椭圆各类题型分类汇总

1、椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A 2,0 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.2 2.例2已知椭圆匕1的离心率e 求k的值.k 8 9222例3 已知方程J 1表示椭圆，求k的取值范围.k 5 3 k例4 已知x2siny2cos 1 (0)表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围.例5已知动圆P过定点A 3,0 ,且在定圆B:x 32 y2 64的内部与其相内切,求动圆圆心P的轨迹方程.2 .焦半径及焦三角的应用22例1已知椭圆?小1, F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN|>|MF1与|MF2的等比中项？若存 在

2、，则求出点M的坐标；若不存在，请说由.22例2已知椭圆方程j与1 a b 0 ,长 a b为 A1,A2 ,焦点为F1 ,F2,P 是椭圆上一点，A1PA2, F1PF2.求：F1PF2 的面积(用a、b、 表不).3 .第二定义应用2例1椭圆162 y121的右焦点为F ,过点A 1,73 ,点M在椭圆上，当|AM 2MF|为最小值时，求点M的坐标.2例2已知椭圆工4b2 y1上一点P到右焦点52的距离为b (b 1),求P到左准线的距离.2例3已知椭圆91内有一点A(1,1), Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点.求PAPFi的最大值、最小值及对应的点 P坐标;(2)求 P

3、A4.参数方程应用22pf2的最小值及对应的点 p的坐标.2例1求椭圆a y2例3椭圆与。1 (a b 0)与x轴正向交于点A,若这个椭圆上总存在点 P,a b使OP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.5.相交情况下-弦长公式的应用例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为 5,求直线的方程.5例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 R作倾 斜解为一的直线交椭圆于A, B两点，求弦AB的长. 6.相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x y 1 0交于

4、A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25 ,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值. 322例2 (1)写出椭圆土 上1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.94例2已知椭圆V y2 1,求过点P -,-且被P平分的弦所在的直线方程.22 2例3已知椭圆V y2 1, (1)求过点P 1,1且被P平分的弦所在直线的方程；22 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点P、Q,。为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kop koQ求线段PQ中点M的轨迹方程.22例4已知椭圆C

5、： 1,试确定m的取值范围，使得对于直线l: y 4x m, 43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.22例5已知P(4,2)是直线l被椭圆x- 二1所截得的线段的中点，求直线l的方程. 369椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A2Q为长轴端点时，a 2, b 1, 22椭圆的标准方程为： L 匕1; 41(2)当A2,0为短轴端点时，b 2, a 4, 22椭圆的标准方程为：匕1;416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是

6、不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.22例2已知椭圆二工k 891的离心率e 1,求k的值.2分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在X轴上时,1k 1 .由 e ，得 k 4 .2当椭圆的焦点在y轴上时，a2b2 k 8,得 c21 1 k 15由e ，得一，即k -.2 944满足条件的k 4或k -.4说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为 k8与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在 x轴上，也可能在y轴上.故必须进行讨论.22例. .k说明：本题易出现如下错解：由 k 3已知方程六 九1表示椭圆，求k的取值范围k50,4.解：由3k0,得3 k 5,且kk53k,.满

7、足条件的k的取值范围是k 5,且k 4.0，得3 0,k 5,故k的取值范围是3 k 5.出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b时，并不表示椭圆.例6 已知x2siny2cos 1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出的取值范围.22.解：方程可化为-1.因为焦点在y轴上，所以 ' , 0.11cossinsincos3因此sin0且tan1从而(-,3 ).说明：(1)由椭圆的标准方程知- 0,- 0,这是容易忽视的地方.sincos(2)由焦点在y轴上，知a2b2(3)求 的取

8、值范围时，应注意cossin题目中白条件0例5已知动圆P过定点A 3,0 ,且在定圆B:x 32 y2 64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M .动点P到两定即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,即|PA PB |PM PB |BM 8.，点P的轨迹是以 A, B为两焦点,22半长轴为4,半短轴长为b”的椭圆的方程：2号1.说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程, 求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22例1已知

9、椭圆 y 1 , 、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到43不存在，请说明理由.左准线l的距离MN是MF/与MF2的等比中项？若存在，则求出点 M的坐标；若解：假设M存在，设M x1, y1 ,由已知a 2, b 33 , . , . c 1 , e .2左准线l的方程是x 4,MN又由焦半径公式知:MFiMNa eK 21K2MF1| |MF2整理得 5xi2 32xi 48解之得Xi4或XiMF2Xi0.I25exi-Xi2-Xi22另一方面 2则与矛盾,所以满足条件的点小存在.例2已知椭圆方程2y2 i a b 0 ,长轴端点为A , A2,焦点为Fi bF2, P是椭圆上一点

10、,APA2,F1PF2.求：FiPF2的面积（用分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用1、一一S absinC求面积.2解：如图，设Px, y ,由椭圆的对称性,不妨设P x,由椭圆的对称性，不妨弦 定理 知正|2 PFi|2PF2I2 2PFi .PF2 cos由椭圆定义知:PFil |PF2则2得I PFj IPF2I2b2i cosF1PF2sin-|PFi| IPF2 sii2b2sin2 i cosb2 tan .23.第二定义应用点M在椭圆上，当AM 2MF为最小值时，求点M的坐标.分析：本题的关键是求出离心率e p 把2MF|转化为M到右准线的距离，从 而得最小值

11、.一般地，求 AM| -MF|均可用此解：由已知：a 4, c 2 .所以e -,右准 2l: x 8 .过A作AQ l ,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MQ 2MF|.显然AM 2MF|的最小值为AQ| ,即M为所求点，因此yM V3 ,且M在椭圆上.故Xm 2J3.所以M 2®V3 .说明：本题关键在于未知式|AM| 2MF|中的“2”的处理.事实上，如图，e 1 , 即MF|是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点 M ,使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值.22例2已知椭圆 J 与1上一点P到右焦点F2的距离为b(b 1),求P到左准线的 4b2 b

12、2距离.分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一：由 J 4 1,得 a 2b, c V3b, e .4b2 b22由椭圆定义，PFi PF2 2a 4b,得PFi 4b PF2 4bb 3b.由椭圆第二定义，叫die, di为P到左准线的距离,即P到左准线的距离为273b .解法二.誓e，d2为P到右准线的距离，e ；争. 四包3b.又椭圆两准线的距离为28.e 3c 3，P到左准线的距离为 8mb 2mb 273b.33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误 解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用

13、自 如.一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到 定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义.22例3已知椭圆x-么1内有一点A(1,1), Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P 95是椭圆上一点.(1) 求PA |PFi的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2) 求PA 3PF2的最小值及对应的点P的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是 目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函 数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就 能简捷求解.解：(1)如上图，2a 6, F2(2,0),

14、 |AF2 V2 ,设P是椭圆上任一点，由PF1 PF2 2a 6,PA PF2 AF2,PA|PFi|PFiPF2AF22aAF26 行，等号仅当 |PA| PF2I|AF2时成立，此时P、A、F2共线.由 PAPF2AF2, PAPFiPFiPF2AF2 2aAF26 五,等号仅当PA PF2 AF2时成立，止匕时 P、A、F2共线.0,得两交点45, xy2建立A、F2的直线万程x y 2 0 ,解万程组225x 9yP(9”衣,5"伪、P2(9”衣三竺四.7 147 147 147 14综上所述，P点与P重合时，PA PFi取最小值6 22 , P点与P2重合时,PA PF2

15、取最大值6 <2 .Q为垂足，由a 3,(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线,c 2 , e 2 .由椭圆第二定义知咫 e 2 ,PQ| -|PF2 ,3|PQ|32PA 3PF2 PA PQ，要使其和最小需有 A、P、Q共线，即求A到右准线距离.右 准线方程为x 9.2二.A到右准线距离为 工.此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆得 2满足条件的点P坐标(啖1).说明：求PA e|PF2|的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段.巧用焦点半径 PF2与点准距|PQ互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用2例1求椭圆y2 1上的点到直线x y

16、 6 0的距离的最小值.3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求 出距离的最小值.y sin解：椭圆的参数方程为 x cos，设椭圆上的点的坐标为 73cos ,sin ,则点 到直线的距离为73cossin 622sin 一3,2当sin31时'd最小值2"2.说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.22例2 (1)写出椭圆x- L 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.94分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.解：x 3co

17、sy 2sinR).(2)设椭圆内接矩形面积为 S,由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴,设(3cos ,2sin )为矩形在第一象限的顶点，(0-),2贝US 4 3cos 2sin 12sin2 12故椭圆内接矩形的最大面积为 12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线 有关的最值问题，用参数方程形式较简便.22例3椭圆xy冬1 (a b 0)与x轴正向交于点A,若这个椭圆上总存在点 P, a b使OP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.分析：丁。、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把 OP AP ,转 化为P点坐标的一个等量关系，

18、再利用坐标的范围建立关于 a、b、c的一个不等 式，转化为关于e的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.解：设椭圆的参数方程是 x 9cos (a b 0),y bsin则椭圆上的点 P(acos , bsin ), A(a,0),bsinbsin)acosa cos即（a222b )cosa2 cosb2 0 ,解得cos 1 或 cosb2ab2，cos一 cos1 （舍去），又b2a2.22, , 0 2- 2 , e , 34 0 e 1 , e 1.c222说明：若已知椭圆离心率范围（¥）求证在椭圆上总存在点P使OP AP .如何证明?5.相交情况下-弦长公式的应用（

19、1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点?例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m.r（2）若直线被椭圆截得的弦长为 2-0,求直线的方程. 5解：（1）把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y2 1得 4x2 x m 2 1,16m2 20 0,解得即 5x2 2mx m2 1 0 . 2m 2 4 5 m2（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X2Xi2m5，X1X2根据弦长公式得：qv J智2 4 . 警.解得m 0.方程为 y x.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般

20、应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程.例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为一的直线交椭圆于A, B两点，求弦AB的长. 3分析：可以利用弦长公式 AB 由一k2|x1 x2 Y(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB 由k2|x1x2J(1k2)(x1x2)24x1x2.因为 a 6, b 3,所以 c3几.因为焦点在x轴上，22所以椭圆方程为 上 L 1,左焦点F( 373,0),从而直线

21、方程为y V3x 9.369由直线方程与椭圆方程联立得：72 . 3以 x1 x2 ,x1x213AB 、1 k2|x1 x213x2 72j3x 36 8 0 . 设xi , x2为方程两根，所36 813(1 k2)(xi x2)2 4x1x24813(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解22由题意可知椭圆方程为二L 1, 369设AF1BF1 n ,则 AF2 12 m ,BF212 n.在AF1F2中 ，AF2221(12 m) m 36 3 2 m 6心 3 ；AF12 F1F2 2 2 AFj F1F2 cos一, 即3所以m 6 一 同理在 BF1F2中，用余弦定理得n 6厂,所以

22、AB4 心4 3348m n 13(法3)利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72V3x 36 8 0求出方程的两根x1*2,它们分别是A, B的横坐标.再根据焦半径AF1BF1 a ex2,从而求出 AB AF1 BF16.相交情况下一点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy 1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25 ,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意,2设椭圆方程为勺y2a2a2x0,一XMX21 a22- ayM1 xMkOMy MxM14'4,说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题

23、，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例1为所求.已知椭圆y2 1,求过点P3且未p平分的弦所在的直线方程.分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为利用条件求k .解法一：设所求直线的斜率为k,则直线方程为y 3一代入椭圆方程，并整理得1 2k2 x2 2k2 2kx 1k2 k 3 0.22由韦达定理得x1 x22k2 2k1 2k2''' P是弦中点，x1x21 .故得k -.2分析二：设弦两端坐标为x1, y1所以所求直线方程为2x 4y 3 0.x2, y2 ,列关于x1、x2、y1、y2的方程组, 从而求斜率：包士.xi x2解法

24、二：设过P 11的直线与椭圆交于Ax, y1、Bx2, y2 ,则由题意得 2 222得红这y2 y2 0 .2将、代入得2即直线的斜率为 1 .x1 x222所求直线方程为2x 4y 3 0.说明:(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3已知椭圆 三y2 1, (1)求过点P -,1且被P平分的弦所在直线的方程；22 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)

25、过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点P、Q,。为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kop koQ求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M xb yi ,N X2, y ,线段MN的中点RxXi X2 XiX22 yiy2 * y 0 由题意知XiX2 ,则上式两端同除以Xi X2 ,有XiX2 2 yiy2 "y-y20 ,Xi X2将代入得X 2y当2 0.Xi X2(i )将x1，y工代入，得正2 22Xi X2一故所求直线方程为:2x 4y 3 0.将代入椭圆方程X2 2y2

26、2得6y2 6y i 0,42x 4y 3 0为所求.(2)将江上 2代入得所求轨迹方程为： xi x2部分)i ，一_-36 4 6 - 0符合题意,4x 4y 0.（椭圆内(3)将 比，口 代入得所求轨迹方程为:xi x2x 2x2 2y2 2x 2y 0 .（椭圆内部分)22XiX2(4)由+得 ：222Xi X2 4x 2X1X2将代入得：再将y1 y2Xi x1 x2代入式得:2 yi2y22,，将平方并整理得y2 y2 4y2 2y1y2,4 y2 2yi y22 ,4x2 2X1X242x2 X1X2 4y2 2- X1X22 ,即22 y12此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设

27、弦端坐标的方法，还可用其它方法 解决.22例4已知椭圆C：J 匕1,试确定m的取值范围，使得对于直线l: y 4x m, 43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：（1）直线AB I;（2）弦AB的中点M在I上.利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.解：（法1）设椭圆上A（xy1）, B（X2 , y2）两点关于直线I对称，直线AB与I交于M(Xo,y0)点. I的斜率k| 4 , 设直线AB的方程为y得13x2 8nx 16n2 48 0。二. X11 12n-Xo n 4V。X2n.由方程组y2 x48n13于是Xo1

28、x42y3n，消去y1,X1X224n1313即点M的坐标为(4n ,12n) . 丁点M在直线y 4x m上，n 44n m.解得 13 1313n13m.4将式代入式得13x2 26mx 169m2 48 0A , B是椭圆上的两点，(26m)2 4 13(169m2 48) 0 .解得2.132.13m .1313(法2)同解法1得出n gm,，%13m) m,4134113113y0-x0一 m一( m)一 m3m,即 M 点坐标为(m, 3m).444422A, B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，9m- 1 .解得432.132.13m 1313（法3）设A（ ,yj , B（x2, y2）是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为（xo ,yo） .2222A , B在椭圆上，二"1, 汉左1.两式相减得43433(x1 x2)(x1 x2)4( y y2)(y1y2)0,即 3 2xo(x x2) 42yo(y1y) 0 .*-y2x°-(x1x2).X X24y0又，,直线 AB l , kAB kl 1，.二"0 41 ,即 y03x04y°又M点在直线l上，y0 4x0 m。由，得M点的坐标为（m, 3m）.以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A,