2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)

1、绝密启用前6M 7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分 考试时间：120分钟祝考试顺利注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿 纸、答题卡上的非

2、答题区域均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （2019北昌 理）已知复数 z=2+i ,贝U z -z =（）A.6B.而C【解析】因为z =2 +i ,所以z =2 i ,所以z ,Z =（2 +i） 【答案】D2. （2019北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的 （开.始）/ R/1 /72?3j-2k=k+1I是/输出5 /（结束）A. 1B. 2C；.3D. 5.(2 -i) =5 .故选 D.s值为()；.3D. 4【解析】k=1,s=1;第一次循环：s=2,判断

3、k<3,k=2;第二次循环：s = 2,判断k<3,k=3;第三次循环：s=2,判断k=3.故输出2,故选B.3. （2019北京卷理）已知直线，/， x =1 3t, l的参数方程为jy为参数），则点（1,0）到直线l的距离是AB. 2C.-5“I【解析】由题意可知直线 l的普通方程为4x_3y+2=0,由点到直线的距离公式可得点（1,0）到直线l的距离d J4二3_°2|42 (-3)26 .=.故选D.54. （2019北京卷理）已知椭圆x2y2 1r=1（a Ab >0）的离心率为一，则（）b222_ 2A. a2 =2b2B. 3a2=4b2C.a =2b

4、D. 3a =4b【解析】因为椭圆的离心率为 e =£a1 一一 .22222 一一. 22 .一,所以a =4c .又a =b +c ,所以3a =4b .故选B. 25. （2019北京卷理）若 x, y满足|x|E1y ,且y之一1,贝U 3x + y的最大值为（）A. 7B.1C.5D. 7【解析】由| x|M1-y ,且y 之1,x -y 1_0,4x+y -1 M0,作出可行域如图阴影部分所示 y - -1.设 z =3x +y ,则y =-3x +z ,作直线l0 : y = -3x ,并进行平移.显然当k经过点A（2, -1）时，z取得最大第3页（共12页）值,Zma

5、x =3父2 -1 =5 .故选 C.6. （2019北京卷理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度5 E满足m2 -mi =-lg ,其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是 -.26.7,天狼星的6 E2星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B.10.1C. lg10.1D.10,°.15Ei.【解析】由题意知， =6.7, m2 = ".45 ,代入所给公式得 -1.45 -（26.7）lg-1 ,所以2 E2lg巨=10.1 ,所以 且=1010.1 .故选A.E2E2【答案】Au

6、uuujiruur unr uuur7. （2019北京卷理）设点 A, B, C不共线，则AB与AC的夹角为锐角"是AB + AC > BC ”的 （）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件uur uuir uur【解析】因为设点 A, B, C不共线，由向量加法的三角形法则，可知 BC=ACAB,所以 uur uur uuruur uur uur uur| AB +AC目BC |等价于| AB +AC |>| AC -AB | ,因模为正，故不等号两边平方得uur2 uur2 uu uuuuirz uur2uur uuuuru

7、ur+AB +AC +2| AB| | AC| cosB >AC +AB -2| AC| | AB| cos0 （日为 AB 与 AC 的夹角），整理得uuruuruuruuir4| AB| | AC| cos日>0 ,故cosH >0 ,即日为锐角.又以上推理过程可逆，所以AB与AC的夹角为锐uuu uur uur角"是AB +AC aBC ”的充分必要条件.故选C.【答案】CC : x2 + y2 =什| x | y就是其中之8. （2019北京卷理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均

8、为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过22 ；曲线C所围成的 心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A.BeC.D.【解析】由x10.(2019北京卷理)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3,& =10,则a5=,Sn的最小值为.【解析】因为a2 =a1+d=-3 ,S5=5a1 +10d =-10,所以a1=T,d=1,所以a5=研 +4d =0 ,所以通项公式an=a+(n1)d=n -5 .令 <0 ,得n<5 ,即数列an的前4项为负，a5=。，第6项及以后的项为正.所以Sn的最小值为S4 =S5 =-10.+y2 =1+|x|

9、y ,当x =0时，y=±1;当y=0时，x = ±1;当y=1时，x = 0, ±1.故曲线C 恰好经过 6 个整点：A(0,1) , B(0,-1), C(1,0), D(1,1), E(1,0), F(1,1),所以正确.由基本不22 _等式，当 y >0 时，x2 +y2 =什| x | y =1 + | xy |W1 +-,所以 x2 十y2 £2 ,所以 «x2 + y2 <42 ,故第8题图如图，由知矩形 CDFE的面积为2, 4BCE的面积为1,所以曲线 C所围成的“心形”区域的面积大 于3,故错误.故选C.【答案】

10、C第n卷二、填空题：本题共 6小题，每小题5分。9. (2019北京卷理)函数 f (x) =sin22x的最小正周期是 .【解析】由降帚公式得f (x) =sin2 2x =cos4x+，所以最小正周期 T=.22242【答案】0, 1011. (2019北京卷理)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格 纸上小正方形的边长为1 ,那么该几何体的体积为 .【解析】由题意知，去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积 S=(2+4)父2 + 2=6,高等于正方体的 棱长4,所以去掉的四柱的体积为6 M4 =24.又正方体的体积为43 = 64,所以该几何体的体积为64 -

11、24 =40.【答案】4012. (2019北京卷理)已知l , m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断： l _Lm ; m Pot ； l _La .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【解析】已知l , m是平面a外的两条不同直线，由 l_Lm与mPa ,不能推出l _Lot，因为l与 a可以平行，也可以相交但不垂直；由 l _Lm与l _La能推出mPt ;由mPa与l _La能推出 l _Lm.故正确的命题是 二或二.【答案】若l _Lm, l _Lo(,则mPa (答案不唯一)13. (2019北京卷理)设函数 f(x)=ex+ae

12、1; ( a为常数).若f(x)为奇函数，则a=;若 f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 .【解析】因为f(x)=ex+ae. ( a为常数)的定义域为 R,所以f (0) =e°+ae° =1+a =0 ,所以a = 1.而f (x) =ex ae« =ex ax-,由于f (x)是R上的增函数，所以f '(x)圭0在R上恒成立. e第6页(共12页)又e2x>0,所以a <0 ,即a的取值范围是（g,0【答案】，（-«,014. （2019北京卷理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，

13、价格依次为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促 销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% .当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为. 【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80 = 140 （元），超过了 120元可以优惠，所以当x=10时，顾客需要支付140-10=130 （元）.由题知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金 额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例

14、越大.而顾客想要得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为（120x）元，所以列出不等式 （120 x）M80% A120M0.7 ,解得x<15JP x的最大值为15. 【答案】130, 15三、解答题：本题共 80分。115. (2019 北东卷理)在 4ABC 中，a=3, bc=2, cosB=.2(1)求b , c的值；(2)求 sin(B C)的值.1解析】(1)由余弦te理 b2 =a2+c22accosB ,得 b2 =32+c2 -2 M3M6 2因为b =c +2 ,所以(c +2)2 =32 +c2 -2X3XcX；-12解得c =5 .所以b =7 .

15、1 一3(2)由 cosB = 一得 sinB =.2 2由正弦定理得sinC =csinB =53.b 14在 ABC中，/B是钝角，所以ZC为锐角.所以cos，。瑞4 3所以 sin(B -C) =sinBcosC -cosBsinC =16. ( 2019 北京卷理)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA_L 平面 ABCD, AD_LCD, AD PBC ,PF 1PA=AD=CD=2, BC=3. E为PD的中点，点F在PC上，且 =.PC 3(1)求证：CD _L平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值；(3)设点G在PB上，且PG=2.判断直线 AG是否在平面 AEF内，说明

16、理由.PB 3【解析】(1)因为PA_L平面ABCD,所以PA1CD .又因为AD 1CD ,所以CD _L平面PAD .(2)过A作AD的垂线交BC于点M .因为PA，平面ABCD,所以 PA_LAM , PA_LAD.如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0) , B(2,1,0), C(2,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2).因为E为PD的中点，所以 E(0,1,1).uuiruuiruur所以 AE =(0,1,1) , PC =(2,2,二),AP =(0,0,2).uuur i uur 2 22 uuir uur uur 2 2 4所以PF =_PC

17、=_,一I, AF=ap+pf= _,_,_I.33 333 3 3(uurjy+z = 0,设平面AEF的法向量为n =(x, y, z),则UUur °,即224n AF=0,3x 3y 3z=0.令 z =1 ,则 y = 1 , x =.于是 n = (1, 1,1).又因为平面 PAD的法向量为 p =(1,0,0),所以 cos<n, p hI n II P I 3第14页(共12页)由题知，二面角F-AE-P为锐角, 所以其余弦值为3(3)直线 AG在平面 AEF内.因为点G在PB上，且PG =2PB 3uuuPB=(2,-1,-2),uuir 2 uuu 4 所

18、以 PG =£PB =-33uuur uuu uuirAG =AP PGJ4 _2 2 )3, 3, 3由(n)知，平面 AEF的法向量n =(1,",1) .uuir4 2 2所以 AG n = + + =0 .3 3 3所以直线AG在平面AEF内.17. (2019北京卷理)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生 的支付金额分布情况如下：(0,1000(

19、1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A , B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 1000元的人数，求 X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3人,发现他们本月的支付金额都大于 2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A的学生中本月支付金 额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】(1)由题意知，样本中仅使用 A的学生有18+9+3=30人

20、，仅使用B的学生有10十14+1=25人，A, B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A , B两种支付方式都使用的学生有10030255 = 40人.所以从全校学生中随机抽取 1人，该学生上个月 A, B两种支付方式都使用的概率估计为£0=0.4.100(2) X的所有可能值为0, 1 , 2 .记事件C为 从样本仅使用 A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为 从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件 C, D相互独立，且P(C) =9堂=0.4 , P(D) =14±1 =0.6

21、.3025所以 P(X =2) =P(CD) =P(C)P(D) =0.24 ,p(x =1)=p(cDuCd)=p(c)p(D)p(C)p(d)=0.4(1-0.6)(1-0.4)0.6 =0.52,所以X的分布列为X012P0.240.520.24故 X 的数学期望 E(X) =0X0.24 +1 X0.52 +2x0.24=1 .(3)记事件E为 从样本仅使用A的学生中随机抽查 3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用 A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得1. 1P(E)=. c30406030答案示例1:可以认为有变化.理由如下

22、：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变 化.y =kx -1.2由 4 0 得 x2 +4kx_4=0 . x2 =sy设 M(Xi,y) , N(X2,y2),则 X1X2 =K .直线OM的方程为y ="x.x1令y = -1 ,得点A的横坐标Xax；y1同理得点B的横坐标xB =x2y2uur设点 D(0,n),则 DA = -, 1uur uuir

23、DA DB注(n 1)2yy2x1x2M4uurDBx2.，一1 -n2、+(n+1)21622(n，1) = K (n 1). x*2uur uuir令 DA DB =0,即-4 +(n+1)2 =0,贝U n=1n = -3.综上，以AB为直径的圆经过 y轴上的定点(0,1)和(0,与).12919. (2019北东卷理)已知函数 f (x) =x-x? +x .4(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当 xW-2,4时，求证：x-6 <f(x) <x;(3)设F(x) qf (x)(x+a)|(aw R)，记F(x)在区间-2,4上的最大值为 M (a).当M

24、(a)最小时，求 a的值.-2x +1 .【解析】(1)由 f (x) =x3 一x2 +x得 f (x) =x2 44令 f (x) =1 ,即 3x2 4，、8-2x +1 =1 ,得 x =0 或 x = 3又 f(0) =0 ,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y =乂与y 一一 =x 一,27即 y=x 与 y =x _%27(2)令 g(x) =f (x) -x , x W-2,4.1 323 2-由 g(x) =- x x 得 g (x) =- x -2x .44令 g '(x) = 0 得 x=0 或 x =3g (x) , g(x)的情况如表:x-2(0)0o

25、,8< 3J8381- ,4 113 J4.g (x)+g(x)-6Z064-27Z0g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6 <g(x) <0 ,即 x _6 < f (x) <x .(3)由(n)知，当 a<4时，M(a)之F(0) =|g(0) a|=-a>3;当 a> 4时，M (a) >F(2) Tg(-2) a|=6+a>3;当 a = 4 时，M(a) =3 .综上，当M (a)最小时，a=邙 .20. (2019北京卷理)已知数列 an从中选取第项、第i2项、L、第im项(ii <i2 HL <%),若

26、ah <叱<L <aim,则称新数列 为，鼻2, L ,再为an的长度为m的递增子列.规定：数列 4的任 意一项都是an的长度为1的递增子列.(1)写出数列1, 8, 3, 7 , 5, 6 , 9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列禺的长度为p的递增子列的末项的最小值为am,长度为q的递增子列的末项的最小值为 an0 .若 p <q，求证：am0 <anc ；(3)设无穷数列4的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 an的长度为S的递增子列末项的 最小值为2s-1 ,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有 2s，个(s=1,2L ),求数列an的通项公 式.【解析】(1) 1, 3, 5,6.(答案不唯一)设长度为q末项为an,的一个递增子列为an ,斗2 , L , aqan0 .由 p <q ,得 arpcan).因为an的长度为p的递增子列末项的最小值为 I。，又a1 , a2 , L , ap是an的长度为p的递增子列，所以 am0 <arp .所以 am0 ：: a