数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

1、第十一章反常积分复习自测题、体会各类反常积分(无穷积分、瑕积分和混合反常积分)的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义, 面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下1,c(1)下dx (a 0)； (2)a x2、正确地判断下列反常积分的敛散性：4 dx x(a 0);-1dx0 p0 x(a 0)。1(1)dx (aa x(ln x)1)；1 x(ln x)ydx (a p1)； (3)Udx。3、探索下列反常积分的敛散性,若收敛，并求其值:/、1/、(1)dx; (2)0 1 x21,、2 dx ; (3)

2、1 x20 彳 2.1 xdx ; (4)1 x24、用定义据理说明下面的关系: 函数的积分特征)(反常积分的牛顿莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶(1)若函数f (x)在a,)上连续,F(x)为 f(x)在a,)上的原函数，记则无穷积分f (x)dx收敛(2)若函数f(x)在(F(则无穷积分f (x)dx收敛(3)若函数F(F()xim f (x),lim f (x)存在，且 xf (x)dx F(x) a)上连续，5J)为£仁)在()上的原函数，记)limxF()f (x)和 g(x)都在a,f (x)g (x)dx 收敛其中 f()g() Jimf(x), F( ) lim

3、xlim f (x)和 F( xf(x)dx F(x)上连续可微，且f (x)g(x)dx 收敛，且f (x)g (x)dx f(x)g(x)f (x)g(x)。f(x),lim f(x)都存在,且 xlim f (x) g(x)存在，则无穷积分 xf (x)g(x)dx,)上连续可导,(4)若函数f(x)在a,)上连续，x (t)在,)(其中为有限数或且严格单调递增,敛，且(,)a,)，则无穷积分 f(x)dx收敛a积分f( (t) (t)dt 收f (x)dxf( (t) (t)dt。(5)设函数f (x)在(，)上连续,若f (x)为偶函数，则f(x)dx收敛 ° f(x)dx

4、收敛，且f (x)dx 2 ° f(x)dx;若f(x)为奇函数，则 f(x)dx收敛 ° f(x)dx收敛，且提示：注意由换元法可得f (x)dx 0。0x t 0f(x)dxf ( t)dt 0 f ( t)dtf (t)dt,f为偶函数f(t)dt, f为奇函数、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分 b f (x)dx收敛不一定能推出瑕积分af2(x)dx;无穷积分f (x)dx收敛也不定能推出无穷积分f2 (x)dx收敛；a注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。2、无穷积分f (x)dx收敛不一定能推出无穷积分f(x)dx收敛;注：注意与定积分的绝对值性质的区别

5、。3、设函数f (x)在a,)上连续，且 f(x)dx收敛，则lim f (x) 0不一定成立；ax、通过下面的问题探索lim f(x)的情况：x1、设函数f(x)定义在a,)上，且在任何a,ua,)上可积，f(x)dx收敛，若aJim f (x) A存在，则 Jm f (x) 0；2、利用1探索：(1)设函数f (x)在a,)上单调，且f(x)dx收敛，则lim f (x) 0；ax(2)设函数f (x)在a,)上连续可导，且f (x)dx与 f (x)dx都收敛，则aalim f (x) 0；x3、设函数f (x)在a,)上连续，且f(x)dx收敛，贝Ulim f(x) 0xf (x)在a

6、,)上4、设函数f (x)在a,)上连续，且f(x)dx收敛，试探索下面的问题:(1)证明：当u a时，limu uf (x)dx 0 (其中c为任意给定的正数)limn提示：注意到无穷积分的定义即可。f (x)dx 0;(2)利用(1)和积分第一中值公式证明:a,)中，存在严格递增的数列 xn满足:lim xnnlimnf(xn) 0；(3)类似于(1)方法证明：若函数 f (x)在a,)上单调递增(减)f(x)dx 收敛,f(x) o(3x则还有 lim xf (x) 0。x注：注意到第三大题的第 2小题(1), (3)表明:提示：不妨设f (x)在a,)上单调递增，注意到下面的积分不等式

7、以及无穷积分的定义即可:u2a 时，2 1 f (x)dx u22uuf (u) f (x)dx。u5、若函数f (x)在a,)(a 0)上连续可微,且单调递增(减)，则f (x)dx收敛xf (x)dx收敛。提示：利用第三大题的第4小题(3)以及反常积分的分部积分公式f (x)dx。a xf (x)dx xdf (x) xf (x)四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质(注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用)；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：1、若无穷积分f(x)dx收敛，无穷积分g(x)dx发散，则无穷积分

8、a f(x)g(x) dx 发散;提示：反证法。2、判断21dx的敛散性;x ln x3、利用适当性质说明：在无穷积分f(x)dx中,当f(x)同号时,f (x)dx收敛等价于f (x) dx收敛(即f(x)dx绝对收敛)，因此，当f(x)同号时,f (x)dx敛散性的判别等价于f (x) dx敛散性的判另I。五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题:设函数f(x), g(x)和h(x)都定义在a,)上，且它们在任何a,ua,)上可积，若对任意 x a,),有 g(x) f(x)h(x),则(1)当g(x)dx和 h(x)dx都收敛时,f (x)dx也收敛;敛，且

9、a提示:g(x)dx 和g(x)dx a(1)用柯西准则;h(x)dx都收敛，且f (x)dxah(x)dx。g(x)dxh(x)dx 时,f (x)dx 收a(2)可直接用定义和极限的迫敛性。熟悉柯西判别法中适当哥六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法,函数的两种常见的选择手段( 等价量的代换手段、与募函数变化快慢进行比较的手段)；养成在选择试用绝对收敛的判别法解决下面的判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。问题:判断下列反常积分的敛散性:1、0sin kx7 dx1 x2coskx1 x2sin kx /dx (1 x2),coskx /dx

10、(2);2、0)xn arctanxdx (0)3、4、0),nxln(1+ sin)dxxdxx ln xdx。10);ln(1 xp4xln(1 x)xp七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法， 理解这两个判别法之间 的内在关系(阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出 )，熟悉如何选择适当的变换 将瑕积分转化为无穷积分。试解决下面的问题：1、判断下面反常积分的收敛性(在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛， 还是条件收敛)sinx(1dx1 xpm 0和n为常数)；cosx .丁 dxsin(mx n)xpdxcos(mx n)xpdx

11、,(其中p 0(2)sin x , dx1 xsin x ,dxx2sinx2dx8sx2dX,1xsinx4dx;提示:(3)利用(1)或变量替换后再用(1 1 1 ,.sin - dx ;0 x x1)。提示:1作变量替换t 化为无穷积分后再用x(1)。2、设函数f (x)在a,)上单调递减，且lim f (x) x(注意此条件蕴含了f (x) 0,为什么)，则(1)f (x)sin xdx 与f (x)cos xdx 都收敛;提示:用狄里克雷判别法。(2)若进一步有f(x)dx收敛，则f (x)sin xdx 与f (x)cos xdx 者B绝对收敛；若aa进一步有f (x)dx发散，则

12、f (x)sin xdx 与f (x)cos xdx都条件收敛。提示：类似于第七大题第 1小题(1)的方法。(3)若把函数f (x) “在a,)上单调递减”改为“在a,)上单调递增”，上述结果是否有变化注：此问题为第七大题第1小题(1)的一般情形。3、设函数f (x)在a,)(a 0)上连续，且xf(x)dx收敛，探索f(x)dx 和aalnx .f (x) dxx的收敛性。提示：用阿贝尔判别法。八、试讨论下列反常积分的敛散性( 注意：先正确地判断类型；再注意混合反常积分敛散性的含义1、1()1 x dx;1 x2、I(p)3、I(p)ln(1 x)xpsinx , rdx x(其中p 0)。

13、九、反常积分的典型计算问题:(注意：在反常积分值的计算中经常采用线性性、区间可加性、以及第一大题中涉及的牛顿莱布尼茨公式、换元法和分部积分法)1、计算瑕积分I02ln sin x dx2 ln cosx dx (0ln 2)的值;2提示：先用线性性,2I02ln sinx dx02 ln 8sxdx021nlsin2x dx其中对其中2、ln 22 ln20sin2x dxIn sin 2x dx用适当换元法和区间可加性,2 ln sin2x dx0t 2x 1ln sint dtlnsint dtln sint2dtInsint dt再用适当换兀,利用1计算下列反常积分的值:(1)提示:(1

14、)(2)xln sin x dx; (2)用适当换元x0 xln sinx用分部积分法推出,xsin xdx0 1 cosxln0(3)用线性性及(4)用换元xln sin t2tdtInsin udu。xsin x dx ;1 cosxt和区间可加性推出dx(3)Intan xdx ; (4)ln x2dx。1 x20 xdln 1xln 1cosx dx021n sinxcosxcosxdxInsin x dx 。xln 1cosxcosx0,ln 1 cosx2.ln2sin xdx 0ln2 2ln sinx dx。01,并注意到ln tanx lntant 及(3)。3、通过计算的方

15、法探索无穷积分提示：先用区间可加性得,0(1 x2)(1 x )dxsinx lncosx 。1(1x2)(1x )dx与的关系,f算出它的值。(1x2)1。x)dx2Tdx , (1 x )(1 x )再用换元从而表明01_(1 x2)(14、计算无穷积分0提示：用分部积分法。5、伏如兰积分问题f(ax) f(bx)dx(1)若 lim f(x) X(2)若无穷积分2dx(1 x2)(1 x )1(1x2)(1dx与 x )dx x )无关。e ax cosbxdx 和:设函数f (x)在0,(称为伏如兰积分k存在，则 0以dx收敛, x1工一厂dt(1 ()(1 t1)1.2 dx arc

16、tanx1 x2axsinbxdx的值，其中2dt ， (1 t2)(1 t )0。)上连续，b a 0,按下面的步骤探索反常积分)的值:f (ax) f (bx)dx f (0)xf (ax) f (bx) dx提示：首先可断定此积分为混合反常积分，因此,bk ln;a b f (0)ln -。 af(ax) f(bx)dx 1 f(ax) f(bx)dxlim0X1 f(ax) f(bx)dxf(ax) f(bx)dxlim0 uXf(ax) f(bx)dxxlimuXu f(ax) f(bx) dx1 xf(ax) f(bx)dxlim0 uf(ax) f(bx)dx再对u f (ax) f(bx)dx用线性性,变量替换Xax , t bx和区间可加性,u f (ax) f (bx) dxxu f (ax).-dxxau 3 dtbutfffitf(t)tdtdtaubu