多维随机变量及其分布

1、第五章统计量及其分布§ 5.1总体与样本总体与个体总体：研究对象的全体。包括有限总体和无限总体，本书将以无限总体作 为主要研究对象。个体：构成总体的每个成员。可以视总体为一个分布。因此“从总体中抽样”与“从某分布中抽样”意 思相同。举例。样本从总体中随机地抽取 n个个体，记其指标值为xX2,x，则x,x2,xn 称为总体的一个 样本，n称为样本容量。举例。简单随机样本(简称样本)的特点：(1)随机性(2)独立性。设总体X具有分布函数F(x)，Xi,X2/ ,Xn为取自该总体的容量为n的样 本，则样本联合分布函数为nF(Xi,X2, ,Xn) ： I 丨 F(Xi)i吕注意：对于无限总

2、体，随机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无 意的人为干扰。对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比 很大，则独立性也可基本得到满足。举例。§ 5.2样本数据的整理与显示经验分布函数定义：设Xi,X2/ ,Xn是取自总体分布函数为F(X)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列人，为X(i),X(2),X(n)，则X(i),X(2),X(n)称为有序样本， 用有序样本定义如下函数0,当 xvx(i)Fn(x) =/ n,当 x(k)Ex cx(k+),k =i,2，n iJ,当 XX(n)则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足Fn(=) =0 和 &( ：)

3、=i。由此可见，Fn(x)是一分布函数，并称其为经验分布函数。举例。定理格里纹科定理)设Xi,x2/ ,xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，Fn(x)是其经验分布函数，当 n时，有P sup Fn(x) -F(x) 0=1注意：该定理表明当n相当大时，经验分布函数是总体分布函数的一个良 好的近似。频数频率分布表例1为研究某厂工人生产某种产品的能力，我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品的数量，数据如下160196164148170175178166181162161168166162172156170157162154对这20个数据(样本)进行整理，具体步骤如下：(1) 对样本进行分组

4、首先确定组数k ,作为般性的原则，组数通常在5-20个，对容量较小的样本，通常将其分为5组或6组，容量为100左右的样本可分7-10组，容量为200左右的样本可分 9-13组，容量为300左右及以上的样本 可分12-20组，目的是使用足够的组来表示数据的变异。这里将数据分为5组,即 k =5 。确定每組组距 每组区间长度可以相同也可以不同，实用中常选用长度相同的区间以便于进行比较，此时各组区间的长度称为组距，其近似公式为：)/组数148，故组距近似为组距d =(样本最大观测值-样本最小观测值 本例中，数据最大观测值为196，最小观测值为,196 -148*d9.65方便起见，取组距为 10。(

5、3)确定每组组限各组区间端点为a°,a0d 二aa。 2d 二a?, a。 kd 二 ak，形成如下的分组区间(a0 ,a1 , (a1, a2,(akJ,ak，其中a°略小于最小观测值，ak略大于最大观测值，配合我中可取a° =147,a5 =197，于是本例的分组区间：(1 47,1,51757,167】,(167,177】,(177,187】,(187,1971,通常可用每组的组中值来代表该组的变量取值，组中值=(组上限+组下限)/2。(4)统计样本数据落入每个区间的个数-频数，并列出其频数频率分布表。本例的频数频率分布表见下表。从表中可以读出很多信息，如：

6、40%的工人产量在157到167之间；产量少于 167个的有12人，占60% ;产量高于177的有 3人，占15%。例1的频数频率分布表组序分组区间组中值频数频率累计频率/%1(147,157】15240.20202(157,167】16280.40603(167,177117250.25854(177,187118220.10955(187,197119210.05100合计201样本数据的图形显示一、直方图它在组距相等场合常用宽度相等的长条矩形表示，矩形的高低表示频数的 大小。在图形上，横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标表示频数，这样 就得到频数直方图，如图。把纵轴改成频率就得到频率直

7、方图。为使各长条矩 形面积和为1，可将纵轴取为频率/组距，称为单位频率直方图或简称频率直方 图。二、茎叶图例2某公司对就聘人员进行能力测试，测试成绩总分为150分。下面是50痊应聘人员的测试成绩（已经过排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133我们用这批数据给出一个茎叶图。把每一个数值分为两部分，前面一部分（百倍和十位）称为茎，后面部分（个位）称为叶。女口数值分开茎和叶82t82t8和2

8、然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎，右侧写上叶，就形成了茎叶图。上例如下图。甲车间乙车间505256616162566667676868646565656767727274757575676871727474757676767678767677777882787980818183838587889091838384848486869286939397868787889292100100103105939598107背靠背的茎叶图。某天各40名贡工生产的产品数量。为对其进行比较，我们将这些数据放到一个背靠背茎叶图上。甲车间乙车间6477024669801223568911233356100024

9、66781122468991223568133在比较两组样本时，可画出它们的 例3下面的数据是某厂两个车间677986 2 08 7 7 7 5 5 5 4 2 1 18 7 7 6 6 4 4 2 18 7 6 6 5 3 27 3 2 1 05678966 7 7 8 82 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 90 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 85 3 0 010从图中可见，茎在中间，左边表示甲车间的数据,7右边表示乙车间的数据。从2 2 3 5 8茎叶图可以看出，甲车间员工的产量偏于上方，而乙车间员工的产量大多位于中间，乙车间的平均产量要高于甲车间，乙车间各员

10、工的产量比较集中，而甲车间员工的产量则比较分散。§ 5.3统计量及其分布统计量与抽样分布定义设Xj,X2,，Xn为取自某总体的样本，若样本函数T 寸（公2,Xn）中不含有任何未知参数，则称T为统计量。统计量的分布称为抽样分布。统计量和非统计量举例。注意：统计量不依赖于未知参数，但它的分布一般是依赖于未知参数的。样本均值及其抽样分布定义设x1,X2 ,Xn为取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，一般用X表示，即x/ .X2- *1 ； 、Xin iX1 f1 X2 f2 亠.亠 Xk fk /kX =(n :二' fi)ni 4其中k为组数，Xi为第i组的组中值，fi为第

11、i组的频数。例1某单位惧到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据：79848488929394979899100101 101102 102 108110113118125则该月这20名青年的平均娱乐支出为7984川川125X =在分组样本场合，样本均值的近似公式为若将数据分组可得如下频数频率分布:= 99.420对上表的分组样本，使用近似公式得：_82 3 92 522 2x1 0 0证明对任意给定的常数 c例1的频数频率分布表组序分组区间组中值频数频率/%1(77,87823152(87,97925253(97 ,1071027354(107,1171123155(117,127122210

12、合计2010020两个数值不同是因为后者使用的是不是真实样本观测值。定理若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之n和为 0，即 7 （XiX）二 0i ±_ 2_瓦 Xi证 二：（Xj _X）2 二、 Xj _ nX 二、 片 _ n _ = 0n定理数据观察值与均值的偏差平方和最小，即在形如、（人-c）2的（Xj _'X）2最小，其中c为任意给定常数。2 2 2 2、(幷-c) 二(Xj _x x _c) =(Xi -x) n(x _c)2 2 22、* x)(xc)八(Xj x) n(xc) 一、(xx)定理设x1, x2 , xn为取自某总体的样本，x为

13、样本均值。2 _ 2(1) 若总体分布为N(丄，二)，则x的精确分布为N(丄，二/n)；2(2) 若总体分布未知或不是正态分布，但E(x)-Var(x) - ；，则n较大时x的渐近分布为N(；2/n)，常记为xN(d；2/n)。样本方差与样本标准差定义设x1 ,x2 , xn为取自某总体的样本，则它关于样本均值x的平均偏差平方和*2 1 J /_2S =打(Xi _x)n i 4称为样本方差。其算术根S = . S 2称为样本标准差。注意：(1)由于标准差与均值具有相同的度量单位，因此通常更有实际意义。2 1 2(2) 在n不大时，通常用S =:, (Xi -x)表示样本方差(也称无偏方n -

14、1 y差),s二s2表示样本标准差。而且更常用，在后面讲样本方差时通常指后者。n(3) v (备X)2称为偏差平方和，n-1称为偏平方和自由度。偏差平方和的三种表达式：n _ 1 _' (Xi -X)2 工為 Xi2 - C Xi)2 =嘉 Xi2 nX2i 1n这三种方式都可以用于计算方差。(4) 在分组样本场合，样本方差的近似计算公式为s21 kn-1；. fi(X)21 k迟 W -nx)2 n-1 y其中Xi, fi分别为第i个区间的组中值和频数，X为分组得到的样本均值。接例1对于x =99.4，其样本方差与样本标准差分别为2 | 2 2 2S2(79 -99.4)2 (84

15、-99.4)2 (125 -99.4)2 = 1 3 39 36 820 Ts 二 133.9368 =11.5731。例1的分组样本方差计算表组中值频数fxfX -X(x-X)2f82324683201027714228112333612432122224422968和2020002720于是 XM2000 /。, s2= 2720 =143.16 , Sf ；143.16 =11.9620 20 12定理设总体 X具有二阶矩，即E(x)二J,Var(x) - .:-:2X1,X2,Xn为取自该总体的样本，X,s分别是样本均值和样本方差，则E(X)=,Var(X)

16、- ；2 / n, E(s2)=二2。1nn卩证明(1) E(X) EL Xi)=i =4nni jnVar(X) =lvar(' Xi)二nid2 2n；-n因为' (Xi -X)2 八 Xi2 -nX2id：而E(X2) =(ExJ2 Var(xJ，E(X2) =(EX)2 Var(X)-2 二2/n于是n_ 222222Ep (Xi -X) n(二)n("二 /n)=(n 1)二i 1上式两除以n -1，即得(3)。定义 5.3.4 设 x1, X2,1 n,xn为样本，则统计量akxi称为样本k阶原n 75.3.4样本矩及其函数统计量bk点矩，特别样本一阶原点

17、矩就样本均值,1 n=(Xj - x)k称为样本kn i d阶中心矩，特别，样本二阶中心矩就是样本方差。定义设x1, x2/ , xn为样本，则称统计量j =b3/b；/2为样本偏度。注意：样本偏度反映了总体分布密度曲线的对称性信息，b3除以b3/2是为削除量纲影响。(2)4=0表示样本对称，1 0表示样本的右尾长，总体分布是正偏或右偏的，1 : 0表示分布的左尾长，总体分布是负偏或左偏的。定义设X1,X2 / ,Xn为样本，则称统计量2 = b4/b； -3为样本峰度。注意：(1)样本峰度反映了总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度。(2) 20分布密度曲线在其峰值附近比正态分布来得陡，称为

18、尖顶型i ：0时，分布密度曲线在其峰值附近比正态分布来得平坦，称为平顶型。例2下表是两个班（每班50人）的英语课程的考试成绩， 度计算两个班级的 平均成绩、标准差、样本偏度及样本峰度。两个班级的英语成绩成绩组中值甲班人数f甲乙班人数f乙90-100955480-8985101470-7975221660-6965111450-59551240-494510解首先计算下面两个表Xf甲x f甲（x X甲）2 f甲（X X甲）3 f甲（X X甲）4 f甲95547585108507522165065117155515545145和5037905368-8908.81987874.56乙班成绩的计算过

19、程Xf乙xf乙（X - X乙 ）2 f乙（X X乙）3 f乙（x X乙 ）4 f乙955851075226511551451和50379051683571.21208706.56则X甲=3790/50=75.8， X乙二 3790/50 二 75.85368 ,小：5168 十=10.47 , Sz = *=10.27一 49493571.2/503/2 =0.068 (5168/50)1208706.56/50 , =2- 3 = -0.74(5168/50)-8908.8/503/2= -0. 16 ,/1 乙=2甲 严787456俨-3心5,2乙(5368/50)(5368/50)3/2

20、由此可见，两个班级的平均成绩相同，标准差也几乎相同，样本偏度显示两个 班的成绩都是基本对称的，但两个班的样本峰度明显不同，乙班成绩分布比较 平坦，而甲班则稍显尖顶。次序统计量及其分布一、定义 设X1,X2,，Xn是取自总体 X的样本，X（i）称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。其中x=min% ,x2,，xn称为样本的最小次序统计量，X（n）=m axx,*2,Xn称为该样本的最次序统计量。注意：次序统计量1）,X（2）,，X（n）既不独立，分布也不相同。例3设总体X的分布为仅取0，1，2的离散均匀分布，分布列为X012P1/31/31/3现从

21、中抽取容量为 3的样本，其一切可能取值有 33=27种，现将它们列在表格 的左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。X1X2X3X(1)x(2)x(3)X1X2X3x(1)X(2)X(3)000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222222201012由于样本取上述每一组观测值的概率相同，都了 1/27,由此可给出x（1） X（2） X（3

22、）我们可以清楚地看到这三个次序统计量的分布是不相同的。进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如X（1）和X（2）的联合分布列为X(2)X(1)01207/279/273/2710002001/27的分布列如下:19/277/271/277/2713/277/27X(3)012P1/277/2719/27P19 77因为 P（x（1） =0）P（x（2）=0），而 P（x（1）= 0, x（2）= 0），两者不27 2727等，由此可见 x和x（2）是不独立的。二、单个次序统计量的分布定理设总体X的密度函数为p（x），分布函数为F （x），X-X2,，Xn 为样本，则第k个次序统计量x（

23、k）的密度函数为Pk(x)二n!(k -1)!(n -k)!(F(x)k(1 -F(x)n-kP(X) o例4设总体密度函数为2p（x） =3x ,0 ： x ： 1现从该总体抽行一个容量为5的样本，试计算 P（x（2） ：1/2）解我们首先应求出X（2）的分布，由总体密度函数不难求出总体分布函数为0, x 乞 0 F（x） = <x3,0 c xi 1,x1由此得X（2）的密度函数为P2（X）5!(2 _1)!(5 _2)!(F(x)2(1-F(x)5'P(x)= 20x33x2(1 _x3)3= 60x5(1 x3)3,0 :：: x <1于是1 /25331/83P(

24、x(2)c1/2) = 60x (1 x ) dx = ( 20y(1 - y) dy13445二 20(z -z )dz =5(1 -(7/8) )-4(1 -(7/8) ) =0.12077/8例5设总体分布为U (0,1) , X1 , X2 ,，Xn为样本，则其第k个次序统计量X（k）的密度函数为Pk(X)=n!(k -1)!(n -k)!(x)kJ1(1 -x)nJ0 ： x : 1即贝塔分布 Be（k, n - k 1），从而有 E（x（k）二 k/（n 1）。三、多个次序统计量的联合分布定理设总体X的密度函数为p（x），分布函数为F（x）， x-i ,X2,xn为样本，则次序统计

25、量（x（i）,x（j）（i ： j）的联合分布密度函数为Pj(y,z)n!（i 一1）心 _i 一1）!（n 一 j）!F(y)rF(z)-F(y)®1-F(z)n-jp(y)p(z)注意：实际问题中将会遇到次序统计量的函数，比如样本极差：Rn - X（n）- X（1）。例6设总体分布为U （0,1），X1X,Xn为样本，则次序统计量（X（1）,X（n）的联合分布密度函数为 P1,n（y,z）二 n（n 1）（z - y）n',0 ： y z ：1,令R = X（n）-X，由R 0可以推出0 :：人0 = X（n） - R岂1 - R，则 1 _rPR（r）° n（

26、n- 1）（y r） -yn'dy = n（n - 1）rn"r）。 这正是参数为（n -1,2）的贝塔分布。样本分位数与样本中位数设X,X（2）,，X（n）是有序样本，则样本中位数定义为m0,5（X n2（2n为奇数-X（n 1）, n为偶数2样本p分位数mP可定义如下:X(npl),叩不是整数" 2(X(np) X(npi), np 是整数定理设总体密度函数为 p(X), Xp为其p分位数，p(X)在Xp处连续 且p(Xp)>0，则当n:时样本p分位数mp的渐近分布为mpN(Xp,以1厂)np (Xp)特别，对样本中位数，当 n，时近似地有m0.5N(X0

27、.5 ,14np2 (X0.5)注意：相比之下中位数比均值更具有 稳健性。例7设总体为柯西分布，密度函数为P(X,力1二(1 -(X -“)2-：:X :其分布函数为1 1F (x; Jarct aX (),2 n则&是该总体的中位数，即m0,5 =日,设X1,X2,Xn是来自该总体的样本，当 样本量n较大时，样本中位数 m0,5的渐近分布为2m°.5N,)4n五数概括与箱线图次序统计量的应用之一是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下的五个值：最小观测值X(1；最大观测值X(n);中位数m0.5;第一 4分位数Q1 = m°.25和第三4分位数Q3 =

28、m°.75。所谓五数概括就是指用这五个数来大 致描述一批数据的轮廓。五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成。其作法如下：(1) 画一个箱子，其两侧恰为第一4分位数和第三4分位数，在中位数位置上画一条竖线，它在箱子内。这个箱子包含了样本中50%的数据；(2) 在箱子左右两侧各引出一条水平线，分别至最小值和最大值为止。每条 线段包含了样本中25%的数据。箱线图可用来对样本数据的形状进行大致的判断。下图给出了三种常见的箱线图，分别对应对称分布、左偏分布和右偏分布。§ 5.4三大抽样分布2 (卡方)分布定义设XX2,，Xn相互独立且均服从标准正态分布，即nXi N(0,1)

29、,i =1,2,n,则随机变量 2 = x1 x2 - x：八.X：7服从自由度为n的2分布，记为22 (n)。2分布的密度函数为'dJ丄,y 0,y 012 2y e p(y)和公(2)20第三章已经了解若 XN(0,1)，则X2Ga(1/2,1/2),根据伽玛分布的可加性，有2Ga(n/2,1/2) =2(n),由此可见 2(n)分布是伽玛分布的特例。下图给出了222分布密度函数曲线E( 2)二 n,Var( 2) =2n。2(卡方)分布的1 -:分位数可以在附表中查到。分布2定义设X1,X2相互独立，分别服从自由度为 m,n的x分布,则称X1 /mX2/n服从自由度为(m, n)

30、的F分布，记为F m,n。其中m称为分了自由度,为分母自由度。通过计算，可求得 F m,n的概率密度函数m/ 2 4my (1 y)nF图给出了一些F分布的密度函数的图象F分布的性质：若 F F(m, n).，则有1/F F(n, m).。F分布密度函数关于F分布的1-分位数：我们称满足 pg乞F.(m, n)?的点片_一.(m,n)为F(m, n)分布的1-二分位数，其有如下性质:F.(n ,m) =已七(m, n)1证明 设FF(n,m)，则- F(n,m),且F:-PT _F(n,m)4P -aIF F/n ,m)J1 1 1 1FF：.(n,m)=1-P*丄色一1> = 1_p*

31、丄启JF F(n, m)1工1丁Fg( n,m)由ot分位点的定义，显然 F(m, n)=成立。F：.(n, m)t分布则称随机变量定义设X N(0,1),Y2(n),且X与Y相互独立,服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。通过计算可得t分布的密度函数为P(y"(1n n.t分布的密度函数曲线上图给出了 n =1, 5,10时t分布的密度函数。t分布的1-分位数，由PT 汀1_.(n)；二1,的t.(n)是自由为n的t分布的1-分位数，查t分布表可得t (n)的值。 由于t分布有对称性，因此t:.(n) = -t.( n)注意：(1)自由度为1的t分布就是标准柯西分布，它的均值不存

32、在；(2) n> 1时，t分布的数学期望存在且为0；(3) n> 2时，t分布的方差存在且为 0;(4) 当自由度较大时(如n 30)，有2 _n+_y2lim(1二2nr.：nt分布接近标准正态分布。因此，在应用中，可以用标准正态近似，有t ?(n)z :。些重要的结论2定理设XX2,，禺为取自正态总体 N( = ；)的样本，其样本均值n和样本方差分别为，则有' (Xi X)2i d_2(1) X与s相互独立 X N(，；2 /n)(n -1)s22(n-1)推论在定理541的记号下，有n(刃 - J)Tt( n-1).S证明由定理知 N (0,1), n1 s2CJ(J

33、且二者相互独立，由t分布的定义可知(")xns2、n&_) n匚.2 (n1)s即 T t(n -1)推论5.4.2和5.4.3设x1, X2 / , Xm为取自正态总体 Ng,；、2)的样本，设yi,y2,，yn为取自正态总体 N(丄2,二；)的样本，且此两样本相互独立，记2Sy二1n -1n二：(yi - y)，i丄其中y 丄° yin i -4则有2Sx2Sy2；2二F(m _1, n_1)二 1特别地，若二;=(2)若进一步假设Sx2Sy2F(m -1, n -1)，有T _ X -丫- (占 - J2)sj 1l n mt(n m -2)其中mn(m -1)s： (n -1)s：m n _2' (Xi - X)2 ' (% y)2m n _2i 1i A§ 5.5充分统计量充分性的概念定义设X1 ,