北京市东城区2018-2019学年高一下学期期末教学统一检测数学试题(含答案)

1、北京市东城区2018-2019学年下学期高一年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共20个题目，满分100分.考tO寸间120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项.(1)直线y =J3x+1的倾斜角为()(A) 30，(B) 60，(C) 120，(D) 150，(2)某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是()(A)高一学生被抽到的可能性最大(B)高二学生被抽到的可能性最大(C)高三学生被抽到的可能性最大(D)

2、每位学生被抽到的可能性相等(3)如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1 ,那么四棱锥 D1 ABCD的体积是()(A)(B)(C)D)7 (D)-81413121(4)已知向量a =(1,1), b =(2,x),若a + b与4b-2a平行，则实数 x的值为()(D)(A) -2(B) 0(C) 1(5)先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是()1 35(A) -(B) -(C)-888(6)在 ABC 中，若 acosB = bcosA,则 ABC 为(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰或直角三 角形(D)等腰直角三角形(7)若直线3x y +a =0过圆x2

3、+ y2 +2x4y = 0的圆心，则a的值为()(A) 5(B) 3(C) 1(D) -1)(8)如图，向量 AB =a, AC = b, CD = c,则向量BD可以表示为(A) a +b-c(B) a -b+c(C) ba+c(D) bac(9)设m,n是两条不同的直线，ot, P是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()(A)若 a_LP,mUa,nuP, 则m_Ln(B)若(x/B,m/(x,n/B ,则 m/n(C)若 m/%n/ot ,则 m/n(D)若m_L豆，m/n,n/P ,则豆 _LP(10)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个

4、大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，如10 = 7+3.在不超过30的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是()(D)18，、1， 、 11(A)(B) (C)121415第二部分(非选择题 共60分)二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.(11)在 ABC 中，a =V3, b = 1, c = 1,则 A =.(12)某住宅小区有居民 2万户，从中随机抽取200户，调查是否安装宽带， 调查结果如下表所示:则该小区已安装宽带的居民jW租户业主已安装6042未安装3662估计有尸.uuruur(13)已知点A(2,5) , B(3,2),则向量AB=,与向量AB同向的单位向

5、量为 .(14)已知直线l : x + Qy 6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴 交于C, D两点，则| CD卜.(15)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M ,N, P分别为其所在棱的中点，能得出l _L平面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)50电I1由I三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(16)(本小题7分)已知向量 a, b 满足：| a |=2, | b |=1 , (a+b)(2 ab)=8.(i)求a与b的夹角6 ；(n )求 |a +b |.(17)(本小题7分)在 ABC

6、中，若 bsin A = asin( B +-). 3(I)求角B的大小；(n)若 a = 2, b=J3,求 ABC 的面积.(18)(本小题9分)2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10组：0,10).，10,20) , 20,30),90,100,并整理得到如下频率分布直方图：演军，组距(I)从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；(n)估计该区居民年龄的中位数(精确到,0.1)；(出)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄(19)(本小题9分)如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD为正方形

7、，PA_L平面ABCD, PA= AB, AC 与BD交于点O , E , F分别为AB , PC的中点.(I)求证：平面 PAD _L平面PCD ;(n)求证：EF /平面PAD ；(出)求证：AF_L平面POD.(20)(本小题8分)已知圆C满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x_4y + 7 = 0相切，且被y 轴截得的弦长为 2事,圆C的面积小于13.(I)求圆C的标准方程；(n)设过点 M (0,3)的直线l与圆C交于不同的两点 A, B ,以OA, OB为邻边作平行四边形 OADB .是否存在这样的直线 l ,使得直线 OD与MC恰好平行？如果存在，求出 l的方程；如

8、果 不存在，请说明理由.参考答案所以c=1 .、选择题（共10小题,每小题4分，共40分）(1) B(2) D(3) B(4) D(5) D(6) A(7) A(8) C(9) D(10) C二、填空题（共5小题,每小题4分，共20分）(11) 120(12) 10200(13) (1-7)/ 27 2.10 ,一 10(14) 4(15)三、解答题（共5小题,共40分）(16)(共 7 分)解：（I）因为（a+b）（2ab）=8,所以7+2cos9=8 . ,1所以cosi2山川3分因为 0 <6 <1800,所以 6=60C .一,222_2(n)因为 |a+b| =(a+b)

9、 =a +2a b + b ,所以 |a+b|2 = 4+2+1 =7 .(17)(共 7 分)解：（1）在 ABC中，由正弦定理可知，bsinA = asinB,所以 a sin B =asin( B +二).3所以B +B +三=冗.3冗即 B =.3(11)在4 ABC中，由余弦定理可知,222b =a +c 2accosB.-2.所以3=4+c -2c.所以 ABC 的面积 S =，acsin B =3-.I III 117分（18）（共 9 分）解：（I ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A ,P（A） =0.125 0.065 0.04 0.005 =0.235所

10、以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率0.235 .|H|3分（n）年龄在0,40）的累计频率为 0.075 十0.035+0.16 +0.18 = 0.45,0.05 - 0.014 3.6,所以估计中位数为 40+3.6 =43.6.IIIIII6分（出）平均年龄为5 0.075+15 0.035+25 0.16+35 0.18+45 0.14+55x0.175+6 5x0.125+7 5 父 0.065+8 5 M 0.04+95 父 0.00511II119 分=44（19）（共 9 分）证明：（I）因为PA_L平面ABCD ,所以PA_CD .因为 CD _L AD , A

11、DI PA=A ,所以CD _L平面PAD .因为CD仁平面PCD ,所以平面PAD _L平面PCD .HHII3 分(n)取PD中点G ,连结FG, AG ,因为F为PC的中点一1所以 FG/CD，且 FG= 1CD .2因为E为AB的中点，底面 ABCD为正方形,1 所以 AE/CD ,且 AE= CD .2所以 FG/AE ,且 FG=AE .所以四边形AEFG为平行四边形.所以 EF/AG .因为EF辽平面PAD且AG u平面PAD ,所以EF/平面PAD .（出）在正方形 ABCD中，OD_LAC,因为PA_L平面ABCD,所以PA_OD .因为 AC。PA = A,所以OD _L平

12、面PAC .所以OD _ AF .在 PAC中，设PO交AF于H .因为 PA_L AC ,且O,F分别为AC,PC的中点，所以AF =FC .所以FAC=NFCA.设PA = 1 ,由已知PA = AB,所以 AC = J2.所以 tan/APO =tan/ACP = 2所以 APO =/ACP .所以/ APO = NACP ,且ZAOP为公共角，所以 APOA HAO.所以 AHO =90：.所以AF _ PO.因为 POI OD=O ,所以AF _L平面POD .（20）（共 8 分）解：（I）设圆心C为（a,0）（ a >0）,半径为r .因为圆C与直线3x 4y+7=0相切,_13a 7|所以 1一r,即 3a 7=5r .5又因为圆C被y轴截得的弦长为2卮所以a2 +3 = r2 13 a = a T8由，得/ 或«8 .r=2 r 19 8因为圆C的面积小于13, 所以 a =1 , r = 2 .所以圆C的标准方程为(x1)2+y2=4.11川|4分(n)由 M (0,3), C(1,0)得 MC =(1,-3).所以OD =(九,3K)，即D (九