xlim sinx 1, sinx与x大致相同;X 0 x2 1x sinx 1lim 2 lim sin 不存在.不可比.x 0 xx 0 x极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同1.定义：设，是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且1 0.(1)如果lim=0,就说 是比 高阶的无穷小，记作 =o();如果lim C(C 0),就说与是同阶的无穷小；特殊地如果lim = 1,则称与是等价的无穷小，记作如果lim 飞=C(C ? 0,k0),就说 是 的k阶的无穷小.证明：当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3 xtanx 3 弘吃证:0时,4xta n3x

7、为x的四阶无穷小.xm0x4 4lxm0(=)4,故当 x当x 0时，求tanx sinx关于x的阶数.tanx sinx limx 0x3tan x 1 cosx、00(7x2tan xsin x为x的三阶无穷小.2.常用等价无穷小：当x 0时，(1)sin x x ；(2) arcsinx x ；(3)tanx x ；(4)arctanx x ；(5) ln(1 x)x ；(6)xe 1-x(7)2彳x1 cosx (8) (1 x) 1 x(9)xa - 17 In a* xlim 1, lim0,即o(),于是有o().1例女口 sin x x o(x), cosx 1 x2o(x2)

8、.3.等价无穷小替换定理：设且lim 一存在，则lim lim .2用等价无穷小可给出函数的近似表达式证：lim lim( ) lim lim lim 一 lim .(1)求limx (2tan 2x.；01 cosx(2)lim 1x 0 cosx 1(1)(2x)2TT = 8 x22cosx 2x , tan2x2x. 故原极限=呢(2)原极限=002x2x求limx错解:正解:故原极限二tanx sinxsin3 2x0时,tan x x,0时,sin 2x 2x,lim 3 x?°(2x)16sin x x.原式 limx 0tan x sin x1 3tan x(1 co

9、sx) x3,2只有因子乘积形式才可以进行等价无穷【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换, 小替换。求 tan5x cosx 1x 0sin3x解： tanx 5x o(x), sin 3x3x o(x), 1 cosx原式=limx? 01 225x+ o(x) + x + o(x )23x+ o(x)叫IKo-3一 x2 o(x2).2o(x2)x 53.三、极限的简单计算1.代入法：直接将xX。的X。代入所求极限的函数中去，若f xo存在，即为其极542x5 3x4 2x 限，例如lim仝产 2x x 1 3x3 2x 42;若f x0不存在，我们也能知道属于哪种未定式,9便于我们

10、选择不同的方法。例如,limx 3 x9-就代不进去了，但我们看出了这是一个3未定式，我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式，消去零因子法例如,2lim x 3 x 3lim x 3x 33.分子（分母）有理化法limx 2x253.x2.2x 1、5 2x22x2xx 2 x 2 limx 22x2又如，lim 、x21xlimx4. 化无穷大为无穷小法例如,lim 3x2 + x- 7 = limx2x2 - x + 4 x3+ -x1 +x7x4x实际上就是分子分母同时除以2x这个无穷大量。由此不难得出limxma°xb°xnm 1a1xn 1am bnaobo &

11、#39;0,2n再如,limn2n5n3n5nlimn1，（分子分母同除5n）。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,0 ,(无穷小量乘以有界量)xarcta nx 1lim 2x 3x x 1又如,4x 1x2 2x 3解：lim(x2 2x 3) 0,商的法则不能用x 1又 lim (4x 1)3 0,x 1x2 2x 3 limx 1 4x 10-0.3由无穷小与无穷大的关系4x 1 x2 2x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§ 1.4例3 例5)7. 分段函数、复合函数求极限1 xx 0例如，设 f(x)

12、2',求 lim f (x).x2 1, x 0x 0解：x 0是函数的分段点，两个单侧极限为lim f(x) lim (1 x) 1, lim f(x) lim (x2 1)1,x 0x 0x 0x 0左右极限存在且相等，故lim f(x) 1.x 0【启发与讨论】1 1思考题1:当x ? 0时,y -sin-是无界变量吗？是无穷大吗?解: (1)取 x0(k 0,1,2,3,)x x12k -2y(x°) 2k取x。,当k充分大时，y(x°) M .无界,21(k 0,1,2,3,)2k当k充分大时，Xk,但y(xQ 2k sin2k 0 M .不是无穷大.结论

13、：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大 .思考题 2:若 f(x) 0,且 Jim f (x) A，问：能否保证有A0的结论？试举例说明.1解：不能保证.例f(x)X 0,X思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗？1 时 f(X)-解：不能例如当X【课堂练习】f(x)0 limxf(x) lim - A 0.X xx，g(x)sin x +都是无穷小量xlim sinx不存在且不为无穷大，故当x时f (x)和g (x)不能比较.求下列函数的极限Xe cosx (1) limx 0 xx解：原极限=lim e COSxx 0x.e 1 lim0lim -x 0COSX3sin x

14、 x2 cos(2)求 limx 0 (1 cosx)ln(1 x)【分析】型，拆项。解:原极限= xm03si nx x'cos1x2x=0。3 sin x2x2x cosx2x(3) limX5,425x 4x 3x2x5 4x 1【分析】“抓大头法”，用于一型解:5原极限=lim X 24：二=2，或原极限=!im予'x x(4) lim( X2 x x)；X【分析】分子有理化解：原极限=limx,x2-=limx x(5)匹(2x-2xx 2)【分析】型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分，后计算。解：02（2x-2x)= lim4x2 x 一2小x x 2 广 x 2 Tim 2 x24 x 22X（6） limx ° x29 3【分析】“0 ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。0解：原极限=limx 0.x2x2=6_2 nlim (-2n n弓)lim 1 2 2一-n nnlimnlim -(1 -) n 2 n1(7)求 lim(-yn n解：n时,是无穷小之和.先变形再求极限【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的 .1、主要内容：两个定义；四个定理；三个推论.2、几点注意（1）无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无