第二十七讲空间角与距离

1、第二十七讲 空间中的角与距离基础知识一. 空间角的计算空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为（0°, 90° 、0°，90° 和0°，180° 。1. 两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；（2）通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 （0,上，向量所成的角范围是0,二，如果求出的是钝角，要注意转2化成相应的锐角2. 直线和平面所成的角：求法：“一找二

2、证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”3. 二面角的证明与计算：解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（I）定义法；（n）利用三垂线定理或逆定理；（川）自空间一点作棱垂直的垂面， 截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法. 此外，当作二面角的平面S*角有困难时，可用射影面积法解之，cos =，其中S为斜面面积，S'为射影面积，S为斜面与射影面所成的二面角二. 空间距离的计算1. 点到平面的距离：平面外一点P在该平面上的射影为 P '，则线段PP&#

3、39;的长度就是点到平面的距离； 求法：（1） “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。（2）等体积法。2. 直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；3. 平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，即一个平面上任意一点到另一平面的距离叫做这两个平行平面的距离。典型例题题型一：空间角的计算例1如图，已知点 P在正方体 ABC A A1B1C1D的对角线 BD上，/ PDA=60。C'C图 4-2-6(1) 求DP与CC1所成角的大小；(2) 求DP与平面AA1D1D所成角的大小。【点击思维生长点】 由题目可获得的主要信

4、息及解题思路：本题是以正方体为背景求空间角问题，通性通法是建立空间直角坐标系，利用向量解题。点P的位置是以/ PDA=60给定的。解决本题必须确定点 P的坐标。如何求出DP的坐标？可以设 DP $；0乜DPDD，。9=(;,1-)1COS<DP,DA>=2 -1 ；2DP =( .2 -1八2 -1,2 -2) =( 一2 -1)(1,1, .2)若把DP延长与D，B，相交于点H,可设H(m,m,1),使运算更简单。uu解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D - xyz 则DA二(10Q ,UUITCC(0,01) 连结 BD , B D 在平面 BBDD 中，延长

5、 DP 交 B D 于 H UUIT设 DH =(m, m,1)(m0),uuu uuu由已知：DH ,DA *=60o ,uiu uuuuur uuuuuT| uuu由 DAgDH = DA DH cosvDA,DH >可得 2m h ：'；'2m21 .近 uuu解得m ，所以DH2,1 I2 2丿uuu uuu(I)因为 cos ： DH ,CC -0 -0112 212yuuu uuu所以:：:DH ,CC45° .即DP与CC 所成的角为45：.(n)平面 AADD的一个法向量是uuuDC =(010).uuu uuu1 .2因为 cos ： DH ,

6、DC -uuu uuu所以:：:DH ,DC 60°.可得DP与平面AA D D所成的角为30 .【收获与点评】3本题以正方体为载体， 考查空间角问题，利用空间向量是解此类问题 的通性通法。但运算量比较大， 得分不高。难度系数为 0.16。因此复习要增强运算能力的培 养。平面的法向量只是表示方向与大小无关， 因此做题时可以选择特殊位置的向量进行计算。比如本题中把 DP延长变为DH;也可以把DP =(、. 2, 2)变成DP =4(1,1,2)简化运算。例2. ( 2011广东理)如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB =60 , PA =PD = 2, PB

7、=2, E,F 分别是 BC, PC 的中点.(I)证明：AD _平面DEF ;(n)求二面角 P - AD - B的余弦值.18. (2011广东理)【解析】(I)连接 AE , BD ,因为ABCD是边长为1的菱形，且 DAB =60 ,E是BC的中点，所以 ABD BCD均为正三角形,且 DE 3, BE =丄，ABE =120 ,2 2所以 AE2 二 AB2 BE2 -2AB BE cos ABE 二-4所以 AD2 DE2 =1 3=AE2，从而 AD _ DE ,44取AD的中点M ,连接PM, B M 因为P M P D BA = BD ,所以PM _ AD, BM _ AD

8、,又PM n BM =M，所以AD _平面PBM，所以AD _ PB在 BCP中，因为E,F分别是BC, PC的中点，所以EF/PB，所以AD _ EF又 EFI DE 二 E ,所以 AD _ 平面 DEF .(n)解法一：由(i)知.BMP为二面角P _ AD _ B的平面角， 易得 BM 3 , pm =、(、2)2 J)27 ,2V22在. BPM中，PB =2,由余弦定理得cos. BMPBM 2 PM 2 - PB2.212BM PM所以二面角P - AD -B的余弦值为一 1解法二：先证明DF _平面ABCD，即证明DF _ DE即可,在 Rt.PBC 中，PC = 22 125

9、c oD sC1 P( _5一)(2汇5 V所以在 FDC 中，DF2 =12(丄2 - 2 15_22 45在 DEF中,22 v3 212DE2 DF 2 = ( )21 = EF 2,故24DEF为直角三角形，从而建立空间直角坐标系D -xyz如图所示，则 D(0,0,0), A(1,0,0), P(2,f,1),1所以DA"",.3T1),设平面PAD的一个法向量为 m =(x, y,z)，则n1 DA =0n dp -0x = 0从而143-x-y +z = 0.22x = 0解得 t43 ，令 y = 2得n,=(0,2,J3)z =yi2显然平面DAB的一个法

10、向量为 山珂0,0,1)，从而cos, n26 n2 =丄321 ,所以二面角P 一 AD - B的余弦值为 21Imig | 77177例3.如图，在四面体 A-BCD中，AD _平面BCD , BC _CD,AD =2, BD =2.2. M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC 上,且AQ二3QC .(1)证明：PQ /平面BCD ;(2)若二面角C - BM -D的大小为600,求.BDC的大【答案】 解：证明(I)方法一：如图6,取MD的中点F,且M是AD中点，所以AF = 3FD .因为P是BM中点，所以PF /BD ;又因为(I) AQ = 3QC且AF =3FD ,所以Q

11、F /BD ,所以面PQF /面BDC ,且PQ 面BDC ,所以PQ/ 面 BDC ;1方法二：如图7所示,取BD中点O,且P是BM中点，所以PO/ MD ;取CD的三等211分点 H ,使 DH =3CH ,且 AQ =3QC ,所以 QH/-AD/-MD ,所以42P CL/ Q HP Q/ ，(且H)H BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ;(n )如图 8所示，由已知得到面 ADB _面BDC ,过C作CG _ BD于G ,所以CG _ BMD,过G作GH _ BM于H ,连接CH ,所以 CHG就是C - BM - D的二面角；由已知得到BM =症厂厲=3,设BDC =,所以

12、CD. CG CBcos： ,sin :BDCD二 CD = 2、2 cos： ,CG = 2、2 cos： sin : , BC = 2 2 sin ：, BD在 RT BCG 中，BCGBG一 2-:sinBG =2 一 2sin :-,所以在BCRT：BHG中，HG2>/2si n2 aJ HG，"3,所以在RT CHG中DEH * cctan CHG=tan603 花2 2 cos sin :2 2sin2:.tan ：二.卅三(0,90：二 60、 BDC 二 60 ；题型二：空间距离的计算例 4在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2

13、，如图：求证：平面A1BC1/平面ACD1； 求(1)中两个平行平面间的距离； 求点B1到平面A1BC1的距离。证明：由于 BC1 / AD1，贝U BC1 /平面ACD1,(1)(2)(3) 例 4. (1)AlD1BlCl同理，A1B /平面ACD1,则平面 A1BC1 /平面ACD1。(2)解：设两平行平面 A1BC1与ACD1间的距离为d，贝U d等于D1到平面 A1BC1的距离。易求 A1C1=5,A1B=2 ,5 , BC1= 13，贝U cosA1BC1=2 ，则V'656i1由于 VD1*BC1 =VBTC1D1，则 3 S 也! BGsinAiBCi= 61，贝V=

14、T61。d=3 (2AD1c1D1)BB1,代入求得 dlT，即两平行平面间的距离为 12芒1 。61(3)解：由于线段 BiDi被平面AiBCi所平分，则Bi、Di到平面AiBCi的距离相等， 则由(2)知点Bi到平面AiBCi的距离等于12-61 。61点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地 “立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在， 通过对这个平面的截得， 延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。例5.( 2009江西卷理)在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_平面ABCD，P

15、A=AD=4， AB = 2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交 PD于点M，交PC于点N . (i)求证：平面 ABM丄平面PCD ；(2)求直线CD与平面ACM所成的PNMAOD角的大小；(3)求点N到平面ACM的距离.例5、解：方法一：(i)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM 丄 MC。又因为P A丄平面 ABCD，贝y PA丄CD，又CD丄AD ,所以CD丄平面PAD，贝U CD丄AM，所以A M丄平面 PCD, 所以平面 ABM丄平面 PCD。(2)由(i)知，AM _ PD，又PA二AD，则M是PD的中点可得AM =2、2 , MC = .MD2 CD2 =2.3则 S

16、ACm i AM MC =2 .62设D到平面ACM的距离为h，由 VcM =VM丄CD即2 6h = 8 ,设所求角为二，则si nrCD 3(1) 可求得PC=6。因为AN丄NC,-arcs in 3PN pa8，得 PN 。所以 NC:PC =5:9。3由pa pc5故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的Y。9又因为 M是PD的中点，贝U P、D到平面 ACM 的距离相等，由(510、6h =927方法二：(1) 同方法一；2)可知所求距离为C(2) 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), P(0,0,4),B(2,0,0) ,C(2,4,0) , D(0,4

17、,0) , M (0,2,2)；设平面 ACM 的一个法向量 n = (x, y,z),，令z = 1，则由ham可得：2x 4八02y + 2z = 0n =(2, -1,1)。设所求角为二，则sin ：-3，所以所求角的大小为arcsin至。(3)由条件可得，NC =PC PN 二1038AN _ NC 在 Rt PAC 中，PA2 二 PN PC所以 PN ,则355，所以所求距离等于点 P到平面ACM距离的，设点P-9NCPC 9到平面ACM距离为h则h =AP nT =兰，所以所求距离为51。39273拓展练习1. (2013 年高考新课标 1 (理)如图，三棱柱 ABC-ABiCi

18、 中,CA=CB,AB=AA, / BAAi=60°(I )证明AB丄AC;(II)若平面 ABCL平面 AAB1B,AB=CB=2,求直线 AC与平面BBGC所成角的正弦值【答案】(I )取AB中点E,连结CE'AB'AE, AB=AA , NBAA = 60°, A BAA 是正三角形(n )由(I )知 ECL AB, EA 丄 AB,又面 abcl面 ABBA ,面 ABcn面 ABBA =ab, ec丄面ABBA,二 eclEA, ea,ec, EA两两相互垂直，以e为坐标原点，EA勺方向为x轴正方向,| eA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐

19、标系O -xyz,有题设知 A(1,0,0), A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0), 则BC =(1,0, V3), BB = AA =(-1,0,-3), AC =(0,-3 ,3),设n = (x,y,z)是平面CBB1C1的法向量,n. .n*BC =0则 ,即 Jx + £z=0,可取 n =(73,1,-1),n * BR =0 x , 3y = 010 cos： n, AC ； = n'|n| AC| 5I-直线AC与平面BBCC所成角的正弦值为 二052. (2013江苏理)如图，在直三棱柱 ABG - ABC中，AB _ AC , AB =

20、 AC =2 , AA, =4，点D是BC的中点(1)求异面直线 A1B与C1D所成角的余弦值 求平面ADCi与ABAi所成二面角的正弦值【答案】 本题主要考察异面直线二面角空间向量等基础知识以及基本运算 空间向量解决问题的能力,考察运用解: 以AB, AC, AA1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系A - xyz,(工22壮I则 A(0,0,0) B(2,0,0), C(0,2,0), A (0,0,4) , D(1,1,0), Ci (0,2,4) AB =(2,0,-4), AB =(1,-1,-4)二 cos ：AB,GD =A1B C1 DA| B C1D18_ 3、10.20-18 10异面直线 ab与C1D所成角的余弦值为3,1010(2) AC =(0,2,0)是平面ABA1的的一个法向量设平面 ADC1 的法向量为 m=(x, y,z), / AD =(1,1,0), AG =(0,2,4)由 m _ AD,m _ AC1x + y = 0 、2y +4z =0取z =1,得y = -2, x = 2 , 平面A