九年级下学期数学第27章《相似》

1、2020-2021学年九年级下学期第27章 相似一.选择题（共27小题）1 .己知三则史工等于（）y 2 yA.生B工C. 2D. 323【分析】由题干可得y=2x,代入史工计算即可求解. y【解答】解：VA.JL, y 2y=2x, x+y x+2x = 3故选:A.【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积.即若亘=工，则，/ b d=反，比较简单.2.若且上三，则亘也=（）2 3 4 b+cA.1B.-工C. 7D. -777【分析】设且上二=匕进而利用比例的性质解答即可.2 3 4【解答】解：设包上二=匕2 3 4可得：a=2k, b=3k, c=4k,把 ”=2k,

2、b=3k,=然代入干:3k J, b+c 3k+4k7故选：B.【点评】此题考查比例的性质，关键是先设且上二=#.2 3 43.如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A. 2： 4=1.5： 3 B. 3： 1.5=4： 2 C. 2： 3=1.5： 4 D. 1.5： 2=3： 4第1页共28页【分析】根据对于四条线段“、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与 另两条线段的比相等，如=（即“=/）,我们就说这四条线段是成比例线段，简 称比例线段，进而分别判断即可.【解答】解：4、2： 4=1： 2=1.5： 3,能组成比例，错误；B、3： 1.5=2： 1=4： 2,能组成比例

3、,错误：C、2： 3X1.5： 4：不能组成比例，正确；D. 1.5： 2=3： 4,能组成比例，错误；故选：C.【点评】此题主要考查了比例线段，正确把握比例线段的定义是解题关键.4 .已知三个数为3、4、12,若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可 以是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】根据对于四条线段“、氏。、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与 另两条线段的比相等，如，：6=c：（即山=儿），我们就说这四条线段是成比例线段， 简称比例线段，进而分别判断即可.【解答】解：1： 3=4： 12,故选:A.【点评】此题主要考查了比例线段，正确把握比例线段的定义是

4、解题关键.5 .由等积式=汕，能得到比例式（）A,且曰B.2SC.典萼D.典Vb nb ma bb n【分析】把乘积式转化为比例式即可.【解答】解：Vmti=nb,.a _ n ,b id故选：B.【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，属于中考基础题.6.如图，在ABC中，AB=AC=2,将ABC绕点C逆时针方向旋转得到OEC,当点。 落在8c边上时，EO的延长线恰好经过点A,则A。的长为（）Ac. Vs-1【分析】利用旋转的性质得CO=C4 = 2, /B=/E,再证明/8=/。4。得到8O=AD,接着证明明Os28CA,然后利用相似比可计算出5。的长，从而得到A。的长

5、.【解答】解：:ABC绕点C逆时针方向旋转得到OEC,：.CD=CA = 2, NB=NE,/ADB=/CDE,:/BAD=/DCE, ：.ZACD=ZBAD.AB=AC,，NB=NACD,:/B=/BAD,：.BD=AD.V ZABD=ZCBA. NBAD=/ACB,:ABADs ABC A, BD AB nn BD _ 2 I -11 9 L|J I -,AB BC 2 BD+2整理得 BD2+2BD - 4=0,解得 BD=f5 - I， 。=近-1.故选：C.第3页共28页A【点评】本题考查了黄金分割：把线段A8分成两条线段AC和8c （AO5C）,且使AC是A3和8。的比例中项（HP

6、 AB： AC=AC： BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.其中七0.61843,并且线段A8的黄金分割点有两 2个.也考查了旋转的性质.7.已知点P是线段A3的黄金分割点，AP3P.记以AP为一边的正方形面积为Si，以3P、AB为邻边矩形的面积为S2,则（）A. SiSzB. 5i=S2C. Si52D. Si、S2大小不能确定【分析】根据黄金分割的概念知AP： AB=P& AP,变形后求解即可得出答案.【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP： AB=PB： , RP AP2=PB-AB,则 Si： S2=AP2： （PBAB） =1,即 Si =$2.故选：B.【

7、点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的而积进行分析计算.8.已知点C是线段/W的黄金分割点（ACs2A8C的是（）ZB=ZACD C. ZACD=ZBCD D. AB AC【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案.【解答】解：(A) NA=NA, ZADC=ZACB./B=/ACD,：./ACD/ABC,故B能判定ACDs/XABC：（D）噜噜NA=NA,CDs ABC,故D能判定ACDs/XABC：故选：c.【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型.14 .如图，点。、E分别在ABC的边A3、AC上，且AB=9

8、, AC=6, AO=3,若使AOE【分析】由于AOE与ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论.【解答】解：若NAE。对应N5时，普=热，即华=看，解得从七=旦2当NAOE对应N8时，他=3里即旦=3男，AB AC 9 6解得AE=2.故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关 键.15.如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上两个端点之间的距离为幽=也=工，则容器的内径是（）BO CO 2D A臼A. 5cmB.C. 5cmD. 20cm【分析】连接A。，BC,依题意得：AAODsABOC,则其对应边成比例，由此求得8c的长

9、度.【解答】解：如图，连接A。，BC,也旦，/AOD=NBOC,BO CO 2AOOszXBOC, AD-AO-lBC BO 2又 A。=10c?，：.BC=2AD=20cm.故选：D.【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.16.如图，小雅同学在利用标杆3E测量建筑物的高度时，测得标杆8E高12，又知A&BC=1： 8,则建筑物CD的高是（A. 9.6mB. 10.8?C. 2mD. 14/h【分析】先证明ABEs/XACQ,则利用

10、相似三角形的性质得求出co即可.【解答】解：.AB： BC=1： 8,：.AB： AC=1： 9,: EB/CD,，AABEsAACD, AB-BE-l ,AC CD 9 BE= 1.2,:CD= 10.8?，故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直 尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知 识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.17.如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）【分析】根据勾股定理求出四边形ABC。的四条边之比，根据相似多边形的性质判断即 可.【解答】解

11、：作AE_LBC于E,则四边形4ECD为矩形，：.EC=AD=1, AE=CD=3,；BE=4,由勾股定理得，AB = JAE2 +BE 2= 5，四边形A3CQ的四条边之比为1： 3： 5： 5,。选项中，四条边之比为1： 3： 5： 5,且对应角相等，故选：D.【点评】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是 解题的关键.18.两个相似多边形的相似比是2： 3,则这两个多边形的周长比是（）A. 4： 9B. V25 V3 C. 2： 5D. 2： 3【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题.【解答】解：两个相似多边形的相似比是2： 3,这两个多边形的周长为2：

12、3.故选：D.【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考 题型.19 .如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA, NOAB=90 ,直角边0A在x 轴正半轴上，且。4 = 1,将RtZiOBA绕原点。顺时针旋转90 ,同时扩大边长的1倍， 得到等腰直角三角形081Al （即40=24。）.同理，将RtZXOBMi顺时针旋转90 ,同 时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形082A2依此规律，得到等腰直角三角形 。比019A2019，则点B2019的坐标为（）【分析】根据题意得出3点坐标变化规律，进而得出点电019的坐标位置，进而得出答案.【解答】解：A08

13、是等腰直角三角形，。4=1,：.AB = 0A=,：.B (L 1),将RtAAOB绕原点。顺时针旋转90。得到等腰直角三角形AiOBi，且AO=24O, 再将RLAiOBi绕原点。顺时针旋转90得到等腰三角形42。历，且42。=24|0，依此规律，每 4 次循环一周，Bi (2, -2), &(-4, -4), 3(-8, 8), 以(16, 16),V2019-e-4=502-3,A点B2019与B3同在一个象限内,V - 4= -2?, 8=23, 16=24,点府9（-22叫220%【点评】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键.20 .如图，=ABC。中，ZC

14、= 120 , AB=AE=5, AE 与 BD 交于点、F, AF=2EF.贝iJ BC的长为（）A. 12B. 10C. 8D. 6【分析】根据平行四边形的性质得出AQ=3C, AOBC,根据相似三角形的判定得出AFOsaefb,根据相似三角形的性质得出巫=/，即可得出答案.AD AF【解答】解：四边形ABCO是平行四边形，:.AD=BC, AD/BC,：.AAFDsAEFB, BE = EF. AD AF，9：AF=2EF.:AD=BC=2BE,; BE=5,8C=10,故选：B.【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出AOsA EFB是解此题的关键.21 .如

15、图，在。中，CD是直径，且CO_LAB于P,则下列结论中AP=P8PO=P NBOD=2NACDAP2=PUPD,正确的个数有（）【分析】利用垂径定理可对进行判断：利用垂径定理得到俞=丽，则根据圆周角 定理可对进行判断：通过证明八4尸。/2。出可对进行判断.【解答】解：直径CQ_LAB,：.PA=PB,所以正确；只有当A8垂直平分0。时，PO=PD,所以错误：;直径 CDL45,/. AD= BD，：.ZB0D=2ZACD, 连接A。，如图，为直径，：.ZCAD=90 ,AZC=ZB4D,：.AP： PC=PD： AP.：.AP2=PCPD,所以正确.故选：c.【点评】本题考查了相似三角形的判

16、定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了垂径定理和圆周角定理.22 .如图，正方形A5CO边长为4, M, N分别是边BC, 上的两个动点且AA4LMM则AN的最小值是（A. 4B. 5D. 472【分析】在RtAAD/V. AN=J吊Tq谭，而AO=4为定值，所以当DN取最小值时,AN也取最小值.于是设BM=x,利用求出CN的长，即可表示出ON的长，根据二次函数的最值求法即可得到正确结果.【解答】解：，NAMB+NCMN=90而 NAM8+NM48=90/. ZM

17、AB= ZNMC又: ZB=ZC=90 AB一州 *MC-CN若设 5M=x,则 CM=4-x于是有a啮，CN=L （4-A-）4，ON=4 - CN=L2-I4（x-2） 2+3即：当8M=2时，ON取最小值为3,而AN=J皿2+0/，而4。=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值此时 AN=q 2 +3 2=5即当QN取最小值3时，AN也取最小值5.故选：B.【点评】本题考查的是相似三角形的性质应用与二次函数求最值的结合，把代数与几何 问题进行了相互渗透，本题中运用二次函数求线段的最值是解题的关键.23 .若尸是RtZABC斜边8C上异于8,。的一点，过点尸作直线截ABC,截得的三

18、角形 与原ABC相似，满足这样条件的直线有（）条.A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】过点尸作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要 再作一个直角就可以.【解答】解：由于ABC是直角三角形，过尸点作直线截ABC,则截得的三角形与ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与RtZA3C相似，过点尸可作AB的垂线、AC的垂线、8c的垂线，共3条直线.故选：C.【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用.解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似.24 .下列事件中，是随机事件的是（）A.。的半径为5,。尸=3,点P在。外B

19、.相似三角形的对应角相等C.任意画两个直角三角形，这两个三角形相似D,直径所对的圆周角为直角【分析】根据确定事件、随机事件的定义，利用点圆的位置关系的判定方法对A进行判 定；根据相似三角形的性质对3进行判定：根据相似三角形的判定可对。进行判定；根 据圆周角定理可对。进行判定.【解答】解：A、因为。尸的半径，所以点尸在。内，所以点尸在。外为不可 能事件：8、相似三角形的对应角相等为必然事件；C、任意画两个直角三角形，这两个三角形可能相似，也可能不相似，所以它为随机事件: D、直径所对的圆周角为直角为必然事件.故选：C.【点评】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个

20、图形放大或缩小得到.相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的 基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图.也考查了随机事件.25 .如图，在ABC中，NACB=90 , CD_LA3于点。，ACBC,则下列结论中错误的A. CD2=ADDBB. ACDB=BCA。C. AD-BC=ACCDD. BC2=BDAB【分析】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角 边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.根据射影定理以及相似三角形的性 质即可得出结论.【解答】解：VZACF=90 , CDAB：.CD2=ADDB, BC?=BDAB,故A、。选

21、项正确； AC = AD = CD而CD丽，AC08=30C。，故8选项错误;ADBC=AC。,故。选项正确：【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.26.如图，AB是半圆。的直径，点。是A8上任意一点（不与点A, B重合），作CO_LAB 与半圆交于点C，设AO=a, BD=b,则下列选项正确的是（）rA.B.晶 c.D.乙乙乙乙【分析】根据已知条件得到oc=亘也，再通过证明ACOsCBO,利用相似比得co2=幅，根据直角边与斜边的关系得00co （当。点为半圆AB的中点时取等号），于是得

22、到结论.【解答】解：连接AC, BC,TAB 为直径，AB=AD+BD=a+h.：.ZACD=90 , OC=t,2NA+N8=90 ,CD 工 AB,/. zacd=zcdb9：.ZA+ZACD=90 ,，NACD=NB,：MCDs4CBD, CD_AD nn CD- a 11 1 1 9 L、|J I- 一,BD CD b CD:.CD=I、b. ：OC、CD （当。点为半圆AB的中点时取等号）,乙故选：B.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.27.如图，将正方形ABCO放于平而直角坐标系中，己知点A (-4, 2), B

23、(-2, 2),以 原点。为位似中心把正方形ABCO缩小得到正方形AC D,使QA ： 04=1： 2,则点。的对应点。的坐标是()稀 4- 5- 2- 1-4 -3 -2 -10 1 2 3-1-2 一 -3- -4-A. ( -8, 8)B. ( -8, 8)或(8, -8)C. ( -2, 2)D. ( -2, 2)或(2, - 2)【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为比那么位似图形对应点的坐标的比等于G或-进行解答.【解答】解：点A (-4, 2), 8(-2, 2),以原点0为位似中心把正方形ABC。缩 小得到正方形A夕 C D,使0A ： 0A=： 2, .点。的坐

24、标是：(-4, 4),点。的对应点的坐标是：(-2, 2)或(2, -2).故选：【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平而直角坐标系中，如果位似变换 第18页共28页是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于攵或-匕 二.填空题（共6小题）28.若三上，则一=旦.y 3 x+y 一包一【分析】将原式变形为x=Z/代入后即可求解.【解答】解：三W，V 3 V =工=3 x+y 5 y 5 3y故答案为：至.【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够正确的变形，难度不大.29 .如图心，0被一组平行线Li，Li, L3所截，显然三条平行线不是等距的，若延=工BC

25、 2则理为L .DF -3-JL5【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.【解答】解：9：L/L2/L3. AB DE_1 ,二 一 *BC EF 2.DE.1 一 ,DF 3故答案为：i.3【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比 例定理.30 .如图，在正方形A8CO中，点P是A8上一动点（不与A, 8重合），对角线AC、BD 相交于点。，过点P分别作AC、8。的垂线，分别交AC、BD于点、E、F,交A。、BC 于点 M、M 下列结论：APEgZVIME： PM+PN=ACx APOFAB/VF；当 PMNsAAMP时，点p是A3的中点，其中一定

26、正确的结论有 .(填上所 有正确的序号).【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断和8PN以 及A4PE、尸尸都是等腰直角三角形，四边形PEOE是矩形，从而作出判断.【解答】解：四边形ABC。是正方形，AZBAC=ZDAC=45 .在APE和AME中，“NB&C 二/DK AE二&E,ZAEP=ZAEJIAAAPEAAME (ASA),故正确：.PE=EM=PM.2同理，FP=FN=&P.2:正方形A8CQ中，ACLBD.又 TPELAC, PFLBD,：.ZPEO= ZEOF= ZPFO=W ,且APE 中 AE=PE四边形PEOF是矩形.:PF=OE,：.PE+PF=O

27、A,又FP=FN=1WP, OA=C,222；PM+PN=AC,故正确；BNF是等腰直角三角形，而POF不一定是，.POE与不一定相似，故 错误；AMP是等腰直角三角形，当时，PWN是等腰直角三角形.:.PM=PN,又AMP和8PN都是等腰直角三角形，：.AP=BP,即尸是A8的中点.故正确.故答案为：.【点评】此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用，认识APM 和ABPM以及zMPE、ABPE都是等腰直角三角形，四边形PEOE是矩形是关键.31 .如图，正方形ABCQ的边长为4,点E是AB延长线上一点，且AE=6,以AE为直径的半圆交8C于点F，贝【分析】作出AE的中点。

28、，连接。F,在直角OB尸中利用勾股定理即可求得5尸的长.【解答】解：作出AE的中点O,连接。F.贝IJ。尸=。4=工=3, OB=AB-OA=4-3=. 2在直角3E中，=4仃242:7?守=2&故答案是：272.【点评】本题考查了射影定理，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键.32 .如图，矩形EEG。的两边在坐标轴上，点。为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某 一点为位似中心，作位似图形ABCO,且点B, F的坐标分别为（-4, 4）, （2, 1）,则 位似中心的坐标为 （0, 2）.【分析】连接BE交y轴于P，根据题意求出CG,根据相似三角形的性质求出GP,求出【解答】解：如图

29、，连接8尸交y轴于P，V八G0丁四边形ABC。和四边形EFG。是矩形，点8, E的坐标分别为（-4, 4）, （2, 1）,二点C的坐标为（0, 4）,点G的坐标为（0, 1）,，CG=3,: BC/GF,.GP = GF=1PC BC 2:GP=1, PC=2,点P的坐标为（0, 2）,故答案为：（0, 2）.【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相 似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做 位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键.33.如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABe与正方形OOEF是位似图形，点。为位似 中

30、心.位似比为2： 3,点3、E在第一象限，若点A的坐标为（1, 0）,则点E的坐标是 骂.22第24页共28页【分析】由题意可得04。=2： 3,又由点A的坐标为（1, 0）,即可求得0。的长, 又由正方形的性质，即可求得E点的坐标.【解答】解：正方形O4BC与正方形0DEE是位似图形，0为位似中心，相似比为2：3,：.OA：。=2： 3,.点A的坐标为（1, 0）,即。4=1,:.OD=i,2.四边形。OEF是正方形，:DE=0D=3.2点的坐标为：（刍，&）.2 2故答案是：（W, W）.2 2【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定 义是解此题的关键.

31、三.解答题（共7小题）34. （1）解方程/-3x- 18=0；（2）如图，BD、AC 相交于点 P,连接 8C、AO,且N1 = N2,求证：AADPABCP.【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案.（2）根据相似三角形的判定即可求出答案.；.%=6 或犬=-3：（2） VZ1 = Z2,DPA = ZCPB,.AOPdBCP：【点评】本题考查一元二次方程以及相似三角形，解题的关键是熟练运用方程的解法以 及相似三角形的判定，本题属于基础题型.35.孙子算经有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立-一标杆，长一 尺五寸，影长五寸.问竿长几何？”友情提醒：歌谣的意思是：有一

32、根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五.同时立 一根一尺五的小标杆，它的影长五寸.请你算一算竹竿的长度是多少.丈和尺是古代的长度单位，1丈=10尺，1尺=10寸.【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解：设竹竿的长度为x尺，.竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，.上=星_,解得x=45 （尺）.15 0.5答：竹竿的长度是45尺.【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题 的关键.36 .在图1的6X6的网格中，己知格点ABC （顶点A、B、。都在格各点上）（1）在图1中，画出与ABC面积相等的格点ABQ （不与ABC全等），画出一种即 可：（2）在图2中，画出与A8C相似的格点A181C1 （不与ABC全等），且两个三角形 的对应边分别互相垂直，画出一种即可.【分析】（1）利用等底同高作三角形A8Q：（2）利用相似比为2画ABC.【解答】解：（1）如图1，A3。为所作；（2）如图2, AiBiG为所作.第30页共28页【点评】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个 图形放大或缩小得到.也考查了全等三角形的性质.37 .已知如图，RtzM