第27章圆与正多边形知识点整理

1、第27章圆与正多边形【考点清单】-、基本概念及性质1. 不在同一直线上的三点确定一个圆；2. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴;3. 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；4. 在平面上，经过给定两点的圆有无数个， 这些圆的圆心联结这两点的线段的垂直平分线上;5. 三角形的外心是这个三角形的外接圆的圆心;6. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，都 等于这个外接圆的半径；7. 直角三角形的外心在斜边的中点，锐角三角形的外 心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部;8. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心；9. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等；10. 基本概念：

2、弧、弦、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等圆、同心圆、切线、割线、 圆心距（线段）、连心线（直线）；正多边形的半径、边心距、中心角；11. 等弧：能够重合的两条弧称为等弧。（长度相等的弧不一定是等弧。）12. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。13. 正n边形（n3）:正n边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；当n为奇数时，正n边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，最小旋转角=360/n当n为偶数时，正n边形是中心对称图形；正n边形的内角和：180 （n-2）一个内角 180 （ n-2） /n 或者180- （360/n ）外角和360 °一个外

3、角360° /n每一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆14.点与圆的位置关系（点和圆心的距离）15.直线与圆的位置关系（d圆心到直线的距离）Ex R取何值，圆0与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点？R=1, AO取何值时，圆 0与线段AB有一个交点？两个交点？没有交点?16.圆与圆的位置关系（d两圆心之间的距离）图形两圆的位m ¥方.置.丿 系d、R1、R2之间的关系图形两圆的位护¥方.置丿系d、R1、R2之间的关系® 0©同心圆d=0二、尺规作图17. 作一个圆的圆心：任取非平行的两条弦，作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交 点即圆

4、心；18. 三角形的外心：作任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即三角形的外心；19. 三角形的内心：作三角形的任意两个内角的平分线，这两条角平分线的交点即三角形的 内心；20. 作一个圆的内接正三边形、四边形、六边形、八边形；三、计算21. 圆中的相关计算：第一步：常添的辅助线：半径，弦心距，公共弦;第二步：用好垂径定理、四等定理、等腰三角形三线合一性质进行说理;OAD,运用勾股定理或三角比进行计第三步：抓住半径，半弦和弦心距构成的直角三角形 算；22. 圆中计算的几种类型：(1 )已知半径 OA,/ AOB,求 OD、AB;利用三角比求 OD、AD、AB；(2) 已知AB和CD,求半

5、径；设半径为 R,则OD=R-CD利用 OA2=OD2+AD2求出R；(3) 已知半径R和AC,求AB;利用两个直角三角形 AD2=AO2-OD2 AD2=AC2-CD2 得 AO2-OD2=AC2-CD2，设 OD 为x,得R2-x2=AC2-(R-x)2吗，求出x,最后利用勾股定理求AD,从而利用垂径定理得出AB;常m新建的酒欢湖肚人1环角欄.诫剧啊屮轴卜虑即小腐附訓 :帳*袖,曲得A川的疑H崎n 厂之啊的肿离郴带J 厂 萨料X氏为缈ift,A '啊肿*(为1斷娜囲所庇诸怵/ 评他心車啊満水湖的咿桂(4) 求三个两两外切的圆的半径设元，根据 R1+R2=d列出方程求解。(5) 正n

6、边形中求中心角、边长、半径、边心距,转化为解等腰三角形 OAB和RtA AOH。四、圆的几何证明(1)与圆相关的基本图形：等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线(2)常用的定理:四等定理：前提一一在同圆或等圆中,圆心角相等劣弧(或优弧)相等弦相等弦心距相等。垂径定理：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;相切两圆的连心线经过切点；角平分线的性质定理/ OM 平分/ AOB,点 P在 0M 上，PEL OA, PF丄 OB B PE=PFM角平

7、分线的判定定理 / PEL OA, PFL OB, PE=PF OP 平分/ AOB线段垂直平分线的性质定理直线,MN垂直平分线段 AB,点P在直线MN上 PA=PB线段垂直平分线的判定定理/ PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上(但不能说明直线MN垂直平分AB)若还有一个点Q也在线段AB的垂直平分线上，那么直线 PQ垂直平分线段AB(3 )补充证明AB是圆O的直径，/ ACB=90°联结OC,/ OA=OC, OB=OC, / A=Z OCA,/ B=Z OCB,/ A+/ OCA+/ B+/ OCB=180° 2 / OCA+2Z OCB=180° / OC

8、A+/ OCB=90° 即/ ACB=90五、圆中的分类讨论(1)两圆相切一一考虑内切和外切两种情况若©a与©a相切的半if刿乳删心甌则朗半径足 (2)两圆内切考虑|R1-R2|=d即 R1-R2=d或R1-R2=-d两种情况; 两圆没有公共点，则两圆可能内含，也可能外离；两圆只有一个公共点，则两圆可能内切，也可能外切；(4) 已知弦AB平行于弦CD,并已知这两条弦的长度，求两条弦之间的距离;当弦AB与弦CD在圆心同侧时，HG=OG-OH当弦AB与弦CD在圆心异侧时，H'=OG+OH为僭轴卜木骨逍的w忖为1 imtnu w的:m帕冒所小八配时廉* ffiTtfc AH 为九首 itl.产-一、章此时的木斷HD阳極部分的J烁山h/'当/K俑I升釧取训宽勺山弘理丨j Xi?煮N(5) 圆Oi与圆O2相交，AB是公共弦，已知两圆的半径及公共弦长，求圆心距;当两圆的圆心在公共弦的异侧时，OiO2=OiE+Q