高等数学课后习题答案第十二章

1、高等数学-课后习题答案第十二章55 / 28习题十二HLx、xIII1 .写出下列级数的一般项:1 1 3生23a解:（1）UnUn2n 1 ；nx22n!2n 1 a2n 1 ；Un '(3)2 .求下列级数的和: n 1 x n 1 x n x n 1152153IIIun1n x n 11x 1 x 21 1 _解：（1）2 x n 1 x n xSnIII从而 2 x x 1 x n x n 111lim Sn 因此n2x x 1 ,故级数的和为2x x 1因为 Un Jn_2 Jn 1Vn 1 Vn从而Sn,3 ,2.2,12 Jn 1lim所以nSn亚即级数的和为122.(

2、3)因为Sn1 515152HI 5n15_151 n5lim 从而nSn14,即级数的和为3.判定下列级数的敛散性:n 1n 111 1 6 6 112-32 2_ 2_- T3 T33 3 31115、53 5解：,n:,III 11 16 5n 4 5nOnIII 1n1lnlll;III will , 13 J2 Id-1 1lim Sn从而n，故级数发散.Sn 1 1 1 1 工工1 I"56 6 11 11 16 5n 415n 11 5lim Sn从而n5n 115 ,故原级数收敛其和为2q 二.(3)此级数为3的等比级数，且1 ,故级数收敛.U1Unn 二limUn1

3、 0:“5,而n n，故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:n 11cosnx1 2n解:n 1 3n 13n 2 3n(1)当P为偶数时,Un 1 UnIK Unn 31IIIHI nn1n 1IIIn 1当p为奇数时,Un 1 UnlbUnIIIIII1n 1n 2IIIn 1因而，对于任何自然数p,Un1 Un 2IIIUn都有1N? 60,取1,则当n>N时，对任何自然数 P恒有n 11n1 Un2 | UnP 成立，由柯西审敛原理知,级数(2)对于任意自然数 P,n 1 n 收敛.都有cos n 1 x cos n 2 x2n 1IIIcos n p x2n p

4、12n 112n 112n p击III 11于是，？10g2* 1£>0(0< S<1), ?当n>N时，对任意的自然数p都有Un1 Un成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛.(3)取,则Un 1 Un 2 HI Un p|III3 2n 13 HI3 2n 13 2n 23 2n 312从而取则对任意的nG N,都存在所得Un 1 Un2 "I Un p0 ,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1)4HIHl1 221 3I 32IIIIII. 冗 1sn 3n .解：(1):Un(6)12 n12n 1Unn 1

5、收敛.1而n 1n收敛，由比较审敛法知111 n 1 nU n -221 n n n1而n 1n发散，由比较审敛法知,原级数发散.limn九sin3n1limn九sin 3n冗冗3n3n7T一 Qn -，而n 1 3收敛,Un. 冗sn 3n门31一n3也收敛.13n2n3收敛.1 .2132n收敛,Un当a>1时，1na收敛，故n 11d"""rn1 a也收敛.lim U n当1时，nlimn0,级数发散.当0<a<1时,综上所述，当lim U nnlimna>1 时,原级数收敛，当1 0,级数发散.0<a<1时，原级数发散.

6、2x lim .x 0(6)由 xln 2知limx122ln 2 1而n 1n发散，由比较审敛法知 n 112， 1.21发散.6 .用比值判别法判别下列级数的敛散性:2n3n n 1 3 ;3321 2 2 223323Ill3nn 2nHL解：(1) UnlimnUn1Unlimn2 Qnn 13on 13 n由比值审敛法知，级数收敛.limnUn 1Unlim nnn 1 ! 31_ n 1 ).31n!所以原级数发散.limnUn1Un所以原级数发散.limnUn1Unlim nlimnlimnlimnlimn3n3n 13n3n2n 1n 2n丁nnn2 n!2limn故原级数收敛

7、.7 .用根值判别法判别下列级数的敛散性:nn 1 ln5n n 1 3n 1-2n 1 n3n 1n 1 an,其中-a (n8), b, a均为正数.°5n 5lim nUn lim - 1解：(1)n , n 3n 13故原级数发散.lim n U nlimn - nn1ln n 1故原级数收敛.limn3n 1故原级数收敛.blim 2当b<a时，a <1,原级数收敛；当b>a时，a >1 ,原级数发散；当时, 8.判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？a =1,无法判定其敛散性.14 1H(6) n 1Un解：322 n2111134

8、HI.Un尼茨判别法级数收敛，又Un是交错级数，且满足1一2 一 , ,一一n是p<1的p级数,所以n 11 lim 0 n Vn ,由莱布Un发散，故原级数条件收敛.Un 11ln n 1n 11ln n 1为交错级数，且limn1ln n 10,由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于Un1ln n 11ln1ln n 21n 1所以，nUn发散，所以原级数条件收敛.Un15 3n民，显然nUn1111n n nn 1 5 35 n 1 3 ，而n13是收敛的等比级数，故Unn 1收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为limnUn1Un22n 1 limn n 1故可得UnUnlim U,

9、得nlim U nn0,原级数发散.0,由莱布尼茨判别法(5)当命1时，由级数n 1n收敛得原级数绝对收敛.n1 111当0V庭1时，交错级数n 1n 满足条件：nn 1 11知级数收敛，但这时 n 1n1n 1 n发散，所以原级数条件收敛.lim U当0时，n0,所以原级数发散.11 .(6)由于 213 III而n 1n发散，由此较审敛法知级数Un记Un Um即 Un Unlim U nlimnIIIIIIIIIIIIIII发散.lim 1由t t1dx xIII1dx Xlimtlim Un 0知n,由莱布尼茨判别法，原级数III9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.,xG -

10、3,3;xG0,1；解:sin nx13ncos nx“3521.n x(-88 )；XG (- 88 )3nx53,3,而由比值审敛法可知n X2 nn 收敛，而且是条件收敛.3nnx e，5；n 1 n 1 !收敛，所以原级数在-3,3上一致收敛.12n , x0,1,1而n 1n收敛,(3)11sin nx3n所以原级数在0,1上一致收敛.13 , xG (- 88 ),而n n2 2n . 3是收敛的等比级数，所以原级数在(-88)上一致收敛.(4)因为nxen!由比值审敛法可知cos nx5nen!xG(-5,5),5nen!收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛.1-5_3n ,

11、xe (-0000),153n3是收敛的级数，所以原级数在 (-88)上一致收敛.Vn x10.若在区间I上，对任何自然数 n.都有(x)|<(x),则当n 1 在这区间I上也一致收敛.在i上一致收敛时，级数Un xn 1Vn x证：由n1 在I上一致“敛知，？ 60, ?N()>0,使得当1(x)2(x)+ (x)|< 0于是，？ 60, ? N()>0,使得当n>N时，？ x I有1 (x) 2(x)+ (x)| 0 1(x)2(x)+ (x) <1 (x)2(x)+ (x)|< e,n>N 时，？ xG I 有Un x因此，级数n 1在区间

12、I上处处收敛,收敛.11.求下列嘉级数的收敛半径及收敛域：由x的任意性和与xUn x的无关性，可知n 1在I上一致n!(1)2x2+3x3+2n 1x解：(i)因为limnan 1anlimn级数变为n 1(2)因为limnR,所以收敛半径1 1收敛区间为(-1,1),而当土时,nn lim(，由x n1)nn0知级数n 11)nnan 1anlimn发散，所以级数的收敛域为1(-1,1) n!limnlimnR - e所以收敛半径，收敛区间为().ennn当时，级数变为n 1 n1一 1 x x elim 应用洛必达法则求得 x 0 x. an 11.lim n 1 一 1nan2由拉阿伯判

13、别法知,（3）级数缺少偶次募项.根据比值审敛法求收敛半径.级数发散；易知时，级数也发散，故收敛域为().limnUn1Unlimn2n 1x2n 12n 12n 1xlimn2n 12n 1所以当x2<12x即<1时，级数收敛，x2>1即>1时，级数发散，故收敛半径limn2n 1当1时，级数变为n 1 2n 1 ,当1时，级数变为n 1 2n 1知,1n12n 1发散，从而n 1 2n 1也发散，故原级数的收敛域为（-1,1）.-n-lim Ian 11 lim（4）令1,则级数变为n 1 n 2n，因为n an n 所以收敛半径为1.收敛区间为-1<1<

14、1即0<x<2.n2 2nn 1 2 2 n 11当1时，级数n 1 2n收敛，当1时，级数所以，原级数收敛域为 0Wx&2,即0,212.利用嘉级数的性质，求下列级数的和函数：n 12 n为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.n 2nxn 12n 2xlim解：（1）由nn 2nx知,当1时，原级数收敛，而当1时,而发散，故级数的收敛域为(-1,1).nnx的通项不趋于0,从n 2nx13x nxn 1nxSi1nx易知的收敛域为（-1,1）,记3x2于是所以x由limn(-1,1),2nx2n2n 32n 2x知,2nxn 0 2n 1原级数当<1时收敛,2n 1

15、x02n 1 ,易知级数而当1时，原级数发散，故原级数的收敛域为2n 1xn 0 2n 1收敛域为（-1,1）,记S1 x2n 1Xn 02n 1S1,则2nX n 0x11 X故 0S1 xdx即 S1X G0c c X , 1 X/S xxS x ln x 12 1 x13.将下列函数展开成 (1)f(x)(2);(3)f(x)=(1)(1);(7)f(x)；f解：In1ln1S1 0x的寨级数，并求展开式成立的区间: (2)f(x)2x;f X (6)1Xln2f X (8)ln2ln(-1<X< 1)ln由于ln 1故ln因此ln 21,(-2<x<2)n 1X

16、1 2n 1,(-2<x<2)coscos2xcosx由22nX2n !(-oo<x<+oo)cos2x得2nn 2X2n !4n2nX2n !所以f (x) cos2 X1 1cos2x2 21 1122n 0(3)f(x)=(1)(1)ln 1 x 1由n 0n 2n4 x2n ! , (- oo<x<+oo)n 1Xn 1 , (-1 <x< 1)所以(-1<X< 1)x21 x2由于.12n 1 !2n !2n X(-1<X<1)(6)由2n 1 !2n X0 n!2n !2n_X22n !(-1 < x&l

17、t; 1)所以(7)因为32n 1X3n 1X e (- OOOO )nXn!02n Xx e(-88)n!n!0 2n 1 !Xe cosx为Xe cosxi sin xe1X的实部,e1取上式的实部.(8)由于14.o n!o n!o n!o n!n22冗 cos-4n九 cosxe cosxnnxn 03x解:而3x 2n 03n 1n一 九i sin 一4nn冗22 cos4n!(-oo<x<+oo)<1所以n 1xr)n 12(<2)2展开成(4)的嘉级数.12x4所以15.将函数解：因为所以（-1<1<1）即213x 2nx 43n 112n 1

18、m一 x 1!21!3n 12n 1x3展开成（1）的嘉级数.2!IIIn!m n 1 nx III2n n!22!2 IIIn!HI3 122 2!2n123 3!2nx 1 n III0x216.利用函数的募级数展开式，求下列各数的近似值:(1)3（误差不超过1 x0.0001);（2）20 （误差不超过0.0001)解：1ln(1)ln3lb2n 1 x2nHIxe(-1,1)1 ln-1,113 2315 25III1C / o2n 12n 1 2III因而取In 32 2n 1 22C2n 12n 1 22c2n 12n 1 22C2n 12n 1 21c2n3 2n 1 213 1

19、1 2813 13 2106则1232n 1cos20冗cos901c2 n 32n 3 22n 12n 1 22n 30.000120.000039小2Tt902!22n 3III1111 24冗904!III2n 12n 1 22n2n 5 21.0986III2n7t27t902!10 4904!10 8cos20故902!1 0.0006 0.999417.利用被积函数的嘉级数展开式，求定积分0.5 arctan x , dx解:arctan x由于（误差不超过3xx 一30.5 arctan x , dx0.50.001）的近似值.251-30.013923III49Hl9 2325

20、 2525 250.00132n n x2n0.52n xHl”,(-1<x< 1)2n 1III dx49 27III491-y 0.000227因此011111292325250.4870.5 arctan x , dx18.判别下列级数的敛散性:n 1n n2 nx cos 3解:lnlimn而故级数2n1 n22n2 nlimn11 n21 n2n1 n2发散,2由比较审敛法知原级数发散.nx cos一32nn2n由比值审敛法知级数limn知级数19.若证：;ln n 2nUnlimnln1 lim3nlnn0n1 2收敛，由比较审敛法知，原级数ln n 23nn 33n

21、1ln n 3ln n 22 nx cos32n收敛.3nln n 2ln n 2n 23n收敛，由比较审敛法知，原级数n 收敛.lim n2U nU nn存在，证明：级数n 1 收敛.lim n2U nn存在，：？ M>0,使 20 M,M22即n20M, < nM2而n 1n收敛，故Un绝对收敛.Un2而由n 1 收敛,2 n收敛，则Un2UnUn1n 1 n收敛，知因而n 1 n绝对收敛.绝对收敛.收敛，故n 1 n收敛,anbnan cosnx21.若级数n 1 与n 1 都绝对收敛，则函数项级数 n 1证：（x）, ? x e R 有Un xan cosnx bn sin

22、nxan cosnxbn sin nxananbnanbn由于n 1 与n 1都绝对收敛，故级数n 1收敛.bn sin nx在R上一致收敛.bn由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:ancosnxn 1bn sin nx在R上一致收敛.、.3n 1n 1 n 1nx 120 nn 1 n 2冗sin xn 1 2limnlimnn 1,3n 1limn3n 3 1n 2limnlimn,3解：x又当lim n 因为3时，级数变为n 13n J n 产3n 3所以当又二limnlimsinn3 ,级数发散，故原级数的收敛半径an 1ansin lim n冗2n

23、 1Sin1limn冗2n 1冗2n冗on2n2limn九sin 42n 7CTt2n3n、3 n3n 3,3 % 33 ,收敛域(-3,3).所以当(1)=立时，级数 从而原级数的收敛域为花sin x n 12nan 1lim -an-2<1<2,即-3<x<1,n2 2n发散，即(-3,1)lim2-n n 1 2 2n 12 . R 2 ,收敛区间-2<1<2,即-1<x<3.当1时，级数变为n 1 因此原级数的收敛域为F x23.将函数n 112n ,其绝对收敛，当3时, -1,3.x arctant级数变为1n 1n ,收敛.arcta

24、n t解：由于dt展开成12n 1x的嘉级数.2n所以x arctantdtt2n2n 1dt24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:n_L_(1) n 1 x 3 , xG - 300);n_222n 1 xnx xnxnt2n2nx G (-COCO)；-dt12n 1x2n(<1)xG (20°);3| n、，1Qn 1而n 1 3 收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数nn 1 x 3在-38)上一致收敛.(2)当x>2时，有limnn 12n 1n2n？xG R有2n知级数0 n，2收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,n级数 n 1 x在(28)上一致收敛.n-4n1

25、1n收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数2n 1在(-88)上一致收敛.25.求下列级数的和函数:2nx2n 1x(2)n解：(1)可求得原级数的收敛半径 -1,12n1 x2n贝U S1(0)=0,S1Si x所以即S1(x),所以S1S(x), xG-1,1.(2)可求得原级数的收敛半径1 ,2nx11 x2dxdx xS x所以1,且当2nx1时,级数n 12n 11 x2n 111 x22n1是收敛的交错级数，故收敛域为x§dx x且当11 x , (<1)arctan x2n 1x时，原级数发散.1,1 x 小 ln S x21 x ,即0 2n 1 则1,1 x-ln

26、 21 x , S(0)=0由limnn 1n! lim n n知收敛域为(-88).记dxxxe,所以x xexe，(-oo<x<+oo)由limn数收敛，当xS所以xS时，级数变为nxdx知收敛半径1,n1当1时，级数变为1-2n知级1 n n 1是收敛的交错级数，故收敛域为 -1,1.贝 U S(0)=0，1In 1xS(x，1)1 x In 1 x x即 xS x In 1 xxxxS x dx In 1 x dx00即xS x1 x In 1 x xc1S x 1- 1 In当x，0时，x1lim S x lim 1 ( nn n 1综上所述1 x，又当1时，可求得S(1

27、)=11)26.设f(x)是周期为2天的周期函数，它在 试问f(x)的傅里叶级数在无处收敛于何值? 解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，(-无,表的表达式为无是它的间断点，在2 九 x 0, x3 0 x 冗无处，f(x)的傅里叶级数收敛于0,S x 1,f 冗 f 冗 13cle 3 -冗2- 2 冗222f x27.写出函数0 * * * * * * x 九的傅里叶级数的和函数.解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x),在间断点0,无处,分别收敛于2,f(x)在-无,nt的表达式为:解：(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件，& nGz是

28、其间断点，在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于1 7t工1 0花fx cosnxdxcosnxdx冗-7t冗7t41 7t1 0花-fx sin nxdxsin nxdx冗-7t冗7t4花anbn,在x，n无，有7t花cosnxdx 00 47t冗sin nxdx40,2,4,6, ,1,3,5, |.于是f(x)的傅里叶级数展开式为1 sin 2n(x，n nt )n 12n 1(2)函数f(x)在(-0000)上连续，故其傅里叶级数在(-88)上收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数，从而f(x)为偶函数,f(x)为奇函数，于是bn兀f x sin nxdx-兀a0Tt ey x dx-兀

29、an兀f x cosnxdx-兀2x cosnxdx02n (1,2,)所以,f(x)的傅里叶级数展开式为:n 41 cos nxn(-8+8(3)函数在(21)无(nGz)处间断，在间断点处，级数收敛于0,当 xw(21)的，由 f(x)为奇函数，有 0,(0,1,2, )bnx sin nxdx2 xsin nxdx0J. sin nxdx22所以(4)因为偶函数,-sin花n 1,2,llln冗sin 一 sin nx 2(x，(21)长 z)xcos-2作为以2元为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为有 0(1,2,),1 an冗冗 xcos-cosn

30、xdx-“2冗 x cos- cosnxdx27t兀cos0cosx dx7tsinsin n7t14n2 * 10,1,2,|所以f(x)的傅里叶级数展开式为:.24, n 1 cos nxf x12冗冗n 14n 129.将下列函数f(x)展开为傅里叶级数：r冗 xf x 冗 x 冗4 2fxsinx0 x 2 冗1 7ta0 f x cos nxdx-一兀解：（1） 九17t 冗 x,1an - - cosnxdx 一冗”4 2417t冗x花 一 dx冗7t 422冗1TTcos nxdxx cos nxdx-It27t. Ttbn1元sin nx 0 04n7tn 12|1 7t 兀

31、x 一 -sin nxdx兀"4 21l sinnxdx4 -K1”.xsin nxdx2 Ln sin nx（-无虫 nt ）1 -n(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续,因此其傅里叶级数在0,2 ntS收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,17r17ra0 f x cos0 xdx sin x dx 兀 兀2 7r27c一 f x cosnxdx sinxcosnxdx 冗0冗7t1一 sin花1 x sin n 1 x dx0, 4n2 1n 1,3,5, |n 2,4,6, |所以24cos2nx72_T冗n 1兀4n 1(0<x< 2nt )30.设f(x)

32、1(0Wx& nt)试分别将f(x)展开为正弦级数和余弦级数解：将f(x)作奇延拓,则有 0 (0,1,2,)2 工2 工bn f x sin nxdx 一 x 1 sin nxdxn00TtTtn2 111 九九 n n2111f x -从而冗n 1n若将f(x)作偶延拓，则有0 (1,2,)7t sin nx(0<x< nt )2 工2 工an f x cosnxdx 一 x 1 cosnxdx冗0冗00, n 2,4,61|)总,n 1,3,5,| na017t27t二 J x dx 二 0 x 1 dx 冗2f x从而冗 2 4 cos 2n 1 x-Z_ 一22

33、冗n 1 2n 1(0<x< %)1231.将f(x)=2 (-1&xW1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数 n 1 n的和. 解：f(x)在(-88)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由 f(x)是偶函数，故0,(1,2,)11a0f x dx 2 2 x dx 501011anf x cosnxdx 22 x cosnxdxn 100, n 2,4,6|，n 1,3,5,| n所以4 cos 2n 1 x22冗 n 1 2n 1xG -1,12取0得，2n 1，故111222n 1 n n 1 2 n 1 n 1 2n114 n 1 n1 2 *2Tt1 冗-2a

34、所以n 1n632.将函数f(x)1(0Wx02)展开成周期为4的余弦级数.解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-88)上连续，则有0 (1,2,3,)a01 22f x dx x 1 dx 02 20ann做, x cosdx22. n <x 1 cosdx0f x33.设12,4,6，|1,3,5，|812n 1 水22 cos冗 n 1 2n 12(0<x<2)x, 0 x -, 2 ca0c -cc ns xan cosn x0°12 n 12 2x, x 1, 2, - oo<x<+oo其中1s -an 2 f x cosn Txdxs

35、 90，求 2解：先又f(x)作偶延拓到-1,1,再以2为周期延拓到(- OOOO )将f(x)展开成余弦级数而得到s(x),延拓后f(x)5x -在 2处间断，所以s x34.设函数f(x)2(00x<1),而bn sin n 水n 18<x<+8,其中s二)求解：先对f(x)作奇延拓到,-1,1,再以2为周期延拓到(-88),并将f(x)展开成正弦级数得到s(x),延拓后1x-f(x)在2处连续，故.21 £111sf2 224.35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为:(1)f(x)=1 3n x 一 f x sindx2x 1,3x0,f xf(x),由于f(x)为偶函数,有0 (1,2,3,1,0x3.解：(1) f(x)在(-88)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于a。11221fx dx 4 2 11021221fx cos2n 冰dx2x2 dx14 2 10116x2 cos2n Tixdxn 1122 n 冗所以f xao U -1jos2n 水12 k n 1 n2dx02x 13(-oo<x<+oo)3dx dx01 3 n x 一 cosd