2018年秋高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例学

1、322函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题.（重点）2.能建立函数模型解决实际问题.（重点、难点）3. 了解拟合函数模型并解决实际问题.（重点）4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力.（重点）自主预习探新知1常见函数模型常用 函数 模型（1） 一次函数模型y=kx+b（k,b为常数，k丰0）（2）二次函数模拟y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a*0）（3）指数函数模型y=bax+c（a,b,c为常数，b*0,a0 且a* 1）（4）对数函数模型y=nlogax+n（m,a,n为常数，m*0,a0 且a* 1）（5）幕函

2、数模型y=axn+b（a,b为常数，a*0）（6）分段函数ax+b xm2.建立函数模型解决问题的基本过程用甫數模凹解胖宝际问题思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.这些步骤用框图表示如图：基础自测1 思考辨析（1）银行利率、 细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述.（）（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.（）（3）当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型.答案VV(3)V2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物

3、，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+ 1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第 7 年它们发展到()A. 300 只B. 400 只C. 600 只D. 700 只A 将x= 1,y= 100 代入y=alog2(x+ 1)得，100 =alog2(1 + 1)，解得a= 100.所以x= 7 时，y=100log2(7 + 1) = 300.3.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8 元，普通车存车费是每辆一次0.5 元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(

4、)【导学号：37102385】A.y= 0.3x+ 800(0 x2 000)B.y=0.3x+1 600(0wx0,得 6-. 11wxw6+11,A0 x10.合作探究攻重难类塹_利用已知函数模型解决实际问题例物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是To,经过一1 E定时间t后的温度是T,贝yT-Ta= (T0-Ta)X其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用 88C热水冲的速溶咖啡，放在24C的房间中，如果咖啡降温到40C需要 20 min，那么降温到 32C时，需要多长时间？【导学号：37102386】解先设定半衰期h,由题意知2020解之，得h= 10

5、，故原式可化简为,当T= 32 时，代入上式，得,103110即 18 1 1t64 8 = 2 t=30.因此，需要 30 min，可降温到 32C.规律方法已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据 代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值跟踪训练40-24=(88-24)X即1=4T-24=(88-24)X32-24=(88-24)X1 某种商品在近 30 天内每件的销售价格 R 元）和时间t（天）的函数关系为:(t + 20 (Kt25 , p= *-t +吻2廷设该商品的日销售量Q件）与时间t（天）的函数关系为

6、Q= 40 -t（0t 30,t N*），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解设日销售金额为y（元），则y=PQ、-12+2ot+Mi （KtC25,*所以y =52（t N）t2- 140t +4 MX） 2知.1当 0t25 且t N 时，y=- （t- 10） + 900,所以当t= 10 时，ymax= 900（元）2当 25Wtw30 且t N 时，y= （t- 70） - 900,所以当t= 25 时，ymax= 1 125（元）结合得ymax= 1 125(元)因此，这种商品日销售额的最大值为1 125 元，且在第 25 天时日销售金额达到最大自建确定

7、性函数模型解决实际问题x解(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为m，故空闲率为 1对原二次函数配方，得y=-k(x2-mxmxx解根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为m故空闲率为 1 -m(oxm2.(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围.解由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0 x+ymm ,km十，m km”，十，因为当x= 2 时，ymax=才，所以 02+4m解得一 2k0,所以 0k0) (1) 写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域.(2)

8、求羊群年增长量的最大值.x只与空闲率的乘积成正【导学号：37102387】思路探究:畜养率一 空闲率y与x之间单调性的函数关系求最值x-m由此可得y=kxi1mx-m母题探究：1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得km卄+亍即当x=y取得最大值亍何表示出y关于x的函数解析式?求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足

9、的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要 考虑变量的实际含义，如人不能是半个等类型別_拟合数据构建函数模型解决实际问题探究问题1 画函数图象的一般步骤有哪些?提示：列表、描点、连线.2学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？ 提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点女口(1 ,xi) , (2 ,X2)，(7 ,X7).第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示.第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点.第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整.2014 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已

10、知 2014 年为第 1 年，前 4 年年产量f(x)(万件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1) 画出20142017年该企业年产量的散点图；(2) 建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并 求 出 函 数 解 析式；2018 年(即 x = 5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 函数模型，a+b= 4, 设f(x=ax+b(a0).由已知得 ipa+b= 7, f (X) = 1.5x+ 2.5.检验：f(2) = 5.5，且 |5.58 5.5| = 0.080.1.f(4) = 8.5，且 |8.44 8

11、.5| = 0.06选模待定系数法求模4 早圭误差验模解(2)由散点图知，可选用一次函数模型.画出散点图，如图所示.a= 1.5 ,解得b= 2.5 ,某企业常年生产一种出口产品，自30% 即 10X70%= 7 万件，即 2018 年的年产量为 7 万件.规律方法函数拟合与预测的一般步骤是:根据原始数据、表格，绘出散点图通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据跟踪训练2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170体重

12、/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1) 根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男 性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？【导学号： 37102388】解(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=abx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高

13、关系的函数模型.取其中的两组数据(70,7.90), (160,47.25)，代入y=abx得：7.9 =ab705!60，用计算器算得a-2,b 1.02.47.25 =ab160这样，我们就得到一个函数模型：y= 2X1.02x.将已知数据代入上述函数解析式， 或作出上述函数的图象， 可以发现， 这个函数模型与已知数据 的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.将x= 175 代入y= 2X1.02x得y= 2X1.02175,由计算器算得y-63.98.由于 78- 63.98 -1.221.2，所以，这个男生偏胖.当堂达标固双基1.一辆汽车在某段路程中的行

14、驶路程s关于时间t变化的图象如图 3-2-6 所示，那么图象所对应的函数模型是()B 由题意h= 20 5t(0wtw4)，其图象为 B.4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000 万元,并且每生产一单位产品，成本增加10 万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q= 40Q- 20Q,则总利润L(Q的最大值是万元【导学号：37102390】2 500 每生产一单位产品，成本增加10 万元,单位产品数Q时的总成本为 2 000 + 10Q万元.- K(O=40Q-20&,利润L(Q) = 40Q- 20Cf 10Q- 2000100 xy= (0.957 6)x957 6 y= 1

15、00 xx由题意可知y= (95.76%)100，即y= 0.9576100.若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()A.C.分段函数指数函数2.B.二次函数D.对数函数由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.若镭经过100 年后剩留原来质量的95.76%，设质量为 1 的镭经过x年后剩留量为y，则x,y的函数关系是【导学号：37102389】A.xy= 0.957 6100B.C.D.xy= 1 0.042 41003.2012=-20( Q- 300) + 2 500 , Q= 300 时，利润L(Q的最大值是 2 500 万元.5.已知A,B两地相距 150 km,某人开汽车以 60 km/h 的速度从A地到达B地，在B地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返回A地.(1) 把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2) 把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.解(1)汽车由A地到B地行驶th 所走的距离s= 60t(0wtw2.5).一2OQ+ 30Q- 2 0002汽车