大学线性代数复习题(48课时)

1、(1) .选择题B. (A B)(A B) = A2 B2D. (AB )2 二 A2 B2以下命题中，正确的是(1 .设A, B为n阶矩阵，则必有(A. (A B)2 = A2 2AB B22.对于n元齐次线性方程组 Ax = 0,C.( A E)(A E) =( A E)(A E)(A)若A的列向量组线性无关，则 Ax =0有非零解;(B)若A的行向量组线性无关，则 Ax =0有非零解;(C)若A的行向量组线性相关，则 Ax =0有非零解(D)若A的列向量组线性相关，则 Ax =0有非零解;工2x - x2 x3 =03 .若齐次线性方程组dx +kx2 -x3 =0有非零解，则k必须满足

2、(kx1 x2 x3 = 0(A) k=4 (B) k = -1 (O k。-1 且 k#4 (D)k = 1 或 k = 44 .若存在可逆矩阵C,使B=C,AC ,则A与B()(A)相等 (B) 相似 (C) 合同 (D)可交换5 .向量组%尸2,F.线性相关且秩为s,则()(D) s :： r(A) r =s(B) r Ms (C) s< r6 .矩阵A与B相似的充分条件是()。(A) A=|B(B) r(A)=r(B) (C) A与B有相同的特征多项式(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。一 (2).选择题1 .设A, B为n阶矩阵，则必有()_ 22_ 22

3、_ 2A. (A B) = A 2AB BB. (A B)(A B) = A BC. (A E)(A E) =(A E)(A E) D. (AB )2 = A2 B22、设有n维向量组(I ) ： j,%,川,和(u) : %p2,川,( (m>r),则(). (A)向量组(I )线性无关时，向量组(R)线性无关；(B)向量组(I )线性相关时，向量组(R)线性相关；(C)向量组(R)线性相关时，向量组(I)线性相关；(D)向量组(R)线性无关时，向量组(I)线性相关.3 .设A是n阶矩阵，。是n阶零矩阵，且A- E=0,则必有()A. A=E B. A=-E C .A=A1D .|A|

4、=14 .已知向量组 % =(1,2,_1,1)0f2 =(2,0,t,0)a3=(0，工,5,2)的秩为 2, M t =()(A) 3 (B) -3 (C) 2(D) -25 .矩阵A与B相似的充分条件是()。(A) |A=B (B) r(A)=r(B) (C) A与B有相同的特征多项式(D) n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值互不相同。6.1. mn矩阵A的秩等于n ,则必有()。(A) m = n (B) men (C) m > n (D) m 至 n一 (3)、选择题：1 .已知B为可逆矩阵，则( B')TT =(A) B (B)BT(C) B(D) (B)T/

5、Xi X2 , X3 = 02 .若齐次线性方程组d x1 十九x2 + x3 = 0有非零解，则九=()x1 x2 + ；x3 = 0A.1 或-2 B. 1 或2 C .1 或 2 D.1 或 2.3 . A, B均为n阶方阵，且A(BE)=0 ,贝()(A) A = BA (B) |A|二0 或 |B|=1 (C) | A |= 0或 |B-E |= 0 (D) A=0 或 B=E4.设A是sMn矩阵，则齐次线性方程组 Ax =0有非零解的充要条件().A. A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D.A的列向量组线性相关5.设 D =(A) 1163638

6、92-11132222，则 A12 , A22 , A32 , A42 = (B) -1(C) 0(D) 2一 (4)、选择题：1 .设n阶矩阵A的行列式等于D,则(kA f等于(A) kA(B) knA(C) kn'A(D) A2 .设向量组A能由向量组B线性表示，则( (A) R(B) < R(A) (B) R(B) ： R(A) (C) R(B) = R(A) (D) R(B) , R(A)3 .设n阶矩阵A, B和C,则下列说法正确的是(A) AB = AC 则 B = C(B) AB=0,则 A =0 或 B(C) (AB)T =ATBT_2_ 2(D) (A B)(A

7、 - B) = A - B4.向量组 % =(1,0,0), "2 =(0,1,0),5= (0,0,0), Ct4 =(1,1,0)的最大无关组为(A) ：1,：2(B)：1,二2,二4(D) 1,12广35. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是(A)矩阵A有n个特征值(B)矩阵A有n个线性无关的特征向量(C)矩阵A的行列式A #0(D)矩阵A的特征方程没有重根一 (5)、单项选择题a11a12a133aii2aii一a12a131、若a21a22a23=1,则3a212a21一a22a23=()a31a32a333a312a31一a32a33A 、0B、3C、1D、-32、

8、设 A、B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则下列等式正确的是()A、(A +B)2 =A2 +B 2 +2AB b 、A 2 - B 2 = (A + B )(A - B )C、A(A +B) = (A + B)A、(A I )2 = A2 2A I3、设mxn矩阵A的秩等于n,则必有（）。m < n C 、 m a n4、设A、B为n阶方阵,则下列说法正确的是（A.若 ABC.若AB=0或B则A =0或BB.D.若AB若AB=0 ,则 A =0 或 B =O=0,则 A =0 且 B =0-15、设D' A32A42 =(、-1 C6、向量组0（1产；C（n线性无关的充要条件是A、

9、任意必不为零向量B、«1,«2, .；an中任两个向量的对应分量不成比例C、61,（/2, ,"Otn中有部分向量线性无关D、口1,口2, 一；（中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示7、设A为n阶方阵，且秩（A）=n-1启1,22是非齐次方程组 AX = B的两个不同的解向量，则 AX =0的通解为（）A k% B 、k% C 、k（%）D 、k巴 +%）8、已知 R（%,c（2,a3） =2, R（c（2,a3尸4）=3，则（）A ：1, ： 2, 13线性无关B、«2,«3«4线性相关C、%能由a2p3线性表示口 %能由%,

10、%,%线性表示一 （6）、1 +a11、行列式D = 1 + a21 +a32 a12 a22 a33a13 + a2的值为3 a3、1 C 、2 D 、32、设A、B、C为n阶方阵，则下列说法正确的是（）A、若 AB=O ,则 A =0或 B =0 B(A B)2 =A2 B2 2AB11_ 1C、(A B) = A BD、若 AB = AC ,则 B = C(1203、满足矩阵方程1 -1 2 Xd0bi'2 110的矩阵X =()102)2、(2 0、A 2 B 、1 36Lb4、设m m n矩阵A的秩等于n ,则必有（）-47 '3-3<4-5>A m =

11、n B 、m<n Cm > n D 、 m > n5、已知A, B,C均为n阶可逆矩阵，且ABC =I ,则下列结论必然成立的是A BCA = I BACB = I C 、BAC = I D 、CBA=I6、设A为n阶方阵，R（ A） = r < n ,则A的行向量中（）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示7、设A为n阶方阵，且r（A） =n 1, %, %是ax=。的两个不同解，则 华,久2 一定（）A、线性相关B、线性无关C不能相互线性表示D、有一个为零向量8、设有 n 维向量

12、组（I） : %,0（2,|,0（和（n）: c（1,c（2,lll,1am （m Ar），则（）.A向量组（i）线性无关时，向量组（n）线性无关B、向量组（I）线性相关时，向量组（n）线性相关c向量组(n)线性相关时，向量组(I)线性相关D、 向量组(n)线性无关时，向量组(I)线性相关一(7)选择题1.设A为n阶方阵，则正确的结论是()(A)如果A2=O,那么A=O (B) 如果A2=A,那么A=O或A=E(C)如果A=O,那么 A#0 (D) 如果|A=0,那么A#O-2)门=5y2 )L10、2>则(y，y2 )=(A) (1, 2)(B)(1,1)(C)(2, 1) (D) (

13、1, -1)2,则它们之间的123 .在矩阵A中增加一列而得到矩阵B,设A、B的秩分别为*关系必为：()(A)rr2(B) 1J (C)r(D)4 . A, B均为n阶矩阵，且(A + B)(A B) =A2 -B2,则必有(A) B = E (B) A = E (C) AB = BA (D) A = B5 .已知向量组A线性相关，则在这个向量组中()(A)必有一个零向量.(B)必有两个向量成比例.(C)必有一个向量是其余向量的线性组合.(D)任一个向量是其余向量的线性组合.6 .设A为n阶方阵，且秩R(A) =n-1, a1,a2是非齐次方程组 Ax =b的两个不同的解向量，则Ax=0的通解

14、为()(A) k(& a2) (B)k(a1 -a2)(C)ka1(D) ka2一.(8)选择题1 .设可.)表示排列的逆序数，则工(51324) = ()(A) 1(B) 5(C) 3(D) 22 .设巴尸243是四元非齐次线性方程组 Ax=b的三个解向量，且系数矩阵A的秩等于3,6=(123,4): /+0(3=(0,123);C表示任意常数，则方程组 Ax=b的通解 x =()七、12A(C)(D)3 .已知向量组IK,4线性相关，则(A)该向量组的任何部分组必线性相关(B)该向量组的任何部分组必线性无关(C)该向量组的秩小于m(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的4 .设有矩阵

15、AmK，BwCmo则下列运算可行的是()(D) CBTA(A) ABC (B)ATCB(C) ABCT5. n阶矩阵A可对角化，则(A) A的秩为n(B)(C) A有n个线性无关的特征向量A必有n个不同的特征值(D) A有n个两两正交的特征向量(A) 1(B) 2二.填空题k 16.若有 3 0<0 2(C)3(D) 4w 11.设矩阵A = 0 a d 110有一个特征值九=2,对应的特征向量为31、x= 2，则数a2一若3阶方阵A的三个特征根分别是1,2,3则方阵A的行列式A=3.设矩pi01 +a14 .行列式D = 1 + a21 +a32 +a13 + a12 +a2 3 +

16、a2的值为2 + a3 3 +a3110 15 .设矩阵A= 0 0 1 20 0 0 0为,则齐次线性方程组Ax = 0的基础解系的向量个数6 .设向量组 «1 =(1,3,6,2)T,a2 =(2,1,2,-1)T,% =(1,-1,a,-2)T 线性相关，则2 =二(2).填空题-2 11.设矩阵人=0 aT 110有一个特征值 九=2,对应的特征向量为3;1、x = 2 ,则数 a=a2.若n阶矩阵A有一个特征根为2。则 A-2I =，-1 03.设矩阵A=0 12 03 0 由4 .若n阶矩阵A满足A2 2A =4I ,则(I +A)=.5 .在5阶行列式中，项a21a32

17、a45a14a53的符号为6 .设向量组 % =(136,2);二 =(2,1,2,-1)T,% =(1,-1,a,-2)T 线性相关，则2 = 二(3)、填空题：1 .设A为三阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知|A=-1,那么A* =.2 . R(A+B )R(A)+ R (B).3 . n阶矩阵A满足 ,称A为正交矩阵4 .若值=(1 k 1T与 P =(1 -2 1 T 正交，则 k =5 .矩阵A = " 一3 I的逆矩阵为._.<0 2 J二(4)、填空题：1、1 , (1 2 3)0 =.2 . 排列7623451的逆序数是.3 .若A为m父n矩阵，则齐次线性方程组Ax

18、 = 0有非零解的充分必要条件是.的线性5、设豆1 =（2,5）T , 口2 =（1，a）T ,当 a =时，豆 1p2线性相关.-1 43 012一-1 06、仃列式-1 210二（7） .填空'11 "CC”1 .已知 A= ，则 A2016<0V2 .设九=2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵"A2；'的一个特征值为。31 2 3'3 .设A = 4 5 6 ,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为 < 3 3 3 ,4 .设A B均为4阶方阵，且A =2 , B = -3则A*B,=5 .在五阶行列式中，项a12a31a5

19、4a43a25的符号应取（ 填正号或负号）6 .已知B为可逆矩阵，则（B'）TT =二（8）填空1.设nu贝,1-33 1-A7 .矩阵万程组 Am珀X =B有解的充分必要条件是8 .设向量组 B:bj,b2,L ,b能由向量组 A:a1,a2,L ,am线性表示，则R(ai,a2,HI,am)«匕电,111 ,bj。(填或 或“1”)9 .设 AB 均为 3 阶方阵，且 |A=2, |B=3,则2ATB =10 设向量组 % =(1,1,1，% =(1,2,3 T , «3 =(1,3,t T 线性无关，则 t11 若n阶矩阵A有一个特征值是1,则A2 +5A 3

20、E有一个特征值(1).计算题一1 *1.设4=-15010 ,求(4E-A)T(4E-A)22.计算行列式1 x11111 -x11111 y11111 y3.解矩阵方程AX +B=X ,其中 A =0-1-112i5-10一3求线性方程组2x1 x2 - x3 x4 =14.*4x +2x2 2x3 +x4 =2 的解2x1 +x2 -x3 -x4 =15.设 A =12-3-14-31-2 ,已知A与对角形矩阵相似,A的特征值是22y ,求x和y的值。6 .给定向量组110a：2=23144=4、513已知矩阵A=(M, ：2, ：3,%)的秩为R(A)=2,求01-12-1-121-1

21、0-1 122002.解矩阵方程AX + B =X ,其中A =0-101-1-10一33.求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组, 性表示并将其余列向量用此极大无关组线4.求线性方程组5.设 A =x-232-262x15 -1“2 -x3< 4x1 +2x2 -2x;x4 = 13 +x4=2的解。2x1 x2 - x3 - x4 = 1-40<00：02>,已知A与B相似，求x和y的值。6.齐次线性方程组2x1 - x2 3xx1 - 3x2 4x中，当a为何值时有非零解，并求出其通2x2 ax3 = 0解。三(3)、计算题1.已知6'1 x +a b c2 .求

22、阶n行列式D= a x+b c a b x + c，-1 10、3 .求矩阵A= -4 3 0的特征值和特征向量. J 0 2(1 -F)Xi X2 X3 = 0,4 .设线性方程组 M+(1+K)X2+X3 =3，问£取何值时，此方程组(1)有唯一解； X1 X2 (1' )X3 -',(2)无解;(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解.5 .试求向量组 A:5 =(1,1,2,2)T , 口2 =(0,2,1,5)T, 口3 =(2,0,3,-1)T, a4 =(1,1,0,4)T 的秩和该向量组A的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示.6 .求下列

23、非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系，并用基础X1 - X2 - X3 + X4 = 0解系表示方程的通解4 X1 - X2 + X3 - 3X4 =1x1 - x2 -2x3 + 3X4 =-工2214 1 3-121三(4)、计算题1.计算4阶行列式D =12.求矩阵的逆A = 1021-1 1 3.1力12 3 2.一3 1 )求矩阵A =的特征值和特征向量4.问a取什么值时向量组L 3)a1=(a- 1 - 1); a2=(1 . a. -1)T. a 3=(1 . -1. a)T.1)线性相关，2) 线性无关.5.求下向量组的秩和一个最大无关组， 并把不属于最大无关组

24、的列向量用最大无1、'2、关组线性表示.% =4,a2 1, a3 3, a 4 5<2>°<2Jx xl x2 = 5的全部解，并用齐次线性方程组的基础解系表6.求方程组-2x1 +x2 +x3 +2x4 =15x1 3x2 2x3 2x4 = 3示出来.1一2二(5)、1、4-8139271 11 21 41 8113、判断矩阵A = | 21-1 -10 11 02、D n =：:1 1-T0 是否可逆，并求其逆矩阵0 (主对角线为0,其余为1)1 24、设矩阵A = | 3 1-26、求非齐次线性方程组三(6)、计算题1 +x 1111 -x 11、

25、111 + y111X1-x 2 +5x3-x4 =1x1+ x2 -2x3 +3x4 =3 j J 234的通解3x1 -x2 +8x3 +x4 = 5X1+ 3x2 -9x3 +7x4 =51111 -y112-3498 -2711111-24- 812 -1、3、判断矩阵 A = 310 是否可逆，若可逆请求其逆矩阵L 0 一2124、已知矩阵A= 4 t<3 -1-23的秩R(A) <3,请求t的值.15、求向量组 A：% =(-2,6,2,0)7, u2 =(1,2-1,0)T , a3 =(-2,-4,0,2)TJ =(0,10,2,2)T ,的一个极大无关组，并将其余

26、向量由它线性表示x1 -x2 +5x3 - x4 = -16、求齐次线性方程组1 .3设A3x1 +x2 -2x3 +3x4 =3 1234.3x1 - x2 +8x3 + x4 = 1x1 十3x2 -9x3 +7x4 =7(11,、TB二, 求 AB-2BT。2 1 )2.计算四阶行列式4 112D =10 50 12 40 22 01 7的值、2 5) 仅-6)一一3 .设 X =,求矩阵X、13J<21 ).一(3 2 .一4 .求矩阵A= 3的特征值和特征向量。送3；5。求向量组 «1=(1,-2,3,-1,2)T,二2二(3,-1,5,-3,-1)% =(5,0,7

27、,-5,-4) T, 口4=(2,1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。_i_x1- x26。求非齐次线性方程组<X1 - X211 X3 - X4 1X3 + x4 = 0的通解，并求其对应的齐次线性-2x3 2x4 =-42.3.(8)计算题1.设A =312计算五阶行列式D5 =求矩阵A =100021003210求 BA-AB。136080100904101025711100001432h的逆矩阵A.方程组的基础解系。4.00 2;T. ： 4=(1,1,0,4) T求矩阵A的特征值与特征向量，其中A= -4L 15

28、试求向量组%二(1,1,2,2) T, «2=(0,2,1,5) T, «3=(2,0,3,-1)的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。卜 X1 X2 X3 = 16.入取为何值时，线性方程组X1 + >x2 + X3 =九有唯一解，无穷多解，无解？为+X2 +九X3 =儿2四(1) .证明题1 .若A是反对称矩阵，B是对称矩阵，求证：AB是反对称矩阵的充要 条件是AB =BA.2 .已知向量组为乌自线性无关，% + 2%,%+2%,%+2%线性无关.四(2).证明题1 .设%是非齐次线性方程组 AX=b的一个特解，4,三是其导出组AX=0的

29、一 个基础解系，试证明：(1) 1=品+。，工="。+J均是AX=b的解；(2) %, I, %线性无关四(3)、证明题1 .设方阵A满足A-A-2E=O.证明A及A+2E都可逆.并求A,及(A+2E)，2 .已知 R( ai. a2. a3)=2. R( a. a3,闻=3.证明(1) ai能由a2. a3线性表示；(2) a 4不能由a1. a2. a3线性表小.四(4)、证明题1 .设方阵A满足A2-2AE=O.证明A+E都可逆.并求(A+E)2 .已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1 =a1 +a2,b2 =a2 +a3,b3 = a3 + a1,试证明向量组b,b2, h线性无关.四(5)、证明题1、设向量组 A : 口1,汽2，豆3线性无关，求证： «1 +口3,豆2 -«1 , 口2 +口3线性无关.2、设A为为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，求证：