江苏省金湖县实验中学八年级数学《第十四章第一节

1、哥的运算及整式乘法【同蟀育信息】惠蟠教学内容：第十四章第一节黑的运菖及整式乘法学习要求：1初步认识同底数霖的乘法、邪的乘右和和聃乘方.2理解单项式与单顼式相乘，U项式与汐项式相黍、多项式与多项式相乘的一般法则.学习重点C1 .同底数累的乘法、幕的乘方和积川来方.2 .多项式与多项式相乘的法则学习难点1 .曷的乘方积的乘方.2 .多血式与多项式的法则。【典型例题】二哥的运算1.同底数哥的乘法:首先观察:(1) 23X24=(2 X 2X2) X (2 X 2X 2X 2)=27(2) 53X54=(5 X 5X5) X (5 X 5X 5X 5)=57(3) a3 - a4=(a xaxa)x(

2、axaxax a尸a 7观察后得到运算的法则=同底数哥相乘，底数不变，指数相加。am - an(a a - aa)(a a a a) a a aa am nm个即am - an=am+n (m n为正整数)例1.计算：( 1) 73 X 75( 2)y5-y2(4) am - am+3(5) P2 - ( - P)4(m n)个(3) a a3 an(6) (x)3 x5分析：解决此题关键是正确掌握同底数塞的乘法法则:am an=am+n (nr n 为正整数)11且注意有关符号的变化：（一P）4=P4, （-x）3=-x3 解：（1 ） 73 X 75=73+5=78(2)(3)y5 . y

3、2=y5+2=y7a - a3 - an=a1+3 - an=a4 - an=a4+n(4) mm+3= m+m+= 2m+3(5) P2 - ( -P)4=P2 P4=P6(6) ( x) 3 - x5=- x3 - x5= x8汪息:1 .同底数哥的乘法是哥的运算的基础，非常重要。2 .由（3）可知 am - an - aP=am+n+P （n n、P均为正整数）例2.计算:(1)(2)(3)(-a)4- (-a)2- (-a)(a)4 (a2) - ( - a)x5 - x3 x4 - x4+x7 x+x2 x6(4) 33 36-3； - 36+3 (-3)7底数不同的要化分析：上面几

4、个题目均较为复杂，但主要是运用同底数哥相乘的法则,成相同才能使用法则，而且是同类项的要合并。解(1) ( - a)4 - (- a)2 - ( -a)=( a) 4+2+1=( a)7(2)(3)(4)(a)4 ( a2) ( a) =a 4 ( a2) ( a)=a4 a2 a=a4+2+1=a7265+34+47+12+6 x x x +x x+x - x =x x +x +x =x8x8+x8+x8=2x83+62+633 36 32 - 36+3 ( 3) 7=33+6 32+6+3 - ( - 37)=3 9- 38-312.哥的乘方:=3=(39 2 X 38=3 X 38 - 2

5、 X 38-2) X 38=38观察:(1)(2)(3)(2 3)2=23X 23=26(3 2)3=32X 32X 32=3(a3) 4=a3 a3 a3.2+2+2=36a3=a3X 4 = a12由此可得(am)n amm mna即()am n这也就是说:amn (m、n为正整数)哥的乘方，底数不变，指数相乘。例3.(1)(4)分析:计算：(103)5(3x 2y)23(2) (a n) (5)( -x) 2解答此题的关键是掌握哥的乘方性质，即:n为正整数)解：(1 ) (10 3) 5=103x5=1015(3) (an)2=a2n(3)(am3)2a2X(m3)(4)(3x- 2y)

6、23 = (3x23m )ac 2X 32y)2m 6a(3x(4)(am-3)2(6) - (x2)m底数不变，指数相乘。2y)6(5)(6)例4.(1)(3)解：(2)(-x) 2 m=(x 2) m=x2m-(x 2) m= - x2m计算：(a2)8 (a4)4(-x3)2- (-x2)3(1) (a2)8 - (a4)4=a2x8(4)a4叉 4=a16(一3x)3 ( -x2)4 (x -y)23- (y-x)a16=a16+16(-3x)3- (-x2)4=-(3x) 3 (x2)4=,(3x)= a323- x2x4=-(3 3Xx3) =-33x3+8=- 33 x11(3)

7、(4)(-x3)2- (-x2)3=(x3)2- -(x2)3=x6- (-x6)=-x12(x y)23 (y x)=(x y)6 一 (x y)= 一 (x y)6 (x y)= (x y)7 3.积的乘方：观察：11) (ab) 2=(ab) - (ab)=(a - a) (b - b)=a 2b2(2) (ab) 4=(ab)(ab)(ab)(ab)=(a- a a a) (b b b - b)=a4b4故而可知：(abanb)(ab)(ab)(ab) (a - a , aa) (b b bb)n个可得：(ab) n=anbn (n为整数)这就是说：积的乘方等于各因数乘方的积。例5.(

8、1)(3) 解：(2)(3)(4)例6.(1)(4)解：(2)(3)(2b)(-i 3 a)(2) (2 xa* 3)2(4) ( - 3x) 4(1) (2b) 3=23b3=8b3(2 x a3) 2=22(a 3) 2=4a6(-a) 3=(-1)3a3=-a3(3x) 4=(3)4 x4=81x4计算：(x2)3 (x2y)2 85X0.125 5(2) x8y6- (x 4y3) 2(3) 2x10 (2x 5)2(5) 162 X 24 X 42 (用2n的形式表示)(1) (x 2)3 (x 2y) 2=x6 x4y2=x1uy10 28 6 ( 4 3) 2= 8 64X2 3

9、X2= 8 68 6 =。2x10-(2x 5) 2=2x10-4x10=-2x1015111 u(4) 80X .1255 = 85 X()5(8X -)518+4+4=21688(5) 162X 24X 42=(2 4) 2 X 24X (2 2) 2=28 X 24 X 24=2二、整式的乘法：1 .单项式与单项式相乘：例7.(1).(2) 解：计算：3x2y ( 2xy3)(-5a2b3) -，、 一 2(1) 3xy (2)(-5a2b3) -(4b2c)(2xy3) =3(2) (x 2 x) (y y3)3 46x y(4b2c)=( -5) - (-4) - a2 (b3 -

10、b2) - c=20a2b5c对于只单项式与单项式相乘的法则：只要将它们的系数相乘，相同字母的哥分别相乘, 在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。例8.计算：(1) 3x2y ( 1x(4a2b5c) - 3ab6 ( 7b2c3)y2) 5xy2 3(2) (3.2 X 103) X(5 X 105)(3)( 4a2b5c) - 3ab6 ( 7b2c3)(4) ( 3m2n)3(3mn2)4解:(1) 3x2y 1x3y2) 5xy2 3.1 . .2323X( -)x5(x x5x6y5y2)(2)(3)=(=84a1 2 3241363448,(4) ( -m

11、n) - ( 3mn )() m n ( 3) m n 3316 348、(m n )(81m n )27O 10 113m n2 .单项式与多项式相乘：例9.计算：(1) 2a2(3a25b)(2) ( - 2a2) (3ab25ab3)解：(1) 2a2(3a25b)=2a2 3a22a2 5b=6a410a2b(2)( 2a2) - (3ab2- 5ab3)=( 2a2)(3ab 2) ( 2a2)(5ab 3)=-6a3b2-( - 10a3b3)r=6a3b2+10a3b3单项式与多项式相乘的法则：将单项式.分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加例 10.计算：x(x21)+2x 2

12、(x+1) 3x(2x5)解：原式=x3x+2x3+2x26x2+15x=3x3 4x2 + 14x例 11.已知：ab2= 6,求一ab(a 2b5ab3 b)的值。分析：此题应该先将单项式与多项式相乘，得出一些关于ab2的代数式，然后再求结果。解： ab(a 2b5 ab3b)= a3b6+a2b4+ab2=(ab 2) 3+(ab 2) 2+ab2=(6) +( 6) +( 6)=216+36 -6二2463 .多项式乘多项式：先研究(m+n)(a+b):将(m+n)看成一个整体，有(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+na+mb+nb由此可知，多项式乘多项式的法则：多

13、项式乘多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例12.计算：(1) (x+2)(x 3);(2) (3x1) (2x+1)解：(1) (x+2)(x - 3)=x 2 - 3x+2x - 6=x2 - x - 6(3) (3x1) (2x+1)=6x 2+3x-2x-1=6x2+x-1例13.计算：(1) (x3y)(x+7y);(2) (2x+5y)(3x -2y)解：(1) (x 3y)(x+7y)=x 2+7xy 3yx 21y2=x2+4xy 21y2(3) (2x+5y)(3x -2y)=6x 2-4xy+15yx - 10y2=6x2+11xy

14、 - 10y2例14.先化简，再求值：6x 2+(3x -2)(1 - 2x)+(x+2)(3 -x),其中 x=- 1解：6x2+(3x 2)(1 2x)+(x+2)(3 -x)=6x 2+(3x 2 6x2+4x)+(3x+6 x22x)=6x 2+3x-2-6x2+4x+3x+6 -x2-2x=-x2+8x+4=(1) 8+4=15 o例15.若不论x取何值，多项式 x3 2x2 4x 1与(x+1)(x 2+mx+n)都相等，求 m n。分析：先求出(x+1)与(x2+mx+n)的积，再比较积与 x3- 2x2- 4x- 1的系数。它们对 应项的系数应分别相等。解：(x+1)(x 2+

15、mx+n)=x x2+x mx+x n+x2+mx+n=x3+(m+1)x2+(m+n)x+n因为不论x取何值，两多项式相等，所以 m+1=- 2n= 1即 m=- 3, n= 1本课小结：1 .在哥的运算中，很多情况下要注意观察是否是同底数哥，若是才可以用其法则，否则， 不可以用其法则。2 .在整式的乘法中，要注意熟记这些法则，而且还要继续注意在使用哥的运算时观察其 底数。【模拟试题】1 .计算：(1) (x4)3, (2) (y3)2 -(y2)3, ( 3) 3y2 y35y y4,(4) (-P)2 - (-P)3 -P4-P - P3 - ( -P)5(5) t2 (t 3) 2,

16、( 6)8x62(x 2) 3, (7) (x x2 x3)4,( 8)(y 2) 24(9) 12y8-2y2 -(y2)3-3(y4)2-4(y y3)2(10) x3(x2y) 4, ( 11) (x2 x3+n)3(12) 3(x5)2- (x3)2-(2x3)2- (x2)5(13) (3a 3) 3+(3a3 - 3a6) - 3a9(14) ( 21)2003 - ( -) 2004 - ( 1)20057152 .计算：(1) 3xy 2x2y/O'1 5 3/923(2) -xy ( -)yx32c 1，(3) (3anb)( -a2nb2)2(4) ( 3ab2)(

17、2a 2 5ab1)(5) x(x y)+x(y x)(6) 3x( -x2-4x+1) -2x (3x2+x 5)(7) (x - 1)(x 2+x+1)(8) x(x21) (x+1)(x 2+1)(9) (x2-x- 1)(2x+1)3 .已知 162X 43X 26=22x-1 , (10) 2y=1012求 x+y 的值。4 .先化简再求值：-2x) (3x24x1)+6x32x,其中 |x2|=0。已知(x 2+px+8)(x 2 3x+q)的乘积中不含有 x2与x3的项，求p、q的值。G学习永远不晚，国米基(5.【试题答案】1 .计算：(1) (x4)3=x12(2) (y3)2

18、 (y2)3=y 3x( -x2-4x+1) -2x (3x2+x 5)= 3x312x2+3x 6x32x2+10x=9x3 14x2+13x (x 1)(x 2+x+1)=x3+x2+xx2x 1=x3 1 x(x 21) (x+1)(x 2+1)=x3 x x3 x2x 1 = x22x 1 y6=y12(3) 3y2 - y35y y4=3y55y x(x y)+x(y x)=x(x y) x(x y)=0=2y5(4) (-P)2 - (-P)3 - P4-P - P3 - ( - P)5=P2( - P3)_ - P4P4 ( P5)=P9+P (x 2-x- 1)(2x+1)=2

19、x 32x22x+x2 x1=2x3x23x1=0(5) t2 (t 3) 2=t 2 - 16=t 8(6) 8x6- 2(x 2) 3=8x6- 2x6=6x6(7) (x - x2 - x3)4=(x6) ( - 3ab2)(2a 2-5ab- 1)= - 6a3b2+15a2b3+3ab2=x24(8) (y 2) 2 4=y 4 4=y16(9) 12y82y2 (y2)33(y4)24(y - y3) 2=12y8- 2y8- 3y8- 4y8=3y8(10) x3(x 2y) 4=x3 x8y4=x故 2x- 1=20y4(11) (x 2 x3+m) 3=x x3J3+m)=x6+9+3m=x15+3m(12) 3(x5)2 (x3)2(2x3)2 (x2)5=3x3.解：162X 43X 26