人口发展趋势预测

1、浙江省人口开展趋势预测杨丙良通信工程高勇数学与应用数学杨丽娜计算机科学与技术2021/3/20浙江省人口增长预测模型简述:本文对浙江省人口增长趋势进行了研究,建立人口增长模型.选用了马尔萨斯人口增长模型,阻滞增长模型,非线性插值,灰度模型.得到预测结果如下：年份20212021202120212021人数52045227.55250.65273.65296.5年份20212021202120212021人数5319.55342.653665389.65413.6考虑到老龄化以及性别比例对人口增长的影响, 通过灰色序列, 得到了人口的出生率、死亡率的模型,预测未来长时间内的人口增长 情况,并且进

2、一步通过图形解释,说明了人口增长的大致趋势.但是由于浙江省统计年鉴中数据不全面,无法找到详尽的数据 资料,造成了对年龄结构、性别比例、城乡差异等因素的无法考虑在 内,鉴于此因素,本文对长期人口预测不做说明.一 问题重述背景：伴随着社会不断开展,浙江省新时期内的开展受到人口增长的极 大影响,人口增长预测的研究是国家地区制定未来人口开展目标 和生育政策等有关人口政策的根底,对于经济方案的制定和社会战略 目标的决策具有重要参考价值.人口增长对人民的经济生活,政治生 活,文化生活,娱乐生活等方面都有极大的影响.浙江省是人口大省、地域小省资源小省,虽然从“资源小省、 经济小省国家投入小省、工业小省迅速开

3、展成为“经济大省, 但人口问题始终是制约浙江省开展的关键因素之一.因此对浙江省人 口增长做出合理分析和预测显得十分的重要. 近年来浙江省的人口发 展出现了一些新的特点,例如,老龄化进程加速、出生人口性别比持 续升高,以及乡村人口城镇化等因素,这些都影响着浙江省人口的增 长.问题：收集浙江省人口统计资料,并根据数据资料内容,从浙江省的实 际情况和人口增长的特点出发,建立浙江省人口增长的数学模型, 并 由此对浙江省人口增长做出预测.分别从不同的方面对人口增长做出 短期,中期,长期的预测.以及分析老龄化特点等问题.二问题假设1、假设所研究问题处在封闭系统中,不考虑外来人口影响.2、在所研究时段内,不

4、发生大规模的人口外迁和移民问题.3、社会稳定,没有战争及大规模疾病影响.4、全省各民族生育政策相同.5、短期内人民的生育观念不发生改变.6、所研究的处于同一年龄段内的人,没有区别.7、忽略经济、社会、资源、政策等因素对人民的影响.三符号说明f( Xi)第Xi年人口总量p(t)1时刻的人口数量Xi第i年r 人口增长固有增长率(人口总数很小时)Xm 省内人口最大容量(资源、环境能容纳的最大数量)X浙江省一年的的总人口t时间(年份)s假设参数(其中 s>0)Xo微分方程的初始值(人口初始值)b(X)人口出生率d(X)人口死亡率r(X)人口增长率四问题分析人口增长需要定量测算,准确预测出人口未来

5、开展的趋势,同 时还要能预测出未来人口老龄化问题, 抚育这就需要多方面考虑,诸 如人口基数,年龄结构,性别比例,出生率,死亡率,自然增长率.同时还受限于我国的人口政策,国际化外来移民,民族观念.本文不 考率外来因素和宏观政治因素,认为研究的系统封闭,固可得,人口 数量=人口基数+出生数目一死亡数目.对于不同时期的预测,考虑因素也不尽相同.像中短期预测,可以近似认为年龄结构,性别比例,出生率,死亡率,自然增长率没 有太大变化,稳定于某一固定数量周围.但是,对于长期预测,由于一系列因素影响,这时,必须考虑年龄结构,性别比例,城镇男女生育观的差异等因素.此时,建立 Leslie人口模型,对长期人口数

6、量进行预测.五模型建立与求解I插值模型在不明确知道人口的增长率,只知道年份与人口数量关系的 条件下,估计人口的增涨趋势.我们可以建立简单的模型来预测短期的人口增长趋势. 首先 将年份与年份的人口看作二维平面的节点K,f K .用这些点集可 以构造一个简单的多项式函数 fX.且fx过的点,由此可以 推断出未来几年的开展情形.由于构造的多项式函数与节点的关系为：n个点确定一个最高次数不超过 n-1次的多项式,对于次数越高 的函数,对于x的变化f (x)变化越快,所以选取的节点数不能过多, 另一方面节点太少问题的解答结果就不精确,所以此处选择6个节点.假设浙江省人口变化规律满足多项式函数.f X0,

7、Xi, Xk为k阶均差.2.建立模型由分析可知可以将时间与人口数看成是平面上的点,对与取出的n个点,依据牛顿插值公式得f (x)的一般表达式为：f(x)f (X0)f x0,xi (x xo)f xo,xi,x2 (xxo)(xxi)f xo,xi,xn (x x°)(x xi)(x xn i)选取2005年到20i0年的数据作为插值的节点根据牛顿插值公式计算f (x)表达式的系数,如下表table 0i所示table 0ixif xi阶均差2阶均差3阶均差4阶均差5阶均差20054602.ii20064629.4327.320020074659.3429.9i00i.2950202

8、14687.8528.5i00-0.7000-0.6650202147i6.i828.3300-0.09000.20030.2i7i20i04747.953i.7700i.72000.60330.i000-0.0234由表格的数据可以确定f (x)的表达式:f(x)=4602.11+27.3200*(x-2005)+1.2950*(x-2005)*(x-2006)-0.6650*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)+0.2172*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-2021)-0.0234*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-20

9、21)*(x-2021)根据f (x)的表达是画出图像模型的预测值：由此图像可以预测出人口数量为:年份20212021202120212021人口万人4786.44831.64877.44909.14900.1此模型的缺点是对于长期的预测存在较大的误差,只能用来估计短 时间内的人口变化规律.误差的来源主要是所选取的模型没有考虑到 人口的增长率.另外对于多项式函数插值,所构造的函数对于节点的 增加不能增加函数的精确度,所以能够选取的点数严重受限.II马尔萨斯增长模型在考虑短期人口增长问题的时候,可以简单的假设人口的增长率 为一个常数,假设在时刻t增长率和人口总数成正比,令增长率为 r, 并且以p

10、代表t时刻的人口数,假设p连续可微.于是有以下式 子成立：p(t Vt) p(t) r*p(t)*Vt于是：p(t Vt) p(t)Vtr p(t)电r*p dt又：p(t() p0那么有：p(t) p0*er(tt0)在此处,由于是预测短期内的人口增长问题,于是可以选择从2005年开始,即to =2005.利用matlab计算出最近五年的平均增长率, 得到r=0.0088于是可以预测最近五年的浙江省人口数量增长模型为p(t) p0*e0.0088(tt0)得到最近几年的人口预测数量为年份20212021202120212021人数4789.94832.34875.04918.14961.5显

11、然,受到环境,资源等因素的限制,增长率不可能保持不变, 于是就有,时间跨度愈大,预测的准确性越低.马尔萨斯模型确实定 就是只适用于短期的人口模型预测.当时间跨度变大,不能使用此模 型.考虑到这一点,下面我们建立了阻滞增长模型.III 阻滞增长模型人口的增长受到出生率与死亡率的影响. 所以在考虑长期的人口 走向的时候需要考虑出生率和死亡率. 为了模型的简单,将出生率跟 死亡率统一起来考虑,即为人口自然增长率r (x),其中r (x)=出生率一死亡率.增长率受到时间的影响会随时间的变化而改变.假设：人口的自然增长率与时间成一次函数关系, 并且人口在增长的 过程中会出现最大值.建立模型：人口的自然增

12、长率满足：r x r sx(r,s 0)当人口到达最大的时候有：r(Xm) 0Xm将S代入r(x)得到：r(x) r 1 Xm又有时间与人口的关系满足微分方程:dX /、 r(X)Xdt将r(x)代入可得微分方程：dXrx(1 )xm微分方程的通解可以求出为:x(t) xm1 (xm 1)ertX0对于方程X (t)我们可以通过浙江省2000年到2021年的人口数与自然增长率的数据进行插值拟合.选取X0=4501.22 (2000年的人口数)由插值计算出4813.3 r=0.0044813.3即有X(t)丽X48 13.30.004t1 (1)e4501.22根据X (t)的函数可以作出X (

13、t)的函数图像00000 0-000 OODOOOOOOwuaManH. 5443 3 2 211黑口¥血500 匕11111106001M0150020 加250030003500时间轴t1年份模型的预测：由图可知,随着时间的推移,最终人口将到达一个稳定的状态,此时即到达了人口最大存在点xm °由上述拟合模型x(t) ,.对3,3,在以2000年为初始点的时1( 4813.30.004t4501.22候,得到如下估计值：年份20212021202120212021总人口数(万人)4748.134748.764749.214749.944750.43此模型对于人口增长率的预

14、测相对精确,考虑了人口增长的有最大限制的因素.但是由于没有考虑年龄结构、性别比例等问题,对 于长期的人口增长趋势还是不能做出相对精确的预测.下面我们从长期的出生率和死亡率出发,利用灰度模型进行新 的预测.IV 灰度预测模型GM (1,1)影响人口增长的因素有很多,有经济、政策、科学技术、自然 环境等,这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来,它们对人口 增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的.人口系统具有明显的灰色性,是一个局部信息而局部信息未知的系统.灰色系统理 论把这样受众多因素影响,而又无法确定其复杂关系的量,称为灰色 量.灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统,通过信 息来研

15、究和预测未知领域从而到达了解整个系统的目的.采用了灰色系统预测方法进行长期人口预测灰色系统模型建模是利用离散的时间序列数据建立近似连续的 微分模型.顾名思义,灰色预测就是对灰色系统问题进行未来的预测, 这里 讨论的灰色预测是以 GM(1,1)(即GM(1, N)当N=1时的特例)模 型为根底的.选择灰色模型GM(1,1)的方程式如下：dx(t)ax(t) udtdx(t)a x(t) udta x(t 1) ud(t 1)dx(t 1)从而近似有一次差分为：D(x) x(t 1) x(t) a 1/2x(t) x(t 1) u令：A= (a,u)T1-(x(0) x(1)12B=MM1 (x(

16、n 1) x(n)12C= (DX (0), DX (1),DX (2)L DX (n 1)T于是就有A= (Bt* B 1) 1*( Bt*C)从而可以计算出a和u然后,在原等式的两边,同时乘上一个eat于是就有ate uat dxate e ax(t) dt继而(eatX(t) eatu dx eatX(t)eatudtX (t) Ceat u a令t=0得到 C=X(0) u 带入数据有:对于出生率:10.895 110.47 110.16 11019.821B 10.185 110.905 110.695 110.335 110.29 110.2110.510.340.280.040.

17、32C 1.050.390.810.090.180.02于是可以算出a=0.2459u=2.4631c=1.134从而有出生率b(x)= 1.134*exp(-0.2459*t)+10.0166对于死亡率：6.3416.2416.1916.2216.2851B 6.0715.9215.7515.49515.59515.60510.020.220.120.060.19C 0.620.320.660.150.050.03于是利用matlab软件可以计算出a=-0.0103u=-0.1288C=-6.1780于是可以得到死亡率函数为d(x)= -6.1780*exp(0.0103*t)+12.508

18、0于是可以得到人口的自然增长率为：r(x)=b(x)-d(x)=567/500*exp(-2459/10000*t)-12457/5000+3089/500*exp(103/10000*t)那么我们就可以预测未来长时间内的人口数量为：年份20212021202120212021人数52045227.55250.65273.65296.5年份20212021202120212021人数5319.55342.653665389.65413.6由于计算没有考虑到年龄结构,性别比例等因素,此模型还有待于进一步完善.但是已经给出了出生率和死亡率的相关函数,那么,对函 数进行深一步的研究,可以预测省内人口老龄化的趋势. 在这里不再 阐述.VI模型优缺点的分析在模型建立的过程中,几个模型各有优缺点.线性插值和马尔萨 斯操作比拟简单易懂,但是局限性就是只能预测近几年的人口数量, 不能预测长时间的人口变化情况.灰度增长模型,较好的一点是计算 出了出生率以及死亡率,于是我们就可以较为方便的研究人口变化情 况,以及对老龄化问题做出预测和解释. 但是由于没有考虑到