二元一次方程组知识点汇总及练习超详细

1、二元一次方程组知识点梳理及经典练习【知识点梳理】知识点1:二元一次方程组的定义1 .二元一次方程(1)定义：含有两个未知数,且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(2)三个条件：方程中的 元指的是未知数,即二元一次方程有且只有两个未知数.含有未知数的项的 次数都是1.二元一次方程的左右两边都必须是等式.(3)含有未知数的项的系数不等于零,且两未知数的次数均为1.即假设axm+byn=c是二元一次方程,那么 aw 0, bw0且m=1,n=12 .二元一次方程组(1)定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组.(2)三个条件：方程组中 有且只有 两个未知数.方程组中含有未

2、知数的项的 次数为1.方程组中每个方程均为整式方程.3 .二元一次方程组的解(1)定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解.(2)常考题型：根据定义判断方程组的解,求方程组待定系数.(将解代入方程)列方程组求相关字母的值.知识点2:解二元一次方程组1 .代入消元法(1)定义：通过代入消去一个未知数,将方程组转化为一个一元一次方程来解,这种解法叫做代入消元法.(2)用代入消元法解二元一次方程组的步骤：从方程组中选取一个系数比拟简单的方程,把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.把中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数解所得到的一元一次

3、方程,求得一个未知数的值把所求得的一个未知数的值代入中求得的方程,求出另一个未知数的值, 从而确定方程组的解.2x 7y 8例：解方程组：3x 8y 10 02 .加减消元法(1)定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法,简称加减法.(2)加减消元法解方程步骤：方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数,又不相等,就用适当的整数乘方程两边,使一个未知数的系数互为相反数或相等；把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知

4、数的值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数的值, 从而 得到方程组的解.例1:解方程组:2m 3n 1例2：方程组 5m 3n 4中,n的系数的特点是 ,所以我们只要将两式, ?就可以消去未知数,化成一个一元一次方程,到达消元的目的.3x 4y 1例3:用加减法解2x 3y 6时,将方程两边乘以 , ?把方程两边乘以,可以比较简便地消去未知数.*3.特殊方法(1)加减-代入混合使用方法例：13x+14y=4114x+13y=40(2)换元法例:(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4(3)另类换元例 3: x:y=1:45x+6y=29知识点3:二元一次方程组的实际应用1

5、 .列二元一次方程组解应用题的一般步骤：“找、设、歹h解、答(五步),即：找：通过审题,把实际问题抽象成数学问题,找出能够表示题意两个等量关系；设：分析数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数；列：根据这两个等量关系列出必需的代数式,从而列出方程组；解：解这个方程组,求出两个未知数的值；答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的根底上,写出答案 2 .列方程组解应用题中常用的根本等量关系(1)行程问题：追击问题：行程问题重要的一种,特点是同向而行.这类问题较直观,画线段图便于理解和分析.根本等量关系：路程 =速度x时间,速度=路程+时间,时间=路程+速度.直线追击：环形追击：相遇问题：行程问题重

6、要的一种,特点是相向而行.这类问题较直观,画线段图可帮助理解与分析.等量关系：行船问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度船在静水中的速度-水速=船的逆水速度顺水速度-逆水速度=2 X水速注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2工程问题：工作效率X工作时间=工作量3商品销售利润问题：利润=售价-本钱进价利润率=售价-进价+进价x 100%=利润+进价x 100%利润=本钱进价x利润率标价=本钱进价x 1+利润率实际售价=标价x打折率4储蓄问题：利息=本金X利率X期数X 1-利息税率本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数X 1-利息税率利息

7、税=利息X利息税=本金X禾IJ率X期数X禾IJ息税率税后利息=利息X 1-利息税率5配套问题：总量各局部之间的比例 =每一套各局部之间的比例6增长率问题： 原量X 1+增长率=增长后的量；原量x 1-减少率=减少后的量7和差倍份问题： 较大量=较小量+多余量；总量=倍数x倍量8数字问题：自然数、奇数、偶数等.如当 n为整数时,奇数可表示为 2n+1 或2n-1,偶数可表示为2n等.有关两位数的根本等量关系式为：两位数 =十位数x 10+个位数.9优化方案问题： 从几种方案中选择最正确方案.如买不同套餐的东西、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最正确方案.【重点考点例析】 考点1:二

8、元一次方程组的定义1 .a 2 xby1a| 1 = 5是关于x、y的二元一次方程,那么 a=, b =2 .以下方程为二元一次方程的有 , , 3.以下方程组中,是二元一次方程组的是考点2:二元一次方程组的解题型一：根据定义判断D.题型二：方程组的解,求方程组待定系数.(将解代入方程)x 23mx 2y 11.y 1是方程组4x ny 7 2的解,那么m2 n2的值为.3x 2y 42,假设满足方程组kx (2k 1)y 6的x、y的值相等,那么k=.题型三：列方程组求相关字母的值.x 1x 01y1 .假设y 2 ,3都是关于x、y的方程ax+ by=6的解,那么a+b的值为x 1 x 2

9、2 .关于x, y的二元一次方程ax+b=y的两个解是y 1 , y 1 ,那么这个二元一次方考点3:二元一次方程组的解法代入消元法；加减消元法1 .方程x 4y 15用含y的代数式表示,乂是A x 4y 15 B x 15 4y c x 4y 15 D x 4y 152 .把方程7x 2y 15写成用含x的代数式表示y的形式,得2x 15A, x= 7c 15x 2yB.x 715 7xD.y 22x 5y 213 .用代入法解方程组 x 3y 8较为简便的方法是A.先把变形B.先把变形C.可先把变形,也可先把变形D.把、同时变形4.用加减法解方程组3x 2y 62x 3y 1时,要使方程中

10、同一个未知数的系数相等或互为相反数,必须适当变形,以下四种变形正确的选项是9x 6y 6 4x 6y 29x 6y 18 4x 6y 29x 6y 18 4x 6y 26x 4y 12 6x 9y 3A. (1) (2)B. (2) (3)C. (3) (4)D. (4) (1)2x 3y 55 .对于方程组3x 4y 33而言,你能设法让两个方程中x的系数相等吗你的方法是;假设让两个方程中 y的系数互为相反数,你的方法2x 3y 56 .用加减消元法解方程组x 3y 7正确的方法是A.得2x 5B.得3x 12得3x 7 5D先将变为x 3y 7,再得x 2考点4:二元一次方程组的实际应用题

11、型一：列二元一次方程组解决一一行程问题1 .甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 .这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米题型二：列二元一次方程组解决一一工程问题2 .一家商店要进行装修,假设请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做 6天,再请乙组单独做 12天可完成,需付两组费用共 3480元, 问：1甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元2甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组

12、,商店所付费用最少题型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题3 .有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利46元.价风格整后,甲商品的利润率为 4%,乙商品的利润率为 5%,共可获利44元,那么两件商品的进价分别是多少元题型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题4 .小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为的教育储蓄,另一种是年利率为%的一年定期存款,一年后可取出元,问这两种储蓄各存了多少钱利息所得税=利息金额X20%,教育储蓄没有利息所得税题型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题5 .某服

13、装厂生产一批某种款式的秋装,每2米的某种布料可彳上衣的衣身3个或衣袖5只.现方案用132米这种布料生产这批秋装不考虑布料的损耗,应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题6 .某工厂去年的利润总产值一总支出为 200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了 10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元题型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题9千顶,现某地震灾区急需帐篷7 .“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂原方案每周生产帐篷共14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂一周

14、内制作的帐篷数分别到达了原来的倍、倍,恰好按时完成了这项任务. 求在赶制帐篷的一周内,“爱心帐篷厂和“温暖帐篷厂各生产帐篷多少千顶题型八：列二元一次方程组解决一一数字问题8 .一个两位数,减去它的各位数字之和的 3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少题型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题9 .现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ： 7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4： 1,今要得到酒精与水的比为 3 ： 2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少题型十：列二元一次方程组解决一一几何问题10 .用长48厘米的铁丝弯成一个矩形

15、,假设将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上去,那么得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少题型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题11 .今年父亲的年龄是儿子的 5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子的年龄各是多少题型十二：列二元一次方程组解决一一优化方案问题12 .某商场方案拨款9万元从厂家购进50台电视机,厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台 1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.(1)假设商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案；(2)假设商场销售一台甲、 乙、丙电视机分别可获利 150元、2

16、00元、250元,在以上的方案中, 为使获利最多,你选择哪种进货方案【稳固练习】1 .以下方程中是二元一次方程的是()2 1A. 3x-y2=0B. X + y =1c.x 3y 3x2.以下方程组：(1)y 2, (2)y其中属于二元一次方程组的个数为()x 53 - 2 y=6D. 4xy=3I1cx3y 2y1cx y 3x0Z 4 , (3)y,(4)x y 0A. 1B. 2C. 3D. 43m 13n 3m3 .假设 X 5 y7是关于 x、y二元一次方程,那么 m=, n=4 .当 x m 1, y m 1 满足方程2x y m 3 0,那么 m .5 .下面几个数组中,哪个是方

17、程 7x+2y=19的一个解.x 3x 3x 3x 3a、 y 1b、y 1c y 1d、y 12x y 36.假设方程组的解互为相反数,那么 k的值为.2kx k 1y 103x 4y 2 ax by 4 .7 .假设方程组b 与 3有相同的解,那么 a=, b=.ax -y 5. c22x y 5x 1ax by 08 .如果y 2是方程组bx cy 1的解,那么,以下各式中成立的是A、a+4c=2日 4a+c= 2C、a + 4c+2=0D、4a+c+2=09 .甲、乙两人相距 36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发

18、3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米10 .两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用 14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度.11 .小明家准备装修一套新住房,假设甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；假设甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需 9周完成,需工钱万元.假设只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由12 .某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利 6万元,其进价和售价如下表:AB进价元/件1200|1000售价元/件1380|1200求该商场购进A、B两种商品各多少件.13 .李明以两种形式分别

19、储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息元.两种储蓄年利率的和为,问这两种储蓄的年利率各是百分之几注：公民应缴利息所得税=禾1息金额X 20%14 .小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为.三年后同时取出共得利息元 不计利息 税,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元15 .现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以

20、正好制成一批完整的盒子16 .某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓 14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.17 .一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面 50个,或做桌腿300条.现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌能配多少张方桌18 .某城市现有人口 42万,估计一年后城镇人口增加 %,农村人口增加 %,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口.19 .“地球一小时是世界自然基金会在2007年提出的一项建议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城