高二圆锥曲线知识点总结与例题

1、圆。这两个定点叫做椭圆的焦点, 则有 |MF1 | | MF2 | 2a。椭圆的标准方程为:注：以上方程中2 y b222x y1 ( a b 0)(焦点在x轴上)a b22或、t 1 ( a b 0)(焦点在y轴上)。a ba,b的大小a b 0,其中b2 a2 c2 ；22一 y x1和彳1两个方程中都有a b 0的条件, a b要分清焦点的高二圆锥曲线知识点总结与例题分析、椭圆1、椭圆概念平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a (大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,位置，只要看X2和y2的分母的大小。0 , m n)当m

2、 n时表示焦点在x轴上的22例如椭圆1 (m 0, nm n椭圆；当m n时表示焦点在y轴上的椭圆。2、椭圆的性质范围：22x y 由标傕万程 1知|x| a , | y | b ,说明椭圆位于直线x a , y b所围a b成的矩形里；对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；四个顶点:A( a,0), A2(a,0),旦(0, b), B2(0,b)线段A4、8岛分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在Rt OB

3、2F2中，| OB2 | b , IOF2I c, IB2F2I a,且 IOF212 IB2F212 IOB2I2,即 c2 a2 b2；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 一叫椭圆的离心率。a3、点与椭圆的关系24 1 (a b 0)的关系： b22 .x点P(x0,y)和椭圆2 a22(1)点P(x0,y。)在椭圆外与吟1;a b22(2)点P(x0,yO)在椭圆上空 鸟=1;a b22（3）点 P（x0, y0）在椭圆内一2 -2- 1a b二、双曲线1、双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线IIPFil 呼11 2a。一、/注息： 式中是差的绝对值，在

4、0 2a IF1F2I条件下；|PFi| IPF2I 2a时为双曲线的一支；| PF2 | |PFi | 2a时为双曲线的另一支（含 Fi的一支）； 当2a IF1F2I时，|PFi| IPF2II 2a表示两条射线； 当2a FEM, |PFil IPF2II 2a不表示任何图形； 两定点F1, F2叫做双曲线的焦点，| FF2 |叫做焦距。椭圆和双曲线比较:椭圆一双曲线定义|PFi| IPF2I 2a(2a |%|)|PFi| | PF2 | 2a(2a |%|)方程22xyia2b222x y 1声/ 122xy1ia2b222yx1 ia2b2住日 八、八、F( c,0)F(0, c)

5、F ( c,0)F (0, c)汪思：要分清焦点的位置，由 x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上2、双曲线的性质范围： 22从标准方程勺 4 1,看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x a的a b外侧。对称性：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。两个顶点：A （ a,0）A2（a,0）实轴：线段A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：x a, yb围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。22b双曲线、4 1渐近

6、线为y -xo a2 b2a等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y x； （2）渐近线互相垂直（3）离心 率为e 22.。 22.3）注意到等轴双曲线的特征 a b,则等轴双曲线可以设为：x y （0）,当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。三、抛物线(1)抛物线的概念平面内与一定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线。方程y2 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，焦点坐标是F

7、( -p ,0),它的准线方程是X p ;2(2)抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： y2 2px, x2 2py , x2 2py.这四种抛物线的 图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)图形Jjx loxyI o-l 下小焦点坐标(旦0) 2(，0)(0，)2(0，字准线方程x E2x卫 2y 1范围x 0x 0y 0y 0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e 1e 1

8、e 1说明：(1)焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称 中心，没有渐近线；(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四、直线与圆锥曲线的位置关系 ：(1)相交： 0直线与椭圆相交；0,当直线与双曲线的0 直线与双曲线相交， 但直线与双曲线相交不一定有渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故件，但不是必要条件；0是直线与双曲线相交的充分条0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但

9、不是必要条件。(2)相切： 0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；(3)相离： 0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(xi, y1), B(x2, y2)，则它的弦长AB|Jik2|xX2J(1k2)(XiX2)24.X2jlk2|yiy?|注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为yi y k(xi X2),运用韦达定理来进行计算.当直线

10、斜率不存在是，则AB yi y2 .六、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。22一X y在椭圆Xy 彳 i中，以P(X0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 a b22在双曲线 T 4 i中，以P(x0, y)为中点的弦所在直线的斜率 a bk.与 a V。k与a V。Vq在抛物线y22 Px( p 0)中，以P(X0, y0)为中点的弦所在直线的斜率k= -p。高二圆锥曲线例题分析2 X 2|PFi| IPF2I 的最例1、FF2是椭圆 一 y2 1的左、右焦点，点 P在椭圆上运动, 4大值是.解：.|PFi | | PF2 尸(IPFil IPF2I例2、

11、已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与直线 x y 1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.解：由题意,设椭圆方程为1,X由X2a0，得1 a12 2a2x 0,一XmXiX21 a22- ayMXMkOMyM4,Xm1为所求.例3设双曲线X21上两点A、AB中占I 八、(12）,求直线AB方程;解：方法一:显然AB斜率存在设 AB: y-2=k（X-1）kx2 y2k得：(2-k2)x2- 2k(2- k)x- k2+4k- 6=0当 0 时，设 A（X1,y1）, B（X2,y2）则 lX12x2 k(2k) k=1 ,满足 02 k2直线

12、 AB : y=x+1法二：设 A（X1,y1）B（X2,y2）则2X12X22y22y221两式相减得:1(X1-x2)(x1+x2)=-(y1y2)(y1+y2). X1WX2, y-y2X1 X22(X1 X2) kABAB : y=x+1yy22代入 X2 -y- 1#: 02常用这两种途径处理。评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时, 在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。.3例4.椭圆中心是坐标原点 O,焦点在x轴上，e=：,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于 P、Q两点，|Pq=20,且OPOQ求此椭圆的方程.922解:设椭圆方程为 :+4 =1,(ab0)a b

13、(1)PQ x 轴时，F(-c,0), |FP|=b-,又 |FQ=|FP回 OPXOGi, /. |OF|=|FP| c=ab2 .2 J.ac=a2- c2, a5 1、3-e+e-1=0, e=PQ ： y=k(x+c),P(xi,yi),Qx2,y2), .e= ,/.a2=4c2,c 1 Cb2=c2,3三与题设e=不符，所以PQ不垂直x轴.所以椭圆方程可化为：3x2+l2y2- 4c2=0，将PQ方程代入,得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,.x1+x2=24k2c_ 2 212k c三,x1x2=33 12k23 12k24c2由心里得、J(工了 4(

14、12k2c2 24c2)=竺9. 3 12k23 12k29. OPOQ,，旦 -2- = -1 即 x1x2+y1y2=0, . . (1 + k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0x1x2把x x2 , x x2代入，解得2 4k2=-,把1124A I 2 ck2 一代入解得c=311.a2=4,b2=i,则所求椭圆方程为2+y2=1.4例5.双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线 点的坐标；若不存在，说明理由.解：设AB: y= x+m,代入双曲线方程得 2y=2x对称的两点 A、B?若存在,11x2+4mx 4( m2+ 1) =0,这里 = (4m)2 4X 11 4

15、(m2+1) =16( 2m2+11) 0 恒成立，4m设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点为 M(xo,yo),则 x1 +x2= 彳不,. xo=若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，2m一 ,y0=11试求出A、B两1xo+m=212m11亚=4m得m=1,由双曲线的对称性知，直线y= 1x与双曲线的交点的 A、B必关11112于直线y=2x对称.，存在A、B且求得A（),B(x2例6、求椭圆一3y2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值.解：方法一:方法二：设椭圆上的点为J3 cos ,sin ,则距离为dV3cos sin 6,22sin 一

16、 31时，d最小值2x2 3y2 6x,求 x2y2 2x的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2x2 3y2 6x与椭圆方程的结构一致.设x2 y2 2x m,显然它表示一个圆,由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解：由 2x2 3y2 6x23x、，22 y933其中心在 一,0点，焦点在x轴上，且过（0, 0）点和（3, 0）2八、一 22_一 .2设 x y 2x m,则 x 1可见它表示一个椭圆,它表示一个圆，其圆心为（一在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知,当圆过（0, 0）点时，半径最小，即。m 1此时m 0 ；当圆过（3,0）点时

17、，半径最大，即Jm 1.m 15.x2 y2 2x的最小值为0,最大值为150)半径为m m 1 m 1 .22例8、已知椭圆 -y- 1内有一点A(1,1), FF2分别是椭圆的左、右焦点，点 P是 95椭圆上一点.求PA PFi的最大值、最小值及对应的点P坐标;解：(1)如上图，2a 6, F2(2,0), |AF2 J2 , 设P是椭圆上任一点，由 |PFi| |PF2 2a 6,|PA | PF2 |AF2 ,PA| |PFj I PF |PF2| |AF2| 2a |AF2| 6 J2 ,等号仅当|pA |pf2| |af2|时成立，此日中P、A、F2共线由 PA PF2AF2 ,P

18、A PF1 PF1 PF2等号仅当 PA PF2 AF2时成立，此时P、 A、AF2 2a AF2 6 72 ,F2共线.建立 A、F2的直线方程x y 2 0,9 15-5 15解方程组 /. 得两交点 P(9吧&? 15 J2)5x2 9y2 457 147 14P2(715 2,5147收)综上所述，P点与P重合时，PA PF1取最小值652, P点与P2重合时,PA PF2取最大值62例9、设椭圆ax2+by2=1与直线x+ y1 = 0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB| =2啦，OC的斜率为 冬 求椭圆的方程.ax2 + by2 = 1,解：设A(x1, y1), B(x

19、2, y2),那么A、B的坐标是方程组的解.x+ y1 = 0由 ax2+ by2 = 1, ax2+ by2= 1,两式相减，得a(x1+ x2)(x1 x2)+ b(y1+ y2)(y1一 y2)= 0,y1y2 因为 =-i,xi X2所以yi + y2X1 + X2a b，2yc a yc a2xb xb,所以b = M2a.再由方程组消去 y得(a+b)x22bx+b 1 = 0,由 |AB|= 1(xi x2)2+ (yi y2)2= 0y2),则 yiy2= 4.因为 y2=4xi, y2= 4x2,一i c c所以 xix2= i6yiy2= i,uuu uuu故 OA OB = xix2+ yiy2= 3.uuiruuu(2)因为AF =入FB ,所以(ixi, yi)= x2i, y2),1 xi = ?X2 A, 即yi=92,又 y2= 4xi,y2= 4x2,1由消去yi, y2后，得到xi= fx2,将其代入，汪息到Q0,解得x2=.从而可/日 2信