勾股定理难题+提高

1、得分评卷人一、选择题1 .下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 4, 5, 6 B . 3, 4, 5 C . 2, 3, 4 D . 1, 2, 32 .给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为 3和4,则第三边长为5;222三角形的三边 a、b、c满足a +c =b ,则/ C=90° ;ABC中，若/ A: / B： /C=1: 5: 6,则 ABC是直角三角形；ABC中，若a： b: c=1: 2: J3 ,则这个三角形是直角三角形.其中，假命题的个数为（）A. 1个 B . 2个 C .3个 D .4个3 .如图，如果把 ABC勺顶点A先向下平移3格，再向

2、左平移1格到达A'点，连接A B, 则线段A' B与线段AC的关系是（）A.垂直B .相等 C .平分 D .平分且垂直4 .下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是1 ： 2 ： 3,那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果/ A=Z B=1/C,那么 ABC是直角三角形；2若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在二ABC中，若/ A+ / B=Z C,则此三角形是直角三角形。A 3个 B 4 个 C 5

3、 个D 6个5 .如图， ABC中，AB=AC=5,BC=6 M为 BC的中点，MNL AC于 N点，贝U MN=（）A.121656 .下列各组数中，是勾股数的是（）A. 14, 36, 39B. 8, 24, 25C. 8, 15, 17D. 10, 20, 267. （2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高 4米，两机目距 8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米9、348 .如图，四边形 ABCD43, AB=AD AD/ BC Z ABC=60 , / BCD=30 , BC=6,那么 A

4、CD 的面积是（）A.3 B第II卷（非选择题）请点击修改干II卷的3字说明评卷人得分、新添加的题型得分评卷人三、解答题9 .在 RtMBC中，/ CAB=90 , AB=AC(1)如图，过点A在 ABC外作直线 MN BML MN于M, CNL MNT N.判断线段 MN BM CN之间有何数量关系，并证明；若AM=a , BM=d , AB=c，试利用图验证勾股定理 a2 +b2 = c2 ;(2)如图，过点 A在4ABC内作直线 MN BMh MN于M, CNL MN于N,判断线段 MN BM CN之间有何数量关系？(直接写出答案)10 . (6分)小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下

5、的操作：操作一：如图1,将Rt ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE(1)如果AC= 6cm, BC= 8cm,可求得 ACD勺周长为;(2)如果/ CAD:/ BAD=4:7,可求得/ B的度数为 ;操作二：如图2,小王拿出另一张 RtABC纸片，将直角边 AC沿直线AD折叠， 使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，若 AC= 9cm, BC= 12cm,请求出 CD的长.11 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC= 5cm, BC= 12cm,现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它恰女?落在斜边 AB上，且与AE重合，求CD的长.12 .如图，学校 B前面有一条

6、笔直的公路，学生放学后走AB, BC两条路可到达公路，经测量 BC= 6km, BA= 8km, AC= 10km,现需修建一条路使学校到公路距离最短，请 你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长.13 .如图，4ABC中，/ACB= 90°, AC= 9, BC= 12,求 RtAABC中斜边 AB上的高 CD.114 .阅读理解题：如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，且 ADBC.2求证：/ BAC=90 .15 .如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是 a、b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成

7、的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.16 .课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图.(1)求证： AD隼 CEB(2)从三角板的刻度可知AC=25cm请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块醇的厚度相等).17 . (10 分)如图，在 ABC 中，AB= 13, BC= 10, BC 边上的中线 AD= 12.(1) AD平分/ BAC吗？请说明理由.(2)求： ABC的面积.评卷人得分四、填空题18 .直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为 。19 .一个直角三角形的两边长分别为9和40,则第三边长的平方是 .20 .若一个直角三

8、角形的两边的长分别为m、n,且满足 Jm-3十|n-4 =0,则第三边的长为.21 .已知X6+|y 8 +(z 10)2 =0，则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形22 . ABC的三边长分别为 m21, 2m, m2+ 1,则最大角为 .23 .在长方形纸片 ABCM, AD= 3cm, AB= 9cm,按如图方式折叠， 使点B与点D重合， 折痕为EF,则D曰.24 .如图，在 RtABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC边上的动点，设 BP=x, 若能在AC边上找到一点 Q使/ BQP=90 ,则x的取值范围是 .25 .如图，OP= 1,过 P 作 PPiOP且 P

9、Pi= 1,得 OP = J2 ；再过 Pi 作 PiP2,OPi 且PlP2= i ,得OP2 = J3 ；又过P2作P2P3, OP2且P2P3= i ,得OP3= 2依此法继续作下去,得 OP20i2 =.评卷人得分参考答案1 . B.【解析】试题分析：A. 42+52*6 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；B. 32+42=52,能构成直角三角形，故符合题意；C. 22+32W4 2,不能构成直角三角形，故不符合题意；D. 12+22W3 2,不能构成直角三角形，故不符合题意.故选B.考点：勾股数.2. B【解析】试题分析：命题中若 4是直角边，则第三边长为 5,若4为斜边，则第三

10、边长为 J7 ,故错误；命题中应该是/ B=90。，故错误；命题、土正确；故假命题有2个；故选B.考点：真命题与假命题.3. D【解析】试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾月定理结合网格结构即可判断线段A' B与线段AC的关系：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A'点，连接A B,与线段AC交于点 O.: A O=OB<2 , AO=OC=22 ,.线段A' B与线段AC互相平分，又. / AOA =45° +45° =90° ,. .A B± AC.线段A' B与线段AC互相垂直平分.故选D.考点：1

11、.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.4. D.【解析】试题分析：二.三角形三个内角的比是1: 2: 3,，设三角形的三个内角分别为x, 2x, 3x,. x+2x+3x=180° ,解得 x=30° ,.-3x=3X30° =90° ,，此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180° ,，若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形， 故本小题正确； 直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正

12、确；1. / A=Z B=- Z C,2:设/ A=/ B=x,则/ C=2x, ，x+x+2x=180 ,解得 x=45 , .2x=2X45° =90° ,，此三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，三角形一个内角也等于另外两个内角的和，这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和,由此可知这个三角形中有一个内角和它相

13、邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90° ,故这个三角形是直角三角形，故本小题正确.故选D.考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质.5. C.【解析】试题分析：连接 AM. AB=AC点M为BC中点， .AM!CM BM=CM AB=AC=5 BC=qBM=CM=3在 RtAABM, AB=5, BM=3根据勾股定理得：AM=/aB2 -BM2 = 552 -33 = 4,八 1 一1 八八MN=AM ?CM125又 S；Aamc= MN?AC= AM?MC 22AC故选C.考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.6. C【解析】满足 a2+b

14、2=c2的三个正整数 a, b, c是勾股数，因为 82+152 = 289, 172=289, 所以82+ 152= 172,即8、15、17为勾股数.同理可判断其余三组数均不是勾股数.7. B【解析】如图，设大树高为 AB=10米，小树高为 CD= 4米，过C点作CH AB于E,则四 边形 EBDC 是矩形.连接 AC,贝 U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB-EB= 10-4= 6 （米）.在 r9aec中，ac = Jae2 +ec2 =10米.8. A.【解析】试题分析：如图，过点 A作AE! BC于E,过点D作DF, BC于F.设 AB=AD=x又 AD/ BC

15、四边形AEFD是矩形形，AD=EF=x在 RtABE中，Z ABC=60 ,则/ BAE=30 ,BE=1 AB=1x,22DF=AE=/AB2 - BE2 = x, 2在 RtCDF中，/ FCD=30 ,贝U CF=DF?cot30 =又 BC=6BE+EF+CF=6 即解得x=21 c 1-AD?DF=-xX痣 x=X22=V3.24故选A.2.含30度角的直角三角形. MN=BM-CN.考点：1.勾股定理9. (1)证明见解析;【解析】/1,、2(BM+CN X MN' (a+b), 2试题分析：(1)利用已知得出/ MABh ACN进而彳#出 MAB2 NCA进而彳#出 BM

16、=AN AM=CN即可得出线段MN BM CN之间的数量关系；禾U用 S 梯形 MBC=SaMAB+SaABc+SaNCA= ab+ c2+ ab , S 梯形 MBC=-1进而得出答案；(2)利用已知得出/ MAB= ACN进而彳#出 MA望 NCA进而得出 BM=AN AM=CN即可 得出线段MN BM CN之间的数量关系.试题解析：(1)MN=BM+CN理由：. / MAB+ NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ MAB=ACN在 MAB NCA 中BMA=/ANC «/MAB =/NCA , AB = AC.MA军 NCA ( AAS ,BM=AN AM=

17、CNMN=AM+AN=BM+CN由知 MA望 NCACN=AM=a AN=BM巾 AC=BC=cMN=a+b1 .1 2 1 ,11 ,2S 梯形 MBCnSa MAB+SkABc+Sa NC=一 ab+ c + ab, S 梯形mbc= (BM+CN X MN=- ( a+b),1 ab+1 c2+1 ab=1 (a+b) 2,2 2222 - a +b2=C2；(2) MN=BM-CN理由： / MAB它 NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , ./ MABh ACN在 MAB NCA 中.BMA=/ANCI/</MAB =/NCA ,AB = AC.MA军 NCA (

18、AAS ,BM=AN AM=CN MN=AN-AM=BM-C N考点：全等三角形的判定与性质.10.操作一(1) 14cm(2) 35° 操作二 CD=4 . 5【解析】试题分析：操作一利用又称找准相等的量：BD=AD ZBAD=/ B,然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着 AC=AE利用勾股定理列式求出 AB,设CD=x,表示出BD, AE,在Rt BDE中，利用勾股定理可得答案试题解析：操作一(1) 14cm(2) 35 °操作二 由折叠知：AE=AC=9 DEI AB,设 CD=DE=X则 BD=12-X, AB2 = AC2BC2 =81

19、+ 144=225,AB=15BE=15-9=6,又BD2 = D百十BE2,22.,.(12 - x) =x +36,即 CD=4 5cm考点：轴对称，线段的垂直平分线1011. CD的长为3 cm.【解析】试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD AC=AE=5cm / DEB=90 ,进而利用勾股定理得出x的值.试题解析： 有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm BC=12cmAB=13cmg将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合,DE=CD AC=AE=5cim / DEB=90 ,设 CD=xcm 贝U BD= (12 x) cm,故 D+BE2=BDJ,

20、即 x2+ (13- 5) 2= (12- x) 2,10解得：x=,310则CD的长为-0 cm.3考点：勾股定理12. 4.8km.【解析】解：过 B作AC的垂线，垂足为 D,线段BD就是要修的路.在 ABC中，. AB2+BC2= 82+ 62= 100,而 AC2= 102= 100,1.1.AB2+BC2=AC2,即 ABC是直角二角形，且/ ABC= 90 .由一ABBC =AC_BD ,22一ABLBC6 8 ,g / 、信 BD =4.8 (km),AC 10即所修路长为4.8km .3613. 5【解析】解：在 RtABC中,AB = . AC2 BC2=79 +122 =1

21、5. 1,由三角形的面积公式得 -1 AC LBC2ACLBC 9 12 36CD =一,1= -abLcd ,2AB155即斜边AB上的高CD是36.514. ( 1)如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.(2) 17302【解析】试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可.试题解析：(1)如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角 形是直角三角形。(2)因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角 形。设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b,则a+b=1 + J3根据勾股定理，得a2

22、+b2=22a2+b2=4因为(a+b) 2= a 2+b2+2ab即(1+ J3)2=4+2ab所以ab = 31所以这个三角形的面积为1 . 32考点：直角三角形斜边上的中线.15. (1)(答案不唯一)如图. 2(2)验证：二,大正万形的面积可表本为(a+b),1又大正方形的面积也可表本为c +4区一ab,222.1. (a +b) =c +4 - ab ,2即 a2+b2+2ab= c2 + 2ab.a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【解析】(1)(答案不唯一)如图.2(2)验证：二,大正万形的面积可表本为(a+b),21又大正方形的面积也可表不为c2

23、+4父一ab ,2221 (a +b) =c +4x ab ,2即 a2+b2+2ab= c2 + 2ab.a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.16. (1)证明见解析； 2)砌墙砖块的厚度 a为5cm【解析】试题分析：(1)根据题意可知 AC=BC /ACB=90 , AD)± DE, B已DE,进而彳#到/ ADCWCEB=90 ,再根据等角的余角相等可得/BCE=/ DAC从而得到结论；(2)根据题意得：AD=4a, BE=3a,根据全等可得 DC=BE=3a由勾股定理可得(4a) 2+(3a) 2=252,再解即可.试题解析：(1)根据题意得：A

24、C=BC /ACB=90 , AD! DE, BEX DE / ADCh CEB=90 , / ACD吆 BCE=90 , / ACD廿 DAC=90 , ./ BCE=/ DAC在 AD的 CEB中，I ADC =,CEBUdac =2bce ,AC =BC . ADC CEB ( AAS ;(2)由题意得：AD=4a, BE=3q由(1)得： ADe ACEBDC=BE=3a在 RtAACD): AD2+CD=AC2,( 4a) 2+ (3a) 2=252, a>0,解得a=5,答：砌墙砖块的厚度 a为5cm.考点1.:全等三角形的应用 2.勾股定理的应用.17. (1)平分，理由详

25、见解析；(2) 60【解析】试题分析：(1) AD平分/ BAC理由为：.BC边上的中线ADBD=5.在 ABC中,AB=13, AD=12, BD=5.1- 252=242+72,即：A隹AD+bD/ ADB=90 ,即 AD± BC,AD垂直平分BCAB=AC AD平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD. Sa abc=2=60.考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法18. 5cm 或6 cm.【解析】试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.试题解析：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为77cm；故直角三角形的第三边应该为5cm或J7 cm.考点：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】设第三边为 x(1)若40是直角边，则第三边 x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2,所以x2=1681.(2)若40是斜边，则第三边 x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402,所以x2=1519.所以第三边的长为 1681或1519.20. 5或后.【解析】试题分析：:.m3n -4=0, . m 3=0, n - 4=0, . . m=3 n=4,即这个直角三