专题01正弦定理深度精讲原卷版

1、2021-2021学年高一数学知识讲学必修5专题01正弦定理【知识导图】T初4的三甬见知丑注意三倩形的曲角和为120含再二的形的二边长a、b、c科由箍是勾股是建正理定理卜T星错知里卜T根本跟里卜在一个三谓形中,各边题它防对角的正法的比相等正宏定理的意义日正吃定理导出的结恰T a： b： u =inA士 :nB ： £1jC 卜一等比性施和圆加性造苴综占1H解三角形的定义一用正苑定理可以柒决怎样的解三角形问题T醐受苴中一边时怎库利解二*取解的个勃柄精和一边解三角指T已就晒边和其中一边的落角解三角形-1飞年正弦定理帝三甬形的面租 一一利用正弦定理判断三角九形iT【目标导航】1 .会推导正

2、弦定理；2 .会用正弦定理解一些简单的三角形度量问题;3 .能用正弦定理判断三角形的形状 .【重难点精讲】重点一、初中的三角形知识1任意三角形的内角和为180.；三条边满足：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,并且大边对大角,小边对小角.2直角三角形的三边长 a、b、c斜边满足勾股定理,即 a2+b2=c2.重点二、正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sinA sinB sinC重点三、由正弦定理导出的结论(1)a ： b ： c= sinA : sinB : sinC.(2)由等比性质和圆的性质可知,A<B? a<b? sinA<sinB.重点四、解

3、三角形旦=上=上sinA sinB sinCa+ b + csinA+ sinB+ sinC= 2R.其中,R为那BC外接圆的半径.(1)一般地,把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素.三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题任意两角与一边,求其他两边和一角.任意两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角 ).(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗以下图中,AC=AD;9BC与那BD的边角有何关系你发现了什么(4)两边及其中一边对角,怎样判断三

4、角形解的个数应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数.在9BC中,a、b和A,以点C为圆心,以边长 a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a= b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a= bsinA一解a<bsinA无解a、b、A,那BC解的情况如以下图示.(i )A为钝角或直角时解的情况如下：(ii)A为锐角时,解的情况如下:【典题精练】考点1、两角和一边解三角形例1.在 ABC中,b 2衣,A 60 , C 75° ,求边长a和4ABC的面

5、积.考点点睛：任意两角和一边,解三角形的步骤:求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；求边：根据正弦定理,求另外的两边.内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解.考点2、两边和其中一边的对角解三角形例2.在4ABC中,A 45 , b 5J2,分别根据以下条件,求 B.(1) a 4; (2) a 5; a 103；(4) a 10.3考点点睛：三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解,但要注意判定解的情况.根本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.判断解的情况.(2)求角：先根据正弦值求角,再根据内角和定理求第三角.(3)求边：根据正弦定理求第三条

6、边的长度.考点3、运用正弦定理求三角形的面积例3.在4ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.B 60 , aJ31c.(1)求A C的大小.(2)当x,一 时,f x cos2x asinx的最大值为a,求ABC的面积.6 21 、111一、.考点点睛：吊用的二角形的面积公式有：Szabc=2添x局；(2)Saabc = 2absinC = "acsinB = 2bcsinA ;要熟练掌握.考点4、利用正弦定理判断三角形形状的方法例4.在 ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,假设acos A bcosB ,试判断 ABC的形状.考点点睛：利用正弦定理判断三角形形状的方法：(1)化边为角.将题目中的所有条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识