测量误差和数据处理

1、第二章第二章 测量误差和数据处理测量误差和数据处理第一节第一节 测量误差的来源测量误差的来源第二节第二节 随机误差分析随机误差分析第三节第三节 系统误差分析系统误差分析第四节第四节 误差的合成、间接测量的误差误差的合成、间接测量的误差 传递与分配传递与分配第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理难点重点难点重点v 正态分布的标准差、近似标准差（贝塞正态分布的标准差、近似标准差（贝塞尔公式）尔公式）v 直接测量的数学表达式直接测量的数学表达式v 误差的合成误差的合成v 间接测量误差的传递间接测量误差的传递第一节第一节 测量误差的来源测量误差的来源v 1仪器误差仪器误差v 2人员误差人员误差v

2、3环境误差环境误差v 4方法误差方法误差第二节第二节 随机误差分析随机误差分析 就单次测量而言，随机误差没有规律，就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为布规律，随机误差的特点为对称性、有对称性、有界性、单峰性、抵偿性。界性、单峰性、抵偿性。f()问题问题 测量总是存在误差，而且误差究竟测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？值如何得到真实值呢？ 例如，测量室温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0

3、,19.0,22.3,19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,19.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？ 一测量值的数学期望和标准差一测量值的数学期望和标准差1数学期望数学期望 对被测量对被测量x进行等精度进行等精度n次测量，得到次测量，得到n个个测量值测量值x1，x2，x3，xn。则。则n个测个测得值的算术平均值为：得值的算术平均值为：niinxx11 当测量次数当测量次数 时，样本平均值的极时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。限定义为测得值的数学期望。niinnxxE11limv当测量次数当测量次数 时，测量值的时，测量值的数学期望等于被测量的真值。

4、数学期望等于被测量的真值。nn?数学期望数学期望根据随机误差的抵偿特性，当根据随机误差的抵偿特性，当 时时 即即1=0niixniinniiExAnAx111n所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测量值的数学期望等于被时，测量值的数学期望等于被测量的真值。测量的真值。n111nniixniixnAAxEAxiinAxniinii11分析：分析：数学期望数学期望2剩余误差剩余误差（残差）（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。 数学表达式：数学表达式：xxvii011111niinniiniiniixnxxnxv对上式两边求和得：对上式

5、两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为所以可得剩余误差得代数和为0。011111niinniiniiniixnxxnxv011111niinniiniiniixnxxnxvniinnnixinnEx1211212limlim)(4标准差标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方。（标准误差，均方根误差）对方差开平方。 niinn121lim反映了测量的精密度，反映了测量的精密度，小表示精密度高，测得小表示精密度高，测得值集中，值集中，大，表示精密度底，测得值分散。大，表示精密度底，测得值分散。3. 方差方差f()二随机误差的正态分布分析二随机误差的正态分布分析1正态分布正态分布o 高斯于高斯于

6、1809年推导出描述随机误差统计特年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。性的解析方程式，称高斯分布规律。22221)(ef随机误差随机误差标准误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。o 例如：例如：)()(bapdfba1)()(pdf%3 .68)()(pdff()()(bapdfba)()(bapdfba%3 .68)()(pdf%3 .68)()(pdfo 从正态分布曲线可看出：从正态分布曲线可看出：o 绝对值越小，绝对值越小， 愈大，说明绝对值愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。小的误差出现的概率大。o

7、大小相等符号相反的误差出现的概率大小相等符号相反的误差出现的概率相等。相等。f()(fo 愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈愈大，正态分布曲线愈平缓。说明大，正态分布曲线愈平缓。说明反映反映了测量的精密度。了测量的精密度。 =1 =22 2极限误差极限误差 从上式可见，随机误差绝对值大于从上式可见，随机误差绝对值大于3的概的概率很小，只有率很小，只有0.3%0.3%，出现的可能性很小。因，出现的可能性很小。因此定义：此定义： %7 .99)33()(33pdf33随机误差的特点随机误差的特点o单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对

8、值越大，出现密度越小误差绝对值越大，出现密度越小o对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差出绝对值相同，符号相反的误差出现的概率相等现的概率相等o抵偿性抵偿性 误差总和为零误差总和为零o有界性有界性 误差落误差落-3 , 3 的概率为的概率为0.9973 3 也称为极限误差或者误差限也称为极限误差或者误差限3贝塞尔公式贝塞尔公式v采用残差代替随机误差采用残差代替随机误差（2）有限次测量标准误差的最佳估计值有限次测量标准误差的最佳估计值 （有限次测量的测量序列的标准差）有限次测量的测量序列的标准差）niinn121lim（1）测量序列的）测量序列的标准差标准差（标准误差，均（标准误差，均方根误差

9、）：方根误差）：niivn1211贝塞尔公式贝塞尔公式（3）算术平均值的标准差算术平均值的标准差（4）平均值标准差的最佳估计值平均值标准差的最佳估计值 （有限次测量的算术平均值标准差）（有限次测量的算术平均值标准差）211(1)nixivnnn 11lim(), mxjxmjxmn 三有限次测量下测量结果表达式三有限次测量下测量结果表达式步骤步骤：1）列出测量数据表；）列出测量数据表；2）计算算术平均值）计算算术平均值 、 、 ；xiv2iv3）计算）计算 和和 ； x 置信概率置信概率0.9973 xx3 xxxx2置信概率置信概率0.9545置信概率置信概率0.68274）给出最终测量结果

10、表达式：）给出最终测量结果表达式：o 例如，测量室温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.519.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？o 解：解：xxxxxxii5/) 15/()(5/ )5 .19.3 .192 .19(512参照例题参照例题2-4-1（p34）第三节第三节 系统误差分析系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差累进系统误差恒定系统误差恒定系统误差周期性系统误差周期性系统误差一、分类一、分类：o 恒定恒定系统误差系统误差 o

11、变化变化系统误差系统误差二、系统误差的判断二、系统误差的判断1理论分析理论分析，可通过对测量方法的定性分析发现测，可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。量方法或测量原理引入的系统误差。2校准和比对校准和比对：测量仪器定期进行校准或检定并在：测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值。检定书中给出修正值。3改变测量条件改变测量条件：根据在不同的测量条件下测得的：根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。数据进行比较，可能发现系统误差。4剩余误差观察剩余误差观察：根据测量数据列剩余误差的大小：根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统

12、误差及误差类型，及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。这种方法不能发现定值系统误差。三消除系统误差产生的根源三消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个方面。要减少系统误差要注意以下几个方面。v 1采用的测量方法及原理正确。采用的测量方法及原理正确。v 2选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。求。v 3测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。要时要采

13、取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。v 4条件许可，尽量采用数显仪器。条件许可，尽量采用数显仪器。v 5提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。第四节第四节 误差的合成、间接测量的误差传递与分误差的合成、间接测量的误差传递与分配配一一误差合成误差合成 由多个不同类型的单项误差求测量中的总由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。误差是误差合成问题。1、随机误差合成随机误差合成 若测量结果中有若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准个随机误差互不相关，各个随机误差的标准差分别为差分别为1 1、2 2、3 3

14、、k k则随机误差则随机误差合成的总标准差合成的总标准差为：为：kii12方和根合成法方和根合成法若以极限误差表示，则合成的极限误差为：若以极限误差表示，则合成的极限误差为：kiill12 当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。 iil31、随机误差合成随机误差合成2、系统误差的合成、系统误差的合成（1）已定系统误差的合成已定系统误差的合成 已定系统误差，是指测量误差的大小、方向已定系统误差，是指测量误差的大小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定系统和变化规律是可以掌握的。只要是已定系统误差，都应当用误差，都应当用代数和法代数和法计算其合成误差

15、。计算其合成误差。表达式：表达式：miim121由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直接在测量结果中修正，在一般情况下最后测量结接在测量结果中修正，在一般情况下最后测量结果不应含有已定系统误差的内容。果不应含有已定系统误差的内容。 （2 2）未定系统误差的合成）未定系统误差的合成 未定系统误差，指测量误差既具有可知的一面，又未定系统误差，指测量误差既具有可知的一面，又具有不可预测的一面。在通常情况下，未定系统误具有不可预测的一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。绝对和法

16、绝对和法：当当m m大于大于1010时，合成误差估计值往往偏大。一般应时，合成误差估计值往往偏大。一般应用于用于m m小于小于1010。miim121)(表达式：表达式：(2)(2)方和根法方和根法一般应用于一般应用于m m大于大于1010。miikm122221表达式：表达式：例：例：0.5级，量程级，量程0600kPa，分度值，分度值2kPa，h=0.05m，读数，读数300kPa，指针来回摆，指针来回摆动动1个格，环境温度个格，环境温度30C（标准环（标准环境温度境温度20C），每偏离），每偏离1C的附加误的附加误差为基本误差的差为基本误差的4%。（水压测量）（水压测量） 1 1）仪表精

17、度等级引起的误差：）仪表精度等级引起的误差：kpa3)600%5 . 0()(1mjLp2 2）读数误差（即分度误差）读数误差（即分度误差) 2kpa) 2kpa2pkpa2 . 6) 2 . 123 (pkpa2 . 1%43103p3)3)环境温度引起误差：环境温度引起误差：kpa5 . 010100005. 04ghp4)4)安装位置引起的误差：安装位置引起的误差：前三项属于未定系统误差，最后一项属于前三项属于未定系统误差，最后一项属于已定系统误差。已定系统误差。前三项按绝对值合成法：前三项按绝对值合成法：300.56.2kPaP 3 3随机误差与系统误差的合成随机误差与系统误差的合成

18、其中其中为已定系统误差，为已定系统误差，e为未定系统误差为未定系统误差（绝对值），（绝对值），l为随机误差的极限误差为随机误差的极限误差( (绝对绝对值值) )。|le 例：例：0.5级，量程级，量程0600kPa，分度值，分度值2kPa，h=0.05m，读数，读数300kPa（6次的均值，次的均值，标准差标准差0.5Kpa），指针来回摆动），指针来回摆动1个格，环境温度个格，环境温度30C（标准环境温（标准环境温度度20C），每偏离），每偏离1C的附加误差为的附加误差为基本误差的基本误差的4%。二间接测量的误差传递二间接测量的误差传递(函数误差函数误差)函数误差一般有以下三个内容：函数误差一

19、般有以下三个内容：已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。接测量的误差。已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。的误差。确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。 ),(21nxxxfy1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式o 假设间接测量的数学表达式为：假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开将上式按泰勒级数展开),(21nxxxfy直接测量值直接测量值间接测量值间接测量值nnnxxfxxfxxfxxxfyy221121),(2222

20、222221212212121nnxxfxxfxxf略去高阶项略去高阶项绝对误差：绝对误差：niiinnxxfxxfxxfxxfy12211niiinnyxxfyxxfyxxfyxxfyy12211相对误差：相对误差：1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式2系统误差的函数传递系统误差的函数传递o 当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统误差代入误差代入上式上式计算即可。当系统误差为未定系统误计算即可。当系统误差为未定系统误差，当各分项数小于差，当各分项数小于10可采用绝对和法，当各分可采用绝对和法，当各分项数大于项数大于10可采用方和根法

21、。可采用方和根法。绝对和法：绝对和法：niiixxfy1方和根法方和根法：niiixxfy122部分部分误差误差（1）和差函数的误差传递和差函数的误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差21xxy21xxy21xxy2212211221221211121211xxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy2212211221221211121211xxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy若误差符号不确定若误差符号不确定：相对误差相对误差：1212ffyxxxx （2）积函数误差传递积函数误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差21xxy2112xxxxy21212112xxyxx

22、xxxxyy21xxy若误差符号不确定若误差符号不确定：相对误差：相对误差：1212ffyxxxx （3）商函数误差传递商函数误差传递设设 ，则绝对误差，则绝对误差21xxy 2221121xxxxxy21xxyyy相对误差：相对误差：21xxy若误差符号不确定：若误差符号不确定：1212ffyxxxx （4）幂函数的误差传递幂函数的误差传递 设设 ，则绝对误差，则绝对误差nmxkxy2121211211xxknxxxkmxynmm21xxynmyy相对误差相对误差：21xxynm若误差符号不确定：若误差符号不确定：例例6：已知：已知：R1=1k，R2=2 k， 求求 %51R%52R21RR

23、RR%521212211RRRRRRRRR解：解：%521212211RRRRRRRRR125%5%1 21 2 例例7 7：温度表量程为：温度表量程为100100，精度等级，精度等级1 1级，级，t t1 1=65=65，t t2 2=60=60，计算温差的相对误差。，计算温差的相对误差。解解1 1： 1%1100mt121122240%5mmttttt 解 ：%405221211ttttmmt%405221211ttttmmt111.5%65t 211.7%60t 12656039.9%65606560ttt 12656039.9%65606560ttt 已知已知 ， ， ， ，求，求 。

24、RtIQ2%2i%1R%5 . 0tQ%5 . 52tRiQ解：解：例例8：3随机误差的函数传递随机误差的函数传递),(21nxxxfy已知各个直接测量的极限误差已知各个直接测量的极限误差( (或标准误或标准误差差 ） ， ， ，则，则 1x2xnxnixixnxxyinxfxfxfxf1222222222121ninixixnxxyDxfxfxfxfin121222222222121部分误差部分误差iixifDx（和方根合成）（和方根合成）nixixnxxyyxfyxfyxfyxfyin1222222222121nixixnxxyyxfyxfyxfyxfyin1222222222121相对误

25、差相对误差三间接测量的误差分配三间接测量的误差分配解决误差分配问题。通常采取的方法为解决误差分配问题。通常采取的方法为等作用原则，等作用原则，调整原则调整原则。所谓等作用原则，即假设各直接测量的所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等部分误差相等D D1 1=D=D2 2= =D Dn nynD1按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。据实际情

26、况进行调整。221nyiDnD 221nyiDnD 例例9：散热器装置：散热器装置： ，设计工，设计工况况L=50L/h，进出口温差，进出口温差 。 )(21ttcLQ25t2222212221QtfQtfQLfQttLQ%102222212221 QtfQtfQLfQttLQ按照题意，误差应写成极限误差的形式。即按照题意，误差应写成极限误差的形式。即分析分析：直接测量为流量：直接测量为流量L，散热器进出口，散热器进出口温度温度t1、t2 (或温差或温差t1-t2) 。间接测量为热。间接测量为热量量Q。要求测量误差小于等于。要求测量误差小于等于10%。o 按照等作用原则，可得流量及温差的部分误

27、按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为差分别为7.1%。o 再根据实际情况选择调整。再根据实际情况选择调整。21122212221222112ttttLLttttttLL第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理一有效数字的处理一有效数字的处理1有效数字有效数字：从数字的左边第一个不为零的数字起，：从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止。到右面最后一个数字（包括零）止。2舍入原则舍入原则(4舍舍6入入5凑偶凑偶)：小于：小于5舍，大于舍，大于5入，入，等于等于5时采取偶数法则。时采取偶数法则。12.5写作写作12；13.5写作写作143有效数字的运算规则有效数

28、字的运算规则：运算时各个数据保留的位数：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。数多保留一位有效数字。 二测量结果的处理二测量结果的处理 处理步骤处理步骤：1）对测得值进行修正；将数据列成表格。）对测得值进行修正；将数据列成表格。3）列出残差：）列出残差： ，并验证，并验证xxvii01niivniinxx112）求算术平均值：）求算术平均

29、值：niivn12114）计算标准偏差：）计算标准偏差：5）按照）按照 原则判断测量数据是否含原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到有粗差，若有则予以剔除并转到2从新计从新计算，直到没有坏值为止。算，直到没有坏值为止。3ivnx6）根据残差的变化趋势判断是否含有系）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后重新统误差，若有应查明原因，消除后重新测量。测量。7）求算术平均值的标准偏差：）求算术平均值的标准偏差：xxx38）写出最终结果表达式。）写出最终结果表达式。二测量结果的处理二测量结果的处理例题例题 使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行使用某水银玻璃棒温度计

30、测量室温，共进行了了16次等精度测量，测量结果列于表中。该次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有温度计的检定书上指出该温度计具有0.05的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。例题解答（1）Nxixivivi2vi(vi)21205.35205.300.000.00000.090.00812204.99204.94-0.360.1296-0.270.07293205.68205.630.330.10890.420.17644205.29205.24-0.060.00360.030.00095206.70206.651.351.82

31、25坏值6205.02204.97-0.330.1089-0.240.05767205.41205.360.060.00360.150.02258205.21205.16-0.140.0196-0.050.00259205.76205.710.410.16810.500.250010204.75204.70-0.600.3600-0.510.260111204.91204.86-0.440.1936-0.350.122512205.40205.350.050.00250.140.019613205.26205.21-0.090.00810.000.000014205.24205.19-0.110.0121-0.020.000415205.26205.21-0.090.00810.000.000016205.37205.320