金 融 工 程_11

1、金 融 工 程单位：对外经济贸易大学金融学院办公地点：博学708电话子邮件：谢海滨维纳过程和伊藤引理u本章讨论对象本章讨论对象u随机过程随机过程(Stochastic Process)u描述股价的过程描述股价的过程u伊藤引理伊藤引理 (Itos Lemma)u衍生产品定价核心：伊藤引理衍生产品定价核心：伊藤引理u随机过程随机过程u如果某一变量的取值以某种不确定的方式随时间变化如果某一变量的取值以某种不确定的方式随时间变化u种类种类u离散时间、连续时间离散时间、连续时间u离散变量、连续变量离散变量、连续变量u马尔科夫过程马尔科夫过程(Markov process)uI

2、n probability theory and statistics, a Markov process or Markoff process, named after the Russian mathematician Andrey Markov, is a stochastic process satisfying a certain property, called the Markov property. A Markov process can be thought of as memoryless: loosely speaking, a process satisfies th

3、e Markov property if one can make predictions for the future of the process based solely on its present state just as well as one could knowing the processs full history. I.e., conditional on the present state of the system, its future and past are independent马尔可夫过程的定义马尔可夫过程的定义 马尔可夫过程是马尔可夫过程是无后效性的随机

4、过程的随机过程 马尔可夫性 定义 1 设设X(t), t T是一个随机过程，如是一个随机过程，如果果X(t), t T 在在 t0 时刻所处的状态为已知时刻所处的状态为已知时，它在时刻时，它在时刻 tt0 所处状态的条件分布与所处状态的条件分布与其在其在 t0 之前所处的状态无关之前所处的状态无关. 通俗地说，通俗地说，就是知道过程就是知道过程“现在现在”的条件下，其的条件下，其“将将来来”的条件分布不依赖于的条件分布不依赖于“过去过去”，则称，则称X(t), t T具有具有马尔可夫（Markov）性。 马尔可夫过程马尔可夫过程 定义 2 设设 X(t), t T的状态空间为的状态空间为S，如

5、果，如果 在条件在条件 X(ti)=xi, xiS, i=1,2,n-1下下, ,X(tn)的条件分布函数恰好等于在条件的条件分布函数恰好等于在条件 X(tn-1)=xn-1下的条件分布函数，即下的条件分布函数，即则称则称 X(t), t T为为马尔可夫过程。122,nntttT L11221111( ( )|( ),( ),()( ( )|(),nnnnnnnnnP X txX tx X txX txP X txX txxRL马尔可夫过程的定义马尔可夫过程的定义布朗运动与维纳过程布朗运动与维纳过程u Norbert Wiener u Norbert Wiener (November 26,

6、1894 March 18, 1964) was an American mathematician. He was Professor of Mathematics at MIT.u A famous child prodigy, Wiener later became an early researcher in stochastic and noise processes, contributing work relevant to electronic engineering, electronic communication, and control systemsu After g

7、raduating from Ayer High School in 1906 at 11 years of age, Wiener entered Tufts College. He was awarded a BA in mathematics in 1909 at the age of 14, whereupon he began graduate studies of zoology at Harvard. In 1910 he transferred to Cornell to study philosophy.布朗运动与维纳过程布朗运动与维纳过程u布朗运动布朗运动(Brownian

8、 Mtion)布朗运动与维纳过程布朗运动与维纳过程 瞬时增量为瞬时增量为 增量的均值等于增量的均值等于 0 增量的标准差等于增量的标准差等于n Wiener过程，过程，Brown 运动：运动：n 独立增量，在任意两个微小时间段内的独立增量，在任意两个微小时间段内的改变量是独立的改变量是独立的n 每个区间上的增量满足正态分布每个区间上的增量满足正态分布n Wiener过程是过程是Markov过程过程zt 为何定义而不是zt ？zt t Wiener过程过程(长时间段内长时间段内)的增量的增量 增量的均值等于增量的均值等于0 增量的标准差等于增量的标准差等于 10Niiz TztNTt T11 x

9、是广义布朗运动，如果漂移速度a是常数b是常数 x是广义Wiener过程增量 为正态分布，均值等于标准差为dxadtbdz 0 x Tx b TaT广义维纳过程例 例：假定一家公司现金头寸以百万计量，并服从广义维纳过程，现金头寸的飘移率为每月0.1，方差率为2.0，计算 现金头寸在1个月、6个月以及1年时的概率分布是多少？ 现金头寸在1个月、6个月和1年时有负的现金头寸的概率是多少？伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（Ito Process）： (6.5） 其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是

10、变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 dztxbdttxadx),(),(描述股价的过程TTeSSdtSdStSS0/ 描述描述股票价格的一个股票价格的一个关键特性关键特性： 投资者对股票的预期百分比回报与股价独立投资者对股票的预期百分比回报与股价独立 在无不确定性条件下的股票价格在无不确定性条件下的股票价格描述股价的过程 在有不确定性条件下在有不确定性条件下的股票价格：连续情的股票价格：连续情形形dzdtSdSSdzdtSdS 在在有有不确定性条件下不确定性条件下的的股票价格股票价格：离散离散情情形形),(2ttSStStSSttSS二叉树模型随时间步长趋于零时的极限二叉树模

11、型随时间步长趋于零时的极限伊藤引理伊藤引理Kiyoshi It (伊藤 清 It Kiyoshi?, September 7, 1915 10 November 2008) was a Japanese mathematician. His major contribution to mathematics is now called It calculus. Its basic concept is the It integral, and among the most important results is Its lemma. It calculus facilitates mathe

12、matical understanding of random events. His theory is widely applied in various fields, and is perhaps best known for its use in financial mathematics伊藤引理伊藤引理 若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程： 由于 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222伊藤引理伊藤引理 应用于远期合约dFSeFtTr求)( FdzFdtrdF)(答案：伊藤引理：例例例1)()(2)(2tdWtWdttWd求随机微分求随机微分)(2tWd例例 2 求随机微分求随机微分)(2ttWddtttW)(2)()(2tdWttW)(2ttWd伊藤引理：例u例例 3)()(tWeddtetdWeedtWtWtW)()()(*2/1)()(求随机微分求随机微分u例例 4 求随机微分求随机微分)(2tWeddteWedWeWedttttWtWtWtW)2(2)(222