2020-2021中考数学平行四边形综合题附答案

1、2020-2021中考数学平行四边形综合题附答案一、平行四边形1 .如图，矩形 ABCD中，AB=6, BC=4,过对角线 BD中点O的直线分别交 AB, CD边于点E, F.（1）求证：四边形 BEDF是平行四边形;【答案】（1）证明见解析；（2） M3.3【解析】分析：（1）根据平行四边形 ABCD的性质，判定 BOEDOF （ASA）,得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出 BD,得出OB,再由勾股定理求出 E0,即可得出EF的长.详解：（1）证明：二四边形ABCD是矩形，0是BD的中点，/ A=90 ；

2、 AD=BC=4, AB/ DC, OB=OD,/ OBE=Z ODF,在 BOE和 DOF中，OBE ODFOB ODBOE DOF. .BO叵 DOF (ASA),EO=FO,四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，BD± EF,设 BE=x,则 DE=x, AE=6-x,在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2,.x2=42+ (6-x) 2,13解得：x= 一,3- BD=VaD2_AB2 =2713 ,.OB=1bD= .13. BDEF,，EOBE2 OB、213,. EF=2EO=4 13 .3点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、

3、全等三角形的判定与性质, 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键2.在4ABC中，AB=BC点O是AC的中点，点 P是AC上的一个动点(点 P不与点 A, O, C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点 E和点F,连接OE, OF(1)如图1,请直接写出线段 OE与OF的数量关系；(2)如图2,当/ABC=90时，请判断线段 OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明 理由(3)若|CF-AE|=2, EF=2j3,当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.图1图2普用图【答案】(1) OF =OE (2) OF± EK, OF=OE理由见解析

4、；(3) OP的长为J6 a或 2.3 .3【解析】【分析】(1)如图1中，延长EO交CF于K,证明4AO三COK,从而可得 OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE(2)如图2中，延长 EO交CF于K,由已知证明 ABEBCF, AAOEACOK；继而可证得4EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF, EK, OF=OE(3)分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中，延长EO交CF于K,. AEXBEE, OF71BE, ，AE/ CR ，/ EAO之 KCQ1. OA=OC, /AOE=/ COK, .AOECOK

5、, . OE=OK, 一 口一右一右一 1 一一一 EFK是直角二角形，.-.OF= EK=OE(2)如图2中，延长EO交CF于K, / ABC=Z AEB=Z CFB=90 ,° / ABE+Z BAE=90 ； / ABE+Z CBF=90 , °，/ BAE=Z CBF, . AB=BC, .1.AABEABCF, . BE=CF AE=BF, . AOEACOK；，AE=CK OE=OK, . . FK=EF .EFK是等腰直角三角形，OF±EK, OF=OE;(3)如图3中，点P在线段 AO上，延长 EO交CF于K,彳PH,OF于H,图3 |CF - A

6、E|=2 , EF=2石，AE=CKFK=2,在 RtA EFK中,tan / FEK= , . / FEK=30 , / EKF=60 ,3八1 .EK=2FK=4 OF=-EK=2,OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2,1在 RtPHF 中，PH=-PF=1, HF=V3 , OH=2- M ,2，OP=，122,3 2.62.如图4中，点P在线段 OC上，当PO=PF时，/POF=/ PFO=30,/ BOP=90 ；.，OP=_foE=Ll,33综上所述：op的长为爬J2或28.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰 直角三角形

7、的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键3.如图，四边形 ABCD中，对角线 AC BD相交于点O, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求证：四边形 ABCD是矩形.(2)若/ADF: /FDC=3: 2, DF±AC,求 / BDF的度数.，-? C【答案】(1)见解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出 /ABC=90,根据矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出ZCDO,即可求出答案.

8、【详解】(1)证明： AO=CO, BO=DO 四边形ABCD是平行四边形，Z ABC=Z ADC, / ABC+Z ADC=180 ,°/ ABC=Z ADC=90 ,° 四边形ABCD是矩形；(2)解：/ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2, / FDC=36 ；.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四边形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=Z ODC- / FDC=18 ,°【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线

9、相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.4.如图，在RHABC中，ZB=90°, AC=60cm, /A=60°,点D从点C出发沿CA方向以 4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D、E运动的时间是t 秒(0vtwi5 .过点 D作DF, BC于点F,连接DE, EF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值，如果不能，说明理由；(3)当t为何值时，4DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能，t=10； (3) t=15

10、或12.2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角 4CDF中，利用直角三角形的性质求得 DF的长，即可证明；(2)易证四边形 AEFD是平行四边形，当 AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，据此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF为直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90两种情况讨论.【详解】解：(1)证明：二.在 RtABC 中，Z C=9CT - Z A=30° , .AB=-AC=- X 60=30cm22,. CD=4t, AE=2t,又 在 RtCDF中，/ C=30 , .DF=1CD=2t,DF=AE2能，. DF/AB, DF=AE

11、 四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，即60 4t=2t ,解得：t=10, 当t=10时，AEFD是菱形；(3)若ADEF为直角三角形，有两种情况：如图 1, /EDF=90°, DE/ BC,则 AD=2AE,即 604t=2X21 解得:15t=，如图 2, Z DEF=90°, DE± AC,2则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,综上所述，当t=15或12时，4DEF为直角三角形.25.已知正方形 ABCD中，E为对角线 BD上一点，过 E点作EF±BD交BC于F,连接DF,G为DF中点，

12、连接EG, CG.(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45。，如图所示，取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）图0图公圉【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG.(2)结论仍然成立，连接 AG,过G点作MN，AD于M,与EF的延长线交于 N点；再证明

13、DAGWDCG,得出AG=CG；再证出DMGFNG,得到MG=NG；再证明 AMGAENG,得出 AG=EG；最后证出 CG=EG.(3)结论依然成立.【详解】(1) CG=EG.理由如下：.四边形 ABCD 是正方形，Z DCF=90 :在 RFCD 中，;G 为 DF 的中点，CG=- FD,21同理.在 RDEF中，EG=- FD . . CG=EG2(2) (1)中结论仍然成立，即 EG=CG.证法一：连接 AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点.在 4DAG 与 4DCG 中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SAS),

14、 .AG=CG;在4DMG 与 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG. Z EAM=Z AEN=Z AMN=90 ；，四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 与 4ENG 中，/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AAMGAENG (SAS?), .AG=EG,EG=CG.证法二：延长 CG至M,使 MG=CG,连接 MF, ME, EC.在ADCG与AFMG中， . FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"

15、;MG, . MF=CD, / FMG=/ DCG, .MF/CD/ AB, EF± MF.在 RtMFE与 RtCBE中，/ MF=CB, Z MFE=Z EBC=90°, EF=BE, .1.AMFEACBEZ MEF=Z CEB, Z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CE3/CEF=90； . . MEC为直角三角形. . MG=CG, EG=-MC . EG=CG2'(3) (1)中的结论仍然成立.理由如下：过F作CD的平行线并延长 CG交于M点，连接EM、EQ过F作FN垂直于AB于N.由于G为FD中点，易证 CD84MFG,得到 CD=FM,又因为 B

16、E=EF,易证/EFM=/EBC,贝UEFM0EBC Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BEG90 ；ZFEC+Z FEM=90 ；即 / MEC=90 ； . . MEC 是等腰直角三角形. G 为 CM 中点，EG=CG, EG± CG图（一】图（二）图电【点睛】本题是四边形的综合题.（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和 性质解答.6.已知AD是4ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点 A、D重合），连接 PR PC, E、F、G、H分别是AB、AC、PR PC

17、的中点，AD与EF交于点M；富 1（1）如图1,当AB= AC时，求证：四边形 EGHF是矩形；（2）如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与4BPE面积相等的三角形（不包括 BPE本身）.【答案】（1）见解析；（2） 4APE、AAPR ACPF PGH.【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG/AP,EF/ BC,EF=1BC,GH/BC,GH=1 BC,推出22EF/ GH, EF=GH证得四边形 EGHF是平行四边形，证得 EF± AP,推出EF± EG,即可得出 结论；（2）由4APE与4BPE的底AE=BE又等高，得出 国ape

18、fSa bpe,由4APE与4APF的底EP=FP又等高，得出 SaapE=Sapf,由4APF与4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Sacpf,证得4PGH底边GH上的高等于 AAEF底边EF上高的一半，推出_1 _SapghfSaef=Sa apf,即可得出结果.2【详解】(1)证明:E、F、G、H 分别是 AB、AC PB PC的中点,.EG/ AP,EF/ BC, EF= BC, GH/ BC, GH= BC,22.EF/ GH, EF= GH,四边形EGHF是平行四边形，.AB= AC,ADXBC,EF± AP,1. EG/ AP,EF± EG,平行四边

19、形EGHF是矩形；(2) PE是 APB 的中线， .APE与4BPE的底 AE= BE,又等高，Sa ape= Sa bpe, AP是AAEF的中线， .APE与APF的底-EP= FP,又等高，Saapee= Saapf,Saapf= Sabpe,.PF是APC的中线， .APF与CPF的底 AF="CF,又等高,Saapf= Sacpf,Szcpf= Sabpe,. EF/ GH/ BC, E、F、G、H 分别是 AB AC PB、PC的中点，.AEF底边EF上的高等于 ABC底边BC上高的一半， PGH底边GH上的高等于 PBC底边BC上高的一半，.PGH底边GH上的高等于

20、4AEF底边EF上高的一半，.GH= EF,Sa pgh= _ Sa aef= Sa apf,2综上所述，与 BPE面积相等的三角形为：AAPE、AAPR CPE PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、 三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.7.如图 1,在 4ABC 中，AB= AC, ADXBCT D,分别延长 AC 至 E, BC 至 F,且 CE= EF,延长FE交AD的延长线于 G.(1)求证：AE= EG(2)如图2,分别连接BG, BE,若BG= BF,求证：BE= EG;(3)如图3,取GF的中

21、点M,若AB= 5,求EM的长.GG却配图3_ 5【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 52【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：/ CAD= / G,可得AE= EG;(2)作辅助线，证明 ABE图4GEC ( SAS ,可得结论；(3)如图3,作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得 EM=DN =1“ AC,计算可得结论.2【详解】证明：(1)如图1 ,过E作EHI± CF于H,.EH/ AD,Z CEH= Z CAD, /HEF=/G, ,.CE= EF,/ CEH= / HEF,ZCAD=ZG,.AE= EG;(2)

22、如图2,连接GC,.BD=CD,.AG是BC的垂直平分线， .GC= GB, / GB已 / BCG, BG= BF,.GC= BE, .CE= EF,/ CEF= 180 - 2/ F, BG= BF,/ GBF= 180 - 2 / F,/ GBF= ZCEF/ CEF= / BCG, / BCE= / CEF吆 F, / BCE= / BCG+Z GCE, / GCE= / F,在 BEF和GCE中，CE EFQ GCE F,CG BF .BEFAGEC(SAS , .BE=EG；取AC的中点N,连接DN,由（1）得 AE= EG,/ GAE= / AGE,在RtACD中，N为AC的中点

23、,，DN=AC= AN, /DAN=/ADN,2/ ADN= / AGE, . DN / GF,在RtGDF中，M是FG的中点，.DM= -FG= GM, /GDM=/AGE, 2/ GDM= / DAN, .DM / AE,四边形DMEN是平行四边形，1,-.EM = DN= AC,2.AC=AB=5,i 5 - EM = 2【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性 质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助 线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键.8.现有一张矩形纸片 ABCD (

24、如图)，其中 AB=4cm, BC= 6cm,点E是BC的中点.将纸 片沿直线AE折叠，点B落在四边形 AECD内，记为点B；过E作EF垂直B'C,交BC于F.(1)求AE、EF的位置关系；(2)求线段BC的长，并求ABEC的面积.【答案】(1)见解析；(2) Sabec= 108 .25【解析】【分析】(1)由折线法及点 E是BC的中点，可证得 ABEC是等腰三角形，再有条件证明 /AEF=90即可得到AE± EF;(2)连接BB',通过折叠，可知 / EBB JEB' /ECB'上EB',C从而可证 ABB'的直角三角形, 的长求出

25、，在 RtBB' C中，根据勾股定理可将【详解】(1)由折线法及点 E是BC的中点，.EB=EB'= EC, /AEB=/AEB',.B'EC是等腰三角形，又 ; EF± B CP由E是BC的中点，可得EB =EC在 RtA AOB 和 RtBOE中，可将 OB, BB 'B'郸J值求出.EF为/ B'EC的角平分线，即 /B'EF=/FEC/ AEF= 180 - ( /AEB+/CEF = 90 ；即/ AEF= 90 °, 即 AE± EF;(2)连接BB交AE于点O,由折线法及点 E是BC的中

26、点，.EB=EB'= EC,/ EBB= / EBB, / ECB= / EB'C；又 BBC三内角之和为 180°,/ BBC= 90 ; 点B是点B关于直线AE的对称点， AE垂直平分BB'；在 RtAOB 和 RtBOE中，BO2= AB2 - AO2= BE? - ( AE AO) 2 将 AB=4cm, BE= 3cm , AE= 5cm,16 AO= cm, 5z12 B0=JaB AO = cm,5,-24 BB = 2B0= cm,5在 RtBBC 中,BC=BC2BB18=一 cm,5由题意可知四边形OEFB是矩形,12EF= OB=，5一

27、1 -SA BEC= B 2*1C EF 一218512510825考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用.关键是要 理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大 小不变，只是位置变化.9.如图1,在正方形 ABCD中，AD=6,点P是对角线BD上任意一点，连接 PA, PC过点P 作P已PC交直线AB于E.(1)求证：PC=PE;(2) 延长AP交直线CD于点F.如图2,若点F是CD的中点，求4APE的面积； 216若A APE勺面积是，则DF的长为25(3) 如图3,点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点

28、 Q,连接7 9PQ, MQ,过点 P 作 PN/CD 交 EC 于点 N,连接 QN,若 PQ=5, MN=-72 ,则 MNQ 的面积是/> Ai) AD图/用2图35【答案】(1)略；(2)8 ,4或9； (3)6【解析】【分析】(1)利用正方形每个角都是 90°,对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证；(2)作出4ADP和4DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到4PAE的底和高,并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可；(3)根据已经条件证出 4MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.

29、【详解】证明：丁点P在对角线BD上，2 .ADPACDF?，AP=CP/DAP =Z DCP. PE，PC,，/EPC=Z EPB吆 BPC=90,°3 / PEA=Z EBP+/ EPB=45+90BPC=135-Z BPC,4 / PAE=90-Z DAP 90 -/ DCP/ DCP=Z BPC-Z PDC=Z BPC-45, °/ PAE=90-(°Z BPC-45 )= 135 -Z BPC,/ PEA=Z PAE,.PC=PE;(2)如图2,过点P分别作PH±AD,PGJ± CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点四边形ABCD是

30、正方形，P在对角线上, ，四边形HPGD是正方形，.PH=PG,PM± AB,设 PH=PG=a,.F是CD中点,AD= 6,则 FD=3,Sn adf=9,Sn ADF =Sn ADP1 一Sn DFP =AD2PH-DF 2PG ,3 9，解得 a=2,AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又. PA=PE, .AM=EM,AE=4,MP8,c1, Sn APE = EA2设HP= b,由可得AE=2b,MP=6-b,C1_Sn APE = 2b 62b绝25解得b=2.4或3.6,_1Sn ADF =Sn ADPSn DFP = AD PH2-DF 2PG ,1116

31、b DFbDF 6,222当 b=2.4 时，DF=4；当 b=3.6 时，DF= 9, 即DF的长为4或9;(3)如图，. E、 Q 关于 BP对称,PNI/ CD, ，/1=/2, / 2+/3= / BDC=45,°/ 1 + /4=45 ；/ 3=/ 4,易证 PEM PQM, PNQZ PNC,.1. / 5=/ 6, / 7=/ 8 ,EM=QM,NQ=NC,/ 6+/ 7=90 :. MNQ是直角三角形，设EM=a,NC=b列方程组a b 52 7232.27.2 2 ,a b 3可得-ab=5 , 26-SVMNQ 6 ,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性

32、质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角 形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角 形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.OABC 绕10.在平面直角坐标系中， O为原点，点A ( - 6, 0)、点C (0, 6),若正方形 点O顺时针旋转，得正方形 OA B' ,C记旋转角为 “：(1)如图，当“=45°时，求BC与A' B勺交点D的坐标；(2)如图，当“=60°时，求点B'的坐标；(3)若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可)图 图【答案】(1) (66质6);(2)(3433

33、,33曲)；(3)3衣3轰叭P3723.【解析】【分析】(1)当 “=45°时，延长 OA经过点 B,在 RBA' D中，/ OBC= 45°, A 肚 6J2 6,可 求得BD的长，进而求得 CD的长，即可得出点 D的坐标；(2)过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N,证明 OMCC' NB'可彳C C'*OM=3，3, B'生C' b 3,即可得出点 B'的坐标；(3)连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，因为 P为线段BC的中点，所以PK=1OC=3,即点P在以K为圆心，3为

34、半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围.2【详解】解：(1) /A ( 6, 0)、C (0, 6) , O (0, 0),四边形OABC是边长为6的正方形，当“=45°时，如图，延长OA经过点B, .OB=672, OA=OA= 6, ZOBC= 45°, A 群 672 6，BD= ( 6& 6)x板 12 6我， .CD=6- (12 672)=6五 6， .BC与A'的交点D的坐标为(6 6及，6)；圜(2)如图，过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N, / OC 390 °,/ OC'心90/ B&

35、#39;B' N,. OC'= B' ,C'/OMC'=/C' NB90 ；.1.OMC/AC， NBAAS),当a= 60°时，. /A' OC90 °, OC'= 6, / C OM30 °, C' OM= 3y/3 , B'处 C' g 3,点B的坐标为3m 3,3 3氏；(3)如图，连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点， P为线段BC的中点，1 2 .PK= - OC = 3,2 .P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，,. AK=3 我， AP最大值为3&

36、; 3，AP的最小值为3灰 3, AP长的取值范围为 3衣 3轰叭P 372 3.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.(3)问解题的关键是利用中位线定理得出点 P的轨迹.11.如图，现将平行四边形 ABCD沿其对角线 AC折叠，使点B落在点B处.AB与CD交于 点E.(1)求证：AE44CEB'(2)过点E作EH AC交AB于点F,连接CF,判断四边形 AECF的形状并给予证明.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意可得 AD=BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB',利用AAS证明全等

37、，贝U结 论可得；(2)由AEgCEB可得AE=CE且EF±AC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF=Z AFE=Z AEF,可得 AE=AF,贝U可证四边形 AECF是菱 形.【详解】证明：(1) .四边形ABCD是平行四边形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D;平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B'EC.ADEAB'EC(2)四边形AECF是菱形 .ADEAB'

38、;EC.AE=CE . AE=CE, EF± AC .EF垂直平分 AC, /AEF=/CEF，AF=CF. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE.-.AF = AE= CE= CF四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练 掌握这些性质和判定是解决问题的关键.12.猜想与证明：如图1,摆放矩形纸片 ABCD与矩形纸片ECGF使B、G G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF,若M为AF的中点，连接 DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你 的结

39、论.拓展与延伸：(1)若将"猜想与证明 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不 变，则DM和ME的关系为 .(2)如图2摆放正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.【答案】猜想：DM=ME,证明见解析；(2)成立，证明见解析【解析】JO试题分析：延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到 FME和 AMH全等，得到 HM=EM,根据RtHDE得到HM=DE,则可以得到答案；(1)、延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到4

40、FME和4AMH全等，得 到HM=EM,根据RtHDE得到HM=DE,则可以得到答案；(2)、连接AE,根据正方形 的性质得出 /FCE=45, /FCA=45,根据 RTA ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根据 RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME ,从而说明 DM=ME.试题解析：如图1,延长EM交AD于点H,二四边形ABCD和CEF比矩形，.AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，4FM 二 AH I /FME=/aH.FMEAAMH (ASA) .HM=EM , 在 R3HDE 中，HM=

41、DE, .DM=HM=ME ,.DM=ME .(1)、如图1,延长EM交AD于点H,四边形ABCD和CEF%矩形， .AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AMH 中，二 AJA|z?me=zmh.FMEAAMH (ASA) .HM=EM ,在 RTA HDE 中，HM=EM .DM=HM=ME ,.DM=ME,(2)、如图2,连接AE,四边形ABCD和ECGF正方形，/ FCE=45, ° / FCA=45 ,°.AE和EC在同一条直线上, 在 RTA ADF 中，AM=MF, . DM=AM=MF ,在 RT

42、A AEF中，AM=MF,，AM=MF=ME,.DM=ME .考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质13.如图1,若分别以 ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形 ACDE和BCFG为正方 形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.（1）发现：如图2,当/C=90°时，求证：4ABC与4DCF的面积相等.（2）引申：如果ZC 90。时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3,分别以 ABC的三边为边向外侧作的四边形 ACDE BCFG和ABMN为 正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知 ABC中，AC=3, BC

43、=4.当/C=时，图中阴影部分的面积和有最大值是 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 18.【解析】试题分析：（1）因为 AC=DC, /ACB=/ DCF=90, BC=FC 所以AB84DFC,从而 ABC与 DFC的面积相等；（2）延长BC到点P,过点A作APLBP于点P；过点D作DQLFC于点Q.得到四边形ACDE BCFG均为正方形，AC=CD BC=CF / ACP=/ DCQ.所以APCDQC.于是 AP=DQ.又因为 Szabc= BC?AP, Sadfc=FC?DQ 所以 Saabc=Sadfc;22(3)根据(2)得图中阴影部分的面积和是 4ABC的面

44、积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC的面积最大，当 ABC是直角三角形，即 /C是90度时，阴影部分的面积和最大.所以 S阴影部分面积和=3S/abc=3 A X 3X 4=182(1)证明：在 4ABC与DFC中，./A CBDC"BC=FC.ABCADFC. ABC与 DFC的面积相等；(2)解：成立.理由如下：如图，延长BC到点P,过点A作APLBP于点P；过点D作DQLFC于点Q./ APC=Z DQC=90 :四边形ACDE BCFG均为正方形，.AC=CD, BC=CF /ACP+/ PCD=90,° Z DCQ+-Z PCD=90 ,

45、76;/ ACP=Z DCQ.APC= DQC.-. ACP= DCQ ,AC=CD APCA DQC (AAS), .AP=DQ.又ABC=1BC?AP, Sa dfc= - FC?DQ 22Saabc=Sadfc；(3)解：根据(2)得图中阴影部分的面积和是 若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC的面积三倍, ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即 / C是90度时,阴影部分的面积和最大. ci S 阴影部分面积和-3S/abc-3 X X 3 X 4=182考点：四边形综合题14.如图1所示，(1)在正三角形 ABC中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P 是BC延长

46、线上一点， N是/ACP的平分线上一点，若 /AMN=60 ,求证：AM-MN .(2)若将(1)中 芷三角形ABC改为 芷方形ABCD, N是/ DCP的平分线上一点，若/AMN=90 ;则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.(3)若将(2)中的 芷方形ABCD改为 芷n边形A1A2An :其它条件不变，请你猜想:当/An_2MN=。时，结论 An 2M=MN仍然成立.(不要求证明)答案(n 2)180 n【解析】分析：(1)要证明AM=MN ,可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在 AB上取一 点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明AEMMCN,然后根据全

47、等三角形的 对应边成比例得出 AM=MN .(2)同(1),要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在 AB上取 一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明AEMMCN,然后根据全等三角形 的对应边成比例得出 AM=MN .详(1)证明：在边 AB上截取AE=MC,连接ME.在正 ABC中，ZB=Z BCA=60 , AB=BC/ NMC=180AMN-/AMB=180 -°Z B-Z AMB=Z MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM/ BEM=60 : ZAEM=120 :N是/ ACP的平分线上一点，/ ACN=60 ,°/ MCN=120 :在4AEM 与 4MCN 中，/MAE=/NMC, AE=MC, / AEM=/ MCN ,.AEMAMCN (ASA),.AM=MN .(2)解：结论成立；理由：在边 AB上截取 AE=MC,连接 ME.D£B.正方形 ABCD中，/ B=Z BCD=90 ,° AB=BC/ NMC=180AMN-/AMB=180 -°Z B-Z AMB=Z MAB=Z MAE, BE=AB-AE=BC-MC=BM/ B