构造函数解决高考导数问题

1、构造函数解决高考导数问题1. (2015 课标全国I理)设函数 f (x) =ex(2x -1) ax + a ,其中a < 1,若存在唯一的整数x0使得f (xo) <0,则a的取值范围是()3 3B. 一2?4)2. (2016 课标全国II卷理)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln (x+1) 的切线，则b=3. (2016北京理)(本小题13分) 设函数f (x)=xea"+bx,曲线y=f (x)在点(2,f (2)处的切线方程为y=(e 1)x+4,(I)求a,b的值；(II)求f (x)的单调区间.4. (2017 全国 III 卷

2、文)(12分)已知函数 f (x) =lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f (x)的单调性；3(2)当 a< 0 时，证明 f(x)W2.4a5. (2016?四川卷文)(本小题满分 14分)设函数f (x)=ax2-a-lnx, g(x)=1 -ex ,其中aC R, e=2.718 为自然对数的底数 x e(I)讨论f (x)的单调性；(n)证明：当 x>1 时，g(x)>0；(m)确定a的所有可能取值，使得 f (x)>g(x)在区间(1, +8)内恒成立.6. (2016砒标全国n文)(本小题满分12分)已知函数 f (x) =(x 1)ln x-a(x

3、-1).(I)当a =4时，求曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;(n)若当xw(1,收)时，f(x)>0 ,求a的取值范围.7. (2017 天津文)(本小题满分14分)32x设 a,bu R , |a 匡1.已知函数 f(x)=x -6x -3a(a-4)x+b, g(x)=e f(x).(I )求f (x)的单调区间；(n)已知函数y =g(x)和y =ex的图像在公共点(xo, y°)处有相同的切线，(i)求证：f(x)在x=4处的导数等于0；(ii)若关于x的不等式g(x) <ex在区间x。1,x。+1上恒成立，求b的取值范围8. (2016 江苏)

4、(本小题满分 16 分)已知函数 f (x) =ax+bx (a>0, b>0, al, bl).(1)设 a=2, b=-. 2求方程f (x) =2的根；若对于任意xC R,不等式f (2x)油f (x) 6恒成立，求实数 m的最大值；(2)若0V a< 1, b> 1,函数g (x) =f (x) - 2有且只有1个零点，求ab的值.9. (2016山东理)(本小题满分13分)-2x -1已知 f (x) = a x Tn x-2, a 三 R.x(I)讨论f(x)的单调性；3(II)当a =1时，证明f(x)>f' x + 对于任意的xwH,2成立

5、.210. (2017 江苏文)(本小题满分16分)已知函数f ( x )= x3 + ax 2 + bx + 1(a a 0,b R R)有极值，且导函数f'(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2>3a;若f (x ), f P(x)这两个函数的所有极值之和不小于-g，求a的取值范围.构造函数解决高考导数问题答案1. (2015 课标全国I理)设函数 f (x) =ex(2x -1) ax + a ,其中a < 1,若存在唯一的整数x0使得f (xo) <0,则a的

6、取值范围是()A- -I1)【答案】D3 3B. 一2?4)【解析】由题意，存在唯一的整数,使得f(xo)0,即存在唯一的整数 xo,使ex0 (2x01) <a(xo- 1).设 g(x) = ex(2x1), h(x)=a(x1). g'xj= ex(2x1)+2ex= ex(2x+1),0 ( 一 1).a=-= 1.1-0从而当xC废8, 1时，g(x)单调递减；当xC ( 12, + 8,寸，g(x)单调递增._3,e1- ( 1)又 h(x) = a(x 1)必过点(1, 0), g(0) = 1,当 g(0) = h(0)时,一3,一而 g(1) = 一当 g(1)

7、= h(1)时，a= e【点评】关键点拨：把要满足题意,则2r a< 1,选D.若存在唯一的整数 看,使得f(x0)V0”转化为 若存在唯一的整数x0, 使得 ex0 (2x01) va(x01)”.测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用.考查转化与化归思想. (2016 课标全国II卷理)若直线 y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln(x+l) 的切线，则b=.【答案】1- ln 2【解析】设y=kx+b切y=ln x+2的切点为(x1，y1)，切y=ln (x+ 1)的切点为(x2, 丫2).由导 kx1+ b= ln x+2 = y1,kx2+ b= l

8、n (xz+1) =y2,数的几何意义和切点的特征可知$1$1k=1k=7.Xix2 1由消去Xi, y1整理可得b=1ln k,由消去x2, 丫2整理可得b = ln k+ k1.联立可得 1ln k= - ln k+k-1,，k=2,，b=1 ln k=1-ln 2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系.还需注意切点既在函数图像上，也在切线上.对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达 求解.测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌 握基本题型，在此基础上加强综合题的训练.(2)本题有一定深度，难度，考查了学

9、生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分.3. (2016北京理)(本题满分13分)设函数f (x)=xea"+bx,曲线y=f (x)在点(2,f (2)处的切线方程为y=(e 1)x+4,(I)求a,b的值；(II)求f (x)的单调区间.解：因为 f (x) = xea-x+ bx,所以 f ' (x)(1 -x)ea-x+ b.7 (2) =2e+2,2ea-2+2b = 2e+ 2,依题设，有( 2)= e- 1,即ea-2+ b = e 1.解得 a= 2, b= e.2-x .(2)由知 f (x) = xe +ex,由 f ' (x)e2-x(1 x+

10、 ex-1)及 e2-x>0 知，f '卷)1 x+ex-1 同号.令 g(x) = 1-x+ex-1,则 g'x)= 1 + ex-1.令 g zx)=0,得 x=1.所以当xe(8, 1)时，g'x)<0, g(x)在区间(一8, 1)上单调递减；当xC(1,时，g'x)>0, g(x)在区间(1, + 8止单调递增.故g(1) =1是g(x)在区间(一8, + 8止的最小值，从而 g(x)>0 , xC( 8, + oo).综上可知，f ' >501, xC (8, + oo).故f (x)的单调递增区间为(8, +

11、8).【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解.(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错.4. (2017 全国 III 卷文)(12 分)已知函数 f (x) =lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f (x)的单调性；3(2)当 a<。时，证明 f(x)E旦2.4a_2解：(1) f'(x)=2ax (2a 1)x1 =(2ax 1)(x 1)(x 0)当a ±0时，f'(x) >0 ,则f(x)在(0,+妙)单调递增1 .1当a<0时，则f(x)在(0,-)单调递增，在(,收)单倜递减. 2

12、a2a111(2)由(1)知，当 a<0 时，f(x)max =f()=皿| -12a2a4af(1311F/TnGy11c1. .令 y =ln t +1 _t ( t = _一 >0),令 y' = _ _1 = 0,解得 t =1 2at. y在(0,1)单调递增，在(1,也)单调递减.-y y max =y(1)=0,一33即 f(x)maxW(一 +2) . f(x)W -2 .4a4a5. (2016?四川卷文)(本题满分14分)设函数f (x)=ax2-a-lnx, g(x)=1 与，其中a R, e=2.718 为自然对数的底数 x e(I )讨论f (x)

13、的单调性；(n)证明：当 x>1 时，g(x)>0；(m)确定a的所有可能取值，使得 f (x)>g(x)在区间(1, +8)内恒成立. 一，1 2ax2 1解：(1) f(x)2ax-= x(x>0).当awo时，f ' <x), f (x)在(0, +8内单调递减.1当a>0时由f的0得“病f '的，f (x)单调递减;当x£!后,+ 00a, f '加，f (x)单调递增.(2)证明：令 s(x) = ex-1 x,则 s'x) = ex-11.当 x>1 时，s' x)>0,所以 ex-1

14、>x,从而 g(x)=1，>0. x e(3)由(2)知，当 x>1 时，g(x)>0.当 awo, x>1 时，f (x) = a(x2 1)In x<0.故当f (x)>g(x)在区间(1, + 00内恒成立时，必有 a>0.,1 一，当0<a<2时,1 >1. 2a由有f6L<f”而g6k>0.所以此时f (x)>g(x)在区间(1, +8内不恒成立.当 ag时，令 h(x)=f(x) g(x)(x>1),32rr,111-x1 11 x - 2x+ 1 x 一 2x+ 1则 h x) = 2axx

15、+ x2 e >x x+fx =x2>x2>0.因此，h(x)在区间(1, 十°°内单调递增.又因为 h(1)=0,所以当 x>1 时，h(x) = f (x) - g(x)>0 ,即 f (x)>g(x)恒成立.综上，aC 1, + 8、【点评】关键点拨：第(1)问中对a的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点.测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题.(2)考生失分主要体现两点：分类讨论不全面；在第问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求

16、最值时，计算过程出现失误.6. (2016砒标全国n文)(本小题满分12分)已知函数 f (x) =(x 1)ln x-a(x-1).(I)当a =4时，求曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;(n)若当xw(1,收)时，f(x)>0 ,求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0, + 8)当 a=4 时，f(x)=(x+1)ln x-4(x- 1), f ' (x)ln x+ 1-3, f'(号一2, f(1) = 0. x所以曲线y = f (x)在(1, f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.、“ 尸-a.,人a(x1)当 xC(1, + 8 时，f

17、(x)>0 等价于 ln x->0.x+ 1a (x 1)1 2ax2+2 (1 a) x+1设 g(x)=ln x x+1，则 g'x)=x= x(x+1)2，g(1)=0.当 aW2, xC (1, + 8时,x2+2(1 a)x+1 a22x+1>0,即 g'x)>0,g(x)在(1 ,上单调递增，因此 g(x)>0；当 a>2 时，令 g'x) = 0得 x1= a 1 7(a 1) 2 1, x2= a- 1 + 7 (a 1) 2 1.由 x2>1 和 x1x2= 1 得 x1<1 ,故当 xC (1 , x2

18、)时，g'x)<0, g(x)在(1 , x2)上单调递减, 因此g(x)<0,此时不满足题意.综上，a的取值范围是(巴2.【点评】关键点拨：第一问，给定参数a=4,函数f (x)就确定，从而可求出切点为 (1, 0),再结合导数的几何意义，得到斜率k= f'(分一2,利用点斜式即可求出切线方程.第二问是恒成立问题，可适当转化，另外要注意函数的端点值，这样可以减少讨论的步骤.测训诊断：(1)利用导数解决相关问题，往往都有一定的深度和广度，本题考查较常规，容易上手，但也不易得满分；(2)导数题区分度较大，要根据自身情况，量力而行，不轻易放弃，规范步骤，把会做的做好，也

19、会有所收获.7. (2017 天津文)(本小题满分14分)设 a,bw R , |a 怪1.已知函数 f(x) =x3 -6x2-3a(a-4)x+b , g(x)=exf(x).(I )求f (x)的单调区间；(n)已知函数 y =g(x)和y =ex的图像在公共点(xo, y°)处有相同的切线，(i)求证：f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x) <ex在区间xo -1,xo+1上恒成立，求b的取值范围解：(I)由 f (x) = x3 -6x2 -3a(a-4)x+b ,可得f (x) =3x2 12x -3a(a-4) =3(x -a)(x -

20、(4 -a),令f (x) =0,解得x =2或* =4 a.由 |a |<1,得av4 -a.(II)(i)因为g (x) =ex(f (x)+f (x)由题意得g(x0) =e"g (x0) =ex0所以累/；)解得悔公当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:X(ooi a )a(a r 4 a)4 a(4 af oc)r十00十/单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)的单调递增区间为(一，a), (4 a,十 )单调递减区间为(a , 4 - a).所以f (x)在x =%处的导数等于0(ii)因为 g(x)Wex, x w x0 1, x0 + 1,

21、由 ex>0,可得 f (x) <1.又因为f(x0)=1, f'(xo) =0,故xo为f (x)的极大值点，由(I)知x0 =a .另一方面，由于|a区1,故a+1<4 a,由(I)知f (x)在(a1,a)内单调递增，在(a, a+1)内单调递减，故当 x0 =a 时，f (x) M f (a) =1 在a 1,a +1上恒成立，从而g(x) <ex在% -1, % +1上恒成立.由 f (a) =a3 -6a2 -3a(a -4)a +b =1,得 b = 2a3 -6a2 +1 , -1 < a < 1 .令 t(x) =2x3 -6x2

22、+1, xe-1,1,所以 t'(x)=6x212x,令t'(x) =0 ,解得x=2 (舍去)或x = 0.因为 t(1) =，t(1) = 4, t(0) =1,故 t(x)的值域为-7,1.所以，b的取值范围是-7,1.8. (2016江苏理)(本小题满分16分)已知函数f (x) =ax+bx (a>0, b> 0, aw, bwQ.(1)设 a=2, b=. 2求方程f (x) =2的根；若对于任意xC R,不等式f (2x)油f (x) 6恒成立，求实数 m的最大值；(2)若0V a< 1, b> 1,函数g (x) =f (x) - 2有且

23、只有1个零点，求ab的值.1解：(1)因为 a=2, b=2,所以 f (x) = 2x+2-x.方程 f (x)=2,即 2x+ 2-x=2,亦即(2x)22X 2x+1 = 0,所以(2x1)2=0,于是 2x= 1,解得 x= 0.由条件知 f(2x) = 22x+ 2-2x=(2x+ 2-x)2 2 = f (x)2 2.因为f(2x)卸f (x) 6对于任意x C R恒成立，且f (x)>0,f (x) 2 + 4所以mW f(X)对于任意xC R恒成立.f (x) 2+44 I4f (0) 2+4而 f (x)=f(x)+f(x) >N/f(x)f(x) =4,且 f

24、(0)=4，所以m<4故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f (x)2有且只有1个零点,而 g(0)=f(0)2=a0+b02=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为 g' x0= axin a+ bxin b,又由 0<a<l, b>l 知 ln a<0, ln b>0,in a所以 g'x0=0 有唯一解 xo=logbjn-bj.a令 h(x) = g'x),则 h'x)=(axin a+bxln b) = ax(ln a)2+bx(in b)2,从而对任意x R, h'x0>0,所以g'

25、;x0= h(x)是(一oo, +oo )上的单调增函数.于是当 xC(8, xo)时，g，x)<g'x0)=0；当 xC (xo, + 0°)时,g，x)>g'x0) = 0.因而函数g(x)在(8, %)上是单调减函数，在(xo, + 00止是单调增函数.下证xo= 0.xox0若 xo<o,则 xo<2<o,于是 g (2 kg(0) = 0.xo又 g(loga2)=alog2+blog22>alog22= 0,且函数 g(x)在以2和 loga2 为端点的闭区间xo上的图像不间断，所以在 2和loga2之间存在g(x)的零

26、点，记为xi.xo因为0<a<1,所以loga2<0.又万<0,所以x1<0,与“幅函数g(x)的唯一零点”矛盾.xo若Xo>o,同理可得，在 2和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾.因此，x0= 0.ln a于是一1nb= 1,故 lg a+ln b= 0,所以 ab=1.【解析】【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围.测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学

27、生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，意在让学生得分.(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误.9. (2016山东理)(本题满分13分)-2x -1已知 f (x) = a x -ln x2, a 三 R.x(I)讨论f(x)的单调性;(II)当 a一，、一一 3,一=1时，证明f(x)>f'(x)+对于任意的x'11,2成立2解：(1)f(x)的定义域为(0, + 8),a 22(ax 2) ： ( x 1)f=(xa x-x2+x3=x ± _2设 g(x) = xIn x, h(x)= x+x2 x31, xC 1 , 2,则

28、f (x) f ' x)= g(x)+h(x). 当 awo时，xe(0, 1)时，f ' (x)0, f (x)单调递增,XC(1, +8时，f '钻0, f (x)单调递减.0vav2 时,>1,a (x 1)当 a>0 时，f ' (x)x3-当 xC (0, 1)或 xC,+,f ' (x)0, f (x)单调递增,f ' (x)0, f (x)单调递减.当 xC 1,a=2时，占=1,在xC(0, + 8内，f '供只f (x)单调递增.a>2 时，0V Za<1,当xCxC(1, +8时，f '

29、 (x)0, f (x)单调递增,1时，f ' (x)0, f (x)单调递减.综上所述,(1, + 00)内单调递减;当awo时，f (x)在(0, 1)内单调递增，在1,、/；/内单调递减，在,+ 00 J内单调当0vav2时，f (x)在(0, 1)内单调递增, 递增;当a=2时，f(x)在(0, +8内单调递增;单调递增,当 a>2 时，f (x)在 q,在,1 J内单倜递减，在(1 ,内单倜递增.2x 1f (x) f ，=(xx ln x+ x21 21 x x2 +(2)由(1)知 a=1 时,3 1_2x In x+x + x2 x3 1, xC 1 , 2.x

30、1由 xC 1 , 2,得 g/x)=-X->Q可得g(x)再(1)=1,当且仅当x=1时取得等号.23x 2x+ 6又 h' x) =x4.设 ©x) = 3x22x+6,则 (Xx)在 xC1, 2内单调递减.因为巾)=1,&2) = 10,所以？x0C(1, 2),使得 xC 1, xo)时,岫)>0, x(xo, 2时,(x)<0.所以h(x)在1, xo)内单调递增，在(xo, 2内单调递减.11由 h(1) = 1, h(2) = 2,可得 h(x)由(2) = 2,当且仅当x= 2时取得等号.3所以 f (x) -f zx)>g(1) + h(2) = 2, 3即f (x)>f'x0 + 2对于任意的xC1, 2成立.【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号.若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系.证明函数不等式f (x)>g(x),主要有两种方法：