电磁场与电磁波(第1章矢量2015)电磁场与电磁波教案姚毅老师版讲述

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 场的概念和表示法场的概念和表示法1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度1.5 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.2 三种常用的坐标系三种常用的坐标系1.1 1.1 场的概念和表示法场的概念和表示法 1 1、场的定义：场的定义： 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢物理量是标量，则定义

2、的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。量场。 2、 特征：区域性、物理系统、分布特征：区域性、物理系统、分布 3、 场的分类：场的分类： 标量场与矢量场标量场与矢量场 静态场与时变场静态场与时变场 标量场标量场 ：描述描述 物理系统中在该区域的物理量为一标量。物理系统中在该区域的物理量为一标量。 矢矢量场量场 ：描述描述 物理系统中在该区域的物理量为一矢量。物理系统中在该区域的物理量为一矢量。 静态场：描述静态场：描述 物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。物理系统中的物理量在该区域不随时间变化。 时变场：描述时变场：描述 物理系统中的物理量在该区域随时间变化。

3、物理系统中的物理量在该区域随时间变化。 4、 场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等，场的描述：场的描述方法有多种：列表法、函数法等， 场场 函函 数：数： 描述场在空间中分布的函数称为描述场在空间中分布的函数称为场函数场函数 5、场的值或场量：、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值物理量在场空间中一点的取值 ),(),(tzyxFtzyx矢量场：标量场：),(),F),(),(tzyxFzyxtzyxzyx时变矢量场：（静态矢量场：时变场：静态场： 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个标量分布，标量分布，如温度如温度,电位电位,高度等，可以用一个标量函高度等，可以用一个标量函

4、数来描述，数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。例：标量场例：标量场2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 例：矢量场例：矢量场 空间某一区域定义一个空间某一区域定义一个矢量分布，矢量分布，如速度场如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函电场、磁场等，可用一个矢量函数来描述数来描述, ,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。)2() 1(5),(22zyxxyzttzyxuyzaxyaxazyxAzyx),(32),(yztaxyta

5、xtatzyxAzyx1.2 三种常用正交坐标系三种常用正交坐标系zzyyxxAaAaAaA000 xyzFe xe ye zzayaxarzyx 直角坐标系直角坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是: : 右手螺旋法则右手螺旋法则 位置矢量位置矢量: :矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元： xyzdzadyadxaRdzyxdydzdSxdxdzdSydxdydSzdxdydzdzyxaaa111zyx圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分线元：微

6、分线元：度量系数：度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元：11zrr r020zzraaazaraRzrzzrrAaAaAaAdzardadraRdzrrdrddldldSdrdzdldldSdzrddldldSrzzrzrdzrdrddraaza00rr ),(000zrP点处沿方向的长度元分别是：点处沿方向的长度元分别是：度量系数分别是：度量系数分别是： radzdlrddldrdlzr11zrrazarrdrdrd球面坐标系球面坐标系坐标变变化范围是坐标变变化范围是:右手螺旋法则：右手螺旋法则：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分线元：微分线元：坐标线元：坐标线元：度量系数：

7、度量系数：面积元：面积元： 体积元：体积元：ra2000 raaarraRrAaAaAaArrdrardadraRdrsindrdlrddldrdlrsinsin1rhrhhrrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrsinsin2ddrdrdldldldrsin2araa0raaa作业：习题作业：习题1.31.3，习题，习题1.41.4，习题，习题1.91.9，习题，习题1.111.11，习题，习题1.12 1.12 drsind1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度,uxyzc一、等值面或等位面一、等值面或等位面：标量场中值相等的点构成的面：标量场中值相等的点构成的

8、面。二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律二、方向性导数和梯度：描述标量场中各点场量的变化规律00limlimuuuuuuuPMPMl uPNleMuu ne为标量场为标量场 在在P点沿点沿 方向的方向的方向方向性导数。性导数。其大小与方向其大小与方向 有关有关。, , ,u x y z 定义标量函数定义标量函数 在点在点P沿给定方向沿给定方向 的变化率的变化率。le( , , )u x y z等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间等值面互不相交，完全填充标量场的全部空间grad uuP0Plu udzzudyyudxxuPuPudu)()(0coscoscoszuyuxulu

9、其中，其中，cos, cos, coscos, cos, cos为为l l方向的方向余弦方向的方向余弦。 nalalala标量场的等值面 100200300400, ,u x y zc梯度梯度 方向导数为我们解决了函数方向导数为我们解决了函数u u( (P P) )在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场在给定点处沿某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点中的给定点P P出发，标量场出发，标量场u u在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，在不同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定义一个矢量可以设想，必定在某个方向上变化率为最大。为此，定

10、义一个矢量G G，其方向为，其方向为是函数是函数u u在点在点P P处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，处变化率为最大的方向，其大小就是这个最大变化率的值，标量场标量场 在在P点的梯度是一个矢量点的梯度是一个矢量, , ,u x y z大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向方向：最大方向性导数所在的方向由方向性导数的定义可知：沿等值面法线由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向性导数最大的方向性导数最大。zayaxazyx标量场的梯度可定义为：标量场的梯度可定义为：哈密顿算符哈密顿算符对标量函数的运算对标量函数的运算zuayuaxuauzyx

11、nanagradn而而 可写成可写成 与与 矢量矢量 的标量积的标量积梯度的计算公式：梯度的计算公式：dul dudzadyadxal dzyxzuayuaxuauzyxcosl dul dudzzudyyudxxudlludu为矢量为矢量 与矢量与矢量 的夹角，显然，当的夹角，显然，当 与与 同方向时，同方向时， l dul du0矢量为为最短，此时矢量为为最短，此时 与等直面垂直，与等直面垂直， 也与等直面垂直也与等直面垂直l dndldl uzuayuaxuauzyx在柱坐标系中：在柱坐标系中：zararazr1zuauraruauzr1在球坐标系中：在球坐标系中：sin11rarara

12、rurauraruaursin11例题：1、设点电荷位于球坐标原点，在它周围空间任一点的电位为式中和为常数。试求空间各点（ ）电位的梯度。2、 空间两点的距离矢量可表示为 ，其中 和 分布是 和 两点的位置矢量。试证明以 为变量（即 为动点）时 的梯度 和以 为变量（即Q为动点）时的 的梯度 之间有 rqr04),(0rrrRrr),(zyxP),(zyxQzyx,PR1)1(R,zyxR1)1(R)1()1(RR1.4 1.4 矢量场的通量矢量场的通量 散度散度一、通量一、通量 矢量场的通量 若若S 为闭合曲面为闭合曲面 定义矢量定义矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分为为

13、矢量矢量 A A 穿过有向曲面穿过有向曲面S 的通量的通量ssdSASdAcos空间面元空间面元面元上的通量面元上的通量sSdASdAddSnAdSnSd矢量场通量的物理意义即场源关系：矢量场通量的物理意义即场源关系：sSdA0sSdA0sSdA0正源正源无源无源负源负源nn二、散度二、散度 如果包围点如果包围点P 的闭合面的闭合面S 所围区域所围区域 以任意方式缩小为点以任意方式缩小为点P 时时, , 通量通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A A 在在P 点的散度。点的散度。 即即 物理意义：在空间中某点的散度，它表示从该点单位体积内流出的通

14、量。从物理意义：在空间中某点的散度，它表示从该点单位体积内流出的通量。从流体流速场的通量、散度的物理意义得到启示，流体流速场的通量、散度的物理意义得到启示， 也代表着矢量场也代表着矢量场 在该在该点单位体积内的一种源。如果点单位体积内的一种源。如果 ，表示该点存在，表示该点存在 的正源；如果的正源；如果 表示该点表示该点 存在的负源；如果存在的负源；如果 ，则表示该点，则表示该点 无源。无源。 2 2、散度的计算、散度的计算 直角坐标系中的散度计算公式直角坐标系中的散度计算公式 sSdALimAdiv0AdivA0AdivA0Adiv0AdivAA1 1、散度的定义、散度的定义zAyAxAAA

15、divzyx散度计算公式的推导散度计算公式的推导：3 3、散度的物理意义、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性。散度代表矢量场的通量源的分布特性。 在矢量场中，若在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量源密度；若矢量场中处处场中处处 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。在柱坐标系中的散度计算公式在柱坐标系中的散度计算公式zAArrArrAdivzr1)(1在球坐标系中的散度计算公式在球坐标系中的散度计算公式ArArArrrAdivrsin

16、1)(sinsin1)(122散度计算公式可以统一写成散度计算公式可以统一写成 AAdiv4 4、高斯定理、高斯定理( (散度定理散度定理) )n1=-n2n1n2111divdSAAS222divdSAAS)divdVAdSAS高斯定理高斯定理ddiv ddSvv ASAA 对于有限大体积对于有限大体积 ，可将其按如图可将其按如图方式进行分割，对每一小体积元有方式进行分割，对每一小体积元有式中式中S为为 的外表面的外表面 该公式表明了区域该公式表明了区域 中场中场A与边界与边界S上上的场的场A之间的关系。之间的关系。VsdASdA例题例题1 1、点电荷位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中

17、分布如下、点电荷位于球坐标原点，此电荷的电场强度在空间中分布如下 （1 1）、计算在）、计算在 的球面上，电场强度的球面上，电场强度 穿出的通量。穿出的通量。（2 2）、计算空间各点（）、计算空间各点（ ）电场强度）电场强度 的散度。的散度。2 2、球坐标系中，已知，试求该矢量穿过如图所示闭合面的通量，并对该区、球坐标系中，已知，试求该矢量穿过如图所示闭合面的通量，并对该区域验证散度定理。域验证散度定理。3 3、作业：、作业： 习题习题1.151.15，习题，习题1.161.16，习题，习题1.171.17、习题、习题1.191.19，习题，习题1.221.22，习题，习题1.231.23 2

18、041rqaEr0r0rr EE1.1.5 5 矢量场的环流矢量场的环流 旋度旋度1 1、矢量场的形态：发散场与漩涡场、矢量场的形态：发散场与漩涡场 旋涡场无散度，不能用散度加以描述旋涡场无散度，不能用散度加以描述2 2、环流、环流 将将 在闭合曲线在闭合曲线C C上的线积分定义为上的线积分定义为 在在C C的环流，记为的环流，记为 环流描述的几何意义：环流描述的几何意义： 描述漩涡场的旋转快慢程度；描述漩涡场的漩涡面取向，有三种情况：描述漩涡场的旋转快慢程度；描述漩涡场的漩涡面取向，有三种情况： （1 1）S S面与漩涡面垂直；（面与漩涡面垂直；（2 2） S S面与漩涡面相交；（面与漩涡面

19、相交；（3 3）漩涡面在）漩涡面在S S面内面内 重要结论重要结论：在发散场中，对于任选的空间闭合曲线：在发散场中，对于任选的空间闭合曲线C C上的环流恒为零。上的环流恒为零。3 3、旋度、旋度 定义旋度的目的：定义旋度的目的： （1 1）描述漩涡场的漩涡面的取向；（）描述漩涡场的漩涡面的取向；（2 2）描述漩涡场中各点旋转快慢程度）描述漩涡场中各点旋转快慢程度AAccdlAl dAcosSSn 环流的计算ACPASnS旋度的定义旋度的定义 在在漩涡面上漩涡面上包含点包含点P 作一小曲面作一小曲面S,它的边界曲线为它的边界曲线为C,面的法线方向面的法线方向 与曲线与曲线绕向成右手螺旋关系。当绕

20、向成右手螺旋关系。当S 收缩至收缩至P 点附近点附近时时, ,存在极限存在极限定义一个矢量，它的方向为定义一个矢量，它的方向为 ，其模为，其模为 ，并将其称为旋度，记为：，并将其称为旋度，记为：显然，旋度矢量的方向描述了漩涡面的取向，旋度矢量的模描述了漩涡场在该点旋显然，旋度矢量的方向描述了漩涡面的取向，旋度矢量的模描述了漩涡场在该点旋转的程度。转的程度。 旋度的计算旋度的计算 在直角坐标系下：在直角坐标系下：nSldAcS0limSldAcS0limSl dAnAcurlcS0limnyAxAaxAzAazAyAaAcurlxyzzxyyzx4 4、斯托克斯定理、斯托克斯定理d() dSl AASlc)() dS ASdclA斯托克斯定理斯托克斯定理11d() dc lAAS22d() dc lAASAAaAaAazayaxaAcurlzzyyxxzyx)()(为方便记忆写成：为方便记忆写成：zyxzyxAAAzyxaaaA在柱坐标系中：在柱坐标系中：zrzrArAAzraararA1在球坐标系中：在球坐标系中：ArrAArarararArrsinsinsin12scSdAl dA旋度计