第8章(变化的电磁场)习题课

1、上海大学物理系上海大学物理系第第8 8章章 变化的电磁场课堂讨论变化的电磁场课堂讨论1上海大学物理系上海大学物理系一一法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律p 对对N匝线圈匝线圈p 符号法则规定：符号法则规定：1.1.确定回路绕行方向确定回路绕行方向2.2.确定确定正负正负3.3.确定确定d d正负正负4.4.确定确定方向方向也可用楞次定律判断感应电动势方向p两类感应电动势两类感应电动势动生电动势和感生电动势动生电动势和感生电动势()idd NdNdtdtdt iddt 2上海大学物理系上海大学物理系动生电动势动生电动势特特点点磁场不变，闭合电路的磁场不变，闭合电路的整体或局部在磁场中运整体或局

2、部在磁场中运动导致回路中磁通量的动导致回路中磁通量的变化变化闭合回路的任何部分都闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发生变不动，空间磁场发生变化导致回路中磁通量变化导致回路中磁通量变化化原原因因由于由于S的变化引起回的变化引起回路中路中 m变化变化非静非静电力电力来源来源感生电场力感生电场力洛仑兹力洛仑兹力感生电动势感生电动势由于由于 的变化引起回的变化引起回路中路中 m变化变化BivBdliSBEdldSt 感3上海大学物理系上海大学物理系动生电动势动生电动势低电势b高电势a动生电动势动生电动势指向指向: :沿沿 方向方向。Bv课堂留下的思考：课堂留下的思考：动生电动势的非静电力来源动生电动势

3、的非静电力来源洛伦兹力洛伦兹力洛伦兹力作功？洛伦兹力作功？()=baBlBlvidv4上海大学物理系上海大学物理系计算动生电动势计算动生电动势分分 类类方方 法法平动平动转动转动mdidt ()biavBdl5上海大学物理系上海大学物理系均匀磁场均匀磁场 平动平动()dvBdl00sin90cos(90)vBdlsinBvdlsinBvdlsinBvL6上海大学物理系上海大学物理系典型结论典型结论特例特例+LsinBvLv+0v+BvLv7上海大学物理系上海大学物理系均匀磁场均匀磁场 闭合线圈平动闭合线圈平动0iddt 8上海大学物理系上海大学物理系感生电动势感生电动势非静电力：感生电场力非静

4、电力：感生电场力与与构成构成左旋关系左旋关系。BtE感感生电场感生电场电力线电力线 iSBEdldSt 感9上海大学物理系上海大学物理系由静止电荷产生由静止电荷产生由变化磁场产生由变化磁场产生线是线是“有头有尾有头有尾”的，的，是一组闭合曲线是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷起于正电荷而终于负电荷线是线是“无头无尾无头无尾”的的感生电场（涡旋电场）感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）静电场（库仑场）具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力01iSEdSq库0SEdS感0LEdl库LSBEdldSt 感E库E感10上海大学物理系上海大学物

5、理系二二自感与互感自感与互感p自感自感B阻碍本身回路电流的变阻碍本身回路电流的变化化 典型典型LI 2Ln VLdILdt 11上海大学物理系上海大学物理系二二自感与互感自感与互感p互感互感2121 1M I12122M I1221MMM1212121IMtIMt dddd电流 变化在线圈2中引起的感生电动势电流2变化在线圈1中引起的感生电动势12上海大学物理系上海大学物理系三、磁场的能量三、磁场的能量p自感磁能自感磁能p磁场能量密度磁场能量密度22111222BwHBHp磁场能量磁场能量212WLI12mmVVWw dVBHdV13上海大学物理系上海大学物理系计算自感系数计算自感系数LI L

6、dILdt 212WLI14上海大学物理系上海大学物理系积分形式积分形式四、麦克斯韦方程组四、麦克斯韦方程组全电流位移电流=SVD dSdVqLSBE dldSt 0SB dS00dLSSDDH dljdSIdSIItt15上海大学物理系上海大学物理系解解:思考：若思考：若线圈运动，线圈运动，结果如何？结果如何？mB dS2012h lhil dxx0 0 12lnsin2i lhlthmiddt 0 0 12lncos2i lhlth Ihl1l2x xdxdx例例1:无限长直导线无限长直导线I=I0sint，共面矩形线圈共面矩形线圈abcd，已已知知:l1,l2,h.求：求：ia ab b

7、c cd d16上海大学物理系上海大学物理系v1.若电流若电流I不变化不变化abdc线圈中的感应电动势：线圈中的感应电动势：方向方向:abc d解：解：1d2babaIlvBlvh12d2 ()cdcdIlvBlvhl1211()2abcdIl vhhlIhl1l2x xdxdxa ab bc cd d17上海大学物理系上海大学物理系v解二：解二：当当 x=h 时时方向方向:abc d1ddd2oIBslrr ddBs 2121dln22x lxIlxlIlrrx12d11 d()d2dIlxtxlxt ddxvt1211()2Il vhhlIhl1l2r rdrdra ab bc cd d1

8、8上海大学物理系上海大学物理系v若电流若电流i变化，由此位置运动到任意位置时，变化，由此位置运动到任意位置时，感应电动势（感应电动势（I=I0sint）解：解：ddBs 20 121dlnsin22x lxI lxlIlrtrx1 01 022sin11 d()lncos2d2l Itl Ixlxtxlxtx x=h+vt,ddxvt代入上式可得最终结果代入上式可得最终结果ddt Ihl1l2r rdrdra ab bc cd d19上海大学物理系上海大学物理系aOldl例例2 一根长为一根长为L的铜棒，在均匀磁场的铜棒，在均匀磁场B中以角速度中以角速度在在与磁场方向垂直的平面上做匀速转动。求

9、棒的两端之与磁场方向垂直的平面上做匀速转动。求棒的两端之间的感应电动势大小。间的感应电动势大小。动生电动势方向：动生电动势方向：a O0()LBlidv0LB l dv0LB l l d212BL 20上海大学物理系上海大学物理系方法二：方法二：OA AC C作辅助线，形成闭合回路作辅助线，形成闭合回路OACOOACO负号表示方向沿负号表示方向沿AOCAAOCA。OCOC、CACA段没有动生电动势段没有动生电动势BS 212SL212BLtt idddd212BL 21上海大学物理系上海大学物理系例例3 一长直导线中通电流一长直导线中通电流 I =10A，有一长为，有一长为L= 0.2m的金属

10、棒与导线垂直共面。当棒以速度的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度v v = 2 m/s平平行于长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。行于长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。dxxIavABl方向方向 BA02IBx()BxBx idddvv02a laIxx idv0ln2Iala v22上海大学物理系上海大学物理系例例4 如图，有一半径为如图，有一半径为r=10cm的的100匝圆形线圈，置于均匀磁匝圆形线圈，置于均匀磁场场B=0.5T中。线圈可绕通过圆心的轴中。线圈可绕通过圆心的轴O1O2转动，转速转动，转速n=600r/min。求线圈自图示的初始位置转过。求线圈自图示的初始位置转过

11、/2时，（时，（1）线圈）线圈中的瞬时电流（线圈中的电阻为中的瞬时电流（线圈中的电阻为R=100，不计自感）；（，不计自感）；（2）圆心处磁感应强度。圆心处磁感应强度。OBO1O2解：解：（1）当线圈转过）当线圈转过=t角时，角时，cosNBSt sinidNBStdt感应电动势大小感应电动势大小感应电流感应电流siniiNBStIRR23发电机原理发电机原理上海大学物理系上海大学物理系siniiNBStIRR2 2, 2nSr把代入上式222=sin0.992iNBr nIAR（2）圆心处的磁感应强度为原磁场与感应电流产生的磁场叠加）圆心处的磁感应强度为原磁场与感应电流产生的磁场叠加感应磁场

12、感应磁场406.22 10 B2NIBTr 方向圆心处的圆心处的磁感应强磁感应强度度220=0.5BBBT24视作圆电流在圆心处激发的磁场，视作圆电流在圆心处激发的磁场，I I代入感应电流的值代入感应电流的值上海大学物理系上海大学物理系例例5 如图，如图，有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，求有一匀强磁场分布在一圆柱形区域内，求杆两端的感应电动势的大小和方向。杆两端的感应电动势的大小和方向。BROabcdoabdodBSdt解解:0BtoabdooabobdSSS21312226RRR223()412dBRRdtac方向RR25上海大学物理系上海大学物理系思考：如图情况，等腰梯形回路中的感生电动

13、势，如思考：如图情况，等腰梯形回路中的感生电动势，如何求？何求？abcdR0Bt26上海大学物理系上海大学物理系例例6 两根平行长直导线横截面半径都是两根平行长直导线横截面半径都是 a ，中心相距为，中心相距为 d ，属于同一回路，设两导线内部的磁通量不计，求这样属于同一回路，设两导线内部的磁通量不计，求这样 一对导一对导线之间长为线之间长为 l ，宽为，宽为d的那块面积里（黄色阴影）的自感的那块面积里（黄色阴影）的自感 。aalrIdI解解:ddBs d22 ()ooIIlrrdrddBs () d22 ()d aaIIlrrdrlnIldaaLIlnldaa27上海大学物理系上海大学物理系

14、解解: :设直导线中通有自下而上的电流设直导线中通有自下而上的电流I, ,它通过矩形线圈的磁通它通过矩形线圈的磁通链数为链数为互感为互感为Idr例例7 如图所示如图所示, ,在磁导率为在磁导率为的均匀无限大磁介质中的均匀无限大磁介质中, ,一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为一无限长直载流导线与矩形线圈一边相距为a, ,线圈共线圈共N匝匝, ,其尺寸见图示其尺寸见图示, ,求它们的互感系数求它们的互感系数. .labsNB dSln22a baINIlabNldrraln2NlabMIa28上海大学物理系上海大学物理系Ih2R1Rdr例例8 截面为矩形的螺绕环共截面为矩形的螺绕环共N匝，在螺

15、绕环的轴线上有一无限匝，在螺绕环的轴线上有一无限长直导线长直导线,求：螺绕环的自感系数；求：螺绕环的自感系数； 长直导线与螺绕环的长直导线与螺绕环的互感系数；互感系数； 在螺绕环内通以电流在螺绕环内通以电流I,螺绕环内的磁能。螺绕环内的磁能。已知已知R1 、R2 、h、N解：解：(1) 设螺线管环中电流为设螺线管环中电流为I，取以，取以环中心为圆心，半径为环中心为圆心，半径为r的圆形回的圆形回路，由安培环路定理，路，由安培环路定理，rlH dlNI2NIHr2NIBr2NIdB dShdrr 212RRNIhdrdr 21ln()2RNIhR29上海大学物理系上海大学物理系221ln()2RN

16、 IhNR 221ln()2RN hLIR(2)长直导线与螺绕环的互感系数长直导线与螺绕环的互感系数直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为 1 1 。螺绕环通过电流。螺绕环通过电流为为I1 1时，通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链。时，通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链。 12221211111/ln/ln22oNhNI hRRMIIRR30磁链就是全磁通上海大学物理系上海大学物理系当直导线通过电流为当直导线通过电流为I2时，通过螺绕环截面的磁通量：时，通过螺绕环截面的磁通量： 22IBr2ddd2IBsh rr 212221ddd

17、ln22RRII hRBsh rrR 2221212222111/ln/ln22NI hRRNhMIIMRR31上海大学物理系上海大学物理系在螺绕环内通以电流在螺绕环内通以电流I, ,螺绕环内的磁能螺绕环内的磁能212mWLI221ln2RN hLR2221ln4mRN hIWR另解另解12mwBH222212 228NININ Irrr21222228RmVRN IWw dVhrdrr2221ln4RN hIR32上海大学物理系上海大学物理系例例9 如一平行板电容器，两极板为半径如一平行板电容器，两极板为半径R R的金属薄板，极板间的金属薄板，极板间是空气，此电容器与交变电源相接，极板上电量

18、随时间变化的是空气，此电容器与交变电源相接，极板上电量随时间变化的关系为关系为q=q0sint。求。求（1）电容器极板间位移电流及位移电流）电容器极板间位移电流及位移电流密度；（密度；（2）极板间离中心轴线距离为）极板间离中心轴线距离为r（rR）处的）处的b点磁场强点磁场强度度H的大小；（的大小；（3）当）当t=/4 时，时，b点的电磁场能量密度。点的电磁场能量密度。解：解：DDDSSDISjSttdddd（1）02sinqtqDSR0cosDDIqttdd0sinDDSqt02cosDDqtIjSR33位移电流密度位移电流密度= =位移电流位移电流/ /面积面积上海大学物理系上海大学物理系1

19、S2SL0IdIKD此题可由电流连续性原理求得此题可由电流连续性原理求得位移电流位移电流0cosDDdqIqttdtdd（2）极板间离中心轴线距离为）极板间离中心轴线距离为r处的处的磁场强度磁场强度H的大小的大小根据全电流安培定理根据全电流安培定理0LSSDDH dlIdSdStt202cos2qtrHrR02cos2qrtHR34S S变小了变小了上海大学物理系上海大学物理系（3）当）当t=/4 时，时，b点的电磁场能量密度点的电磁场能量密度0022cos2216qrtq rHRR当当t=/4 时时0022000sin22qtqDERR 电磁场能量密度电磁场能量密度2200222002401

20、1221 =464mewwwHEqrR 35= =电场能量密度电场能量密度+ +磁场能量密度磁场能量密度上海大学物理系上海大学物理系练习练习1 如图所示半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运如图所示半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁力线运动。求：动生电动势。动。求：动生电动势。解：解：（1）作辅助线，形成闭合回）作辅助线，形成闭合回路，回路中感应电动势为路，回路中感应电动势为0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +R2abRBv半圆方向方向abBvab36判断感应电动势方向用楞次定律或是左手判断感应电动势方向用楞次定律或是左手法则，上题中，用左手法则，

21、法则，上题中，用左手法则，a a是正极，是正极，b b是负极，电动势方向由正极指向负极，与是负极，电动势方向由正极指向负极，与感应电流方向相同。感应电流方向相同。上海大学物理系上海大学物理系解法二：解法二：+R2RBv方向方向ab()baBlidvBvabldd0sin90cosbavBdl22cosvBRd Bv37上海大学物理系上海大学物理系练习练习2 一根长为一根长为L的金属细杆的金属细杆ab绕竖直轴绕竖直轴O1O2以角速度以角速度在水在水平面内旋转，平面内旋转，O1O2轴在离细杆轴在离细杆a端端L/5处。若已知均匀磁场处。若已知均匀磁场B平行平行于于O1O2轴。求轴。求ab两端间的电势

22、差两端间的电势差Ua Ub。O1O2L/5abB解：解：设金属细杆设金属细杆ab与竖直轴与竖直轴O1O2交于交于点点O，将将ab两端的动生电动势看成两端的动生电动势看成ao与与ob两段动生电动势的两段动生电动势的串联串联. 间的动生电动势：间的动生电动势： _Ob5/40225/40150165421LLBLLBBldll dBvb b点电势高于点电势高于O O点。点。_Oa间的动生电动势：间的动生电动势： 5/025/02501LLBLBldll dBva a点电势高于点电势高于O O点点222211163505010abUUBLBLBL 38上海大学物理系上海大学物理系练习练习3 如图在面积为如图在面积为1m2的回路中，有一垂直于纸面向内的均的回路中，有一垂直于纸面向内的均匀磁场。设磁场以匀磁场。设磁场以1T/S匀速增加，匀速增加，R1=100 ，R2=900 。求：。求：回路中回路中A、D两点间的电势差两点间的电势差UD UA。解：解：回路中产生的感生电动势回路中产生的感生电动势20.9 vDAUUIR R1R2ADBdBdt1 (v)id