利用导数研究方程的根和函数的零

1、利用导数研究方程的根和函数 的零点利用导数研究方程的根和函数的零点5.(2009福建文)(本小题满分12分)已知函数/(X)= ； / +(IX2 +匕尤且f ,(-1) = 0(D试用含“的代数式表示。；(II)求心)的单调区间；(in)令”7,设函数/在xx2(x <x2) 处取得极 值，记点M(% J(N), N(x?,/(x2),证明：线段MN与曲线/(A) 存在异于何、N的公共点； 5.解法一：(I )依题意 9 得 f V) = v2 + 2cix+h 由尸(一1) = 1-24 +。= 0得/? = 2-1(II)由(D得f(x) = -x3 + ax2 + (2a - l

2、)x (令/*(%)=0,. 当 >1时, 当x变化时,(1 + 8)/1« +f(x)单调递增一 +单调递减单调递增f x) = x2 + lax+2t/-l = (x+l)(x+2-1)则汇=一1或尤=1 一2。-2a<-,.(x)与/ J)的变化情况如下表：("co1-2a)由此得，函数小)的单调增区间为(i-24和(T+s)， 单调减区间为(1-267,-1)由"1时，1-2”一 1,此时，尸(小0恒成立，且仅 在I处“M。，故函数小)的单调区间为R 当"耐， -2a > -1 , 同理可得函数/的单调增 区间为(一,1)和9

3、单调减区间为(-1,1-26/)综上：当41时,函数/（X）的单调增区间为（f ,1一初和（一1,+6）, 单调减区间为（1-2-1）；当一时，函数小）的单调增区间为R；当4<1时，函数/（X）的单调增区间为（-6,一1）和（1一九）9单调减区间为（T1 - 2）（HI）当 4=-1 时，得/（X）= x5 -x2 - 3x由/'（x）= -2x-3 = 0, 得为=-1,=3由（II ）得人）的单调增区间为SI）和（3*）, 单调减区间为（-1,3）所以函数/*)在N =-l.x2 =3处取得极值。故 M（0N（3,9）所以直线MN的方程为尸1 ， 一,=4工7 _3x的-3x

4、2 - x + 3 = 08 ty =x 13令 E(x) = x33x2x+3易得F(0) = 3>0,F(2) = -3<0 9 而 F0) 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线,故尸在（0,2）内存在零点小,这表明线段MN与曲线小）有异于的公共点 解法二：（I）同解法一（II）同解法一。%3 -x2 -3% , 由r(x) = x?-2工-3 = 0 , 3%（ni）当=-1时9得/（幻=得玉=-l,x2 =3由（II）得小）的单调增区间为SI）和（3,）, 单 调减区间为T3）,所以函数心）在内-=3处取得 极值， 故加(1,沁(3,9) 所以直线W的方程为厂x3 -3

5、x2 -x + 3 = 08 ty =x-13解得x, =-1,占=1多=3所以线段的与曲线g）有异于MW的公共点（L914.（2009江西文）（本小题满分12分）设函数/（x） = x,-#+6x-4 .（1）对于任意实数X,广0恒成立，求 7的最大值；（2）若方程/（幻=0有且仅有一个实根，求的取14.解:成立,(1) f (x) = 3x2 - 9x+6 = 3(x - l)(x - 2),因为(-00,+cO),/ (幻之"7,即 3-9x+(6-z) NO恒艮的1大所以 A = 81-12(6-m)<05 得?, 4值为-；因为当%<1时，/(x)>0；当

6、l<x<2时，/(x)v0；当。>2 时,/(x)>0；所以当入=1时,/*)取极大值/(1) = |一； 当x = 2时取极小值,2) = 2-；故当2)>0或/(1)<0时，方程/(幻=0仅有一个实根.解得”2或23. (2009陕西文)(本小题满分12分)已知函5( /(x) = x3 -3ax,a 丰 0求小)的单调区间；(II)若 /1)在工=-1处取得极值，直线y=m与y = /'(X)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。23 .解析：(1) / (x) = 3x2 3a = 3(x2 a), 当火。时，对、“，有/(x)>。，

7、当4<0时,/(上)的单调增区间为(f»)当40时,由/ (刈>0解得_¥<一或工>；<X<G 9/(X)的当。时，小)的单调增区间为(一一石),(疯 口)； 单调减区间为(-而疯。(2)因为小)在1=7处取得极大值， 所以/ (-1) = 3 X (-1)2 - = 0, /. 6/ = 1.所以 /(a) = x3-3x-1,/ (a) = 3x2-3,由/) = 0解得再=-抬=1 o由(D中心)的单调性可知，小)在处取得极大值/(1)=1，在皿处取得极小值/=一3因为直线与函数）=小）的图象有三个不同的交点,又/(-3) = -1

8、9-3, /(3) = 17>1,结合N）的单调性可知,的取值范围是（一3）o12. （2010年高考湖北卷文科21）（本小题满分 14分)设函数/（X）=9一广+bx+c ,其中a>0,曲线）, = /（x）在点P （0, /（0）处的切线方程为y=l （I ）确定b、c的值（II）设曲线 y = /（x）在点（X, /（X）及（x2, /（x2）处的切线都过点（0,2）证明：当.x耐, /。*/也）（m）若过点（o,2）可作曲线尸小）的三条不同切线，求a的取值范围。本小强主要名笠函数的m调性、极0L导数券基本知识.同时考选综合运用数学知iSl迸 污推理论证的能力.（潴分14分）

9、（I）由/®> 二 !/一色/4 取及 J： /<0）no）«b .。4又由曲线y = /（x）在点.r（QJ（0）处的切绘方程为> = 1.匐f（0）=】,广=0.裁 6 = 0.。 I .（11） J3二;上一/1，。）彳ror,由于心仁/）处的团戏方样为.而戊©2）在切纹上.所以2-/“）=/'qx-，），化前汽 即，满足的方程为）一3，”0.3232卜.施用反证法注明.假设/"M T'g）»由于曲线y - jx） ft点ex”/（得）> 及（七,/（小）处的切线都过点（0,2）,则下列等式成文：数

10、学（文史炎）试卷参用答案绻4页（共5页）(11天津文)19.(本小题满分14分)已知函数 f(x) = 4x3 + 3tx2 -6r2x+r-l,xe 7?, 其中(I)当时，求曲线y = f(x)在点 (0, /(0) 处的切 线方程；(II)当"。时，求、)的单调区间;(in)证明：对任意的飞(o,+«)j(x)在区间(0/)内 均存在零点.(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导 数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函 数的零点、解不等式等基础知识，考查运算 能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 (I ) 解：当时， /(x) = 4父 + 3x2 6x, /(

11、O) = 0, fXx) = 12x2 +6x 6r(0) = 6,所以曲线y = "X)在点(O J(O)处的切线方程 为J y = 6x.(II )解： ff(x) = 12/+ 6tx-6t2 9 令/(X)= 0 , 解得 x = T 或r =.2因为,工。，以下分两种情况讨论：(1)若，则/ T,当x变化时(x),/(x)的变化情 况如下表：X(!修I广。）+fM/、/所以，小）的单调递增区间是卜若),(T,+s);/(x)的单调递减区间是七”。若”0,则-V，当入变化时，）J*）的变化情况如下表：X(-NJ)、词(广。）+fM/、/所以，心）的单调递增区间是（一F，（小,

12、（幻的单调递减区间是（ni）证明：由（II）可知，当，。时，“X）在 （。心内的单调递减，在已臼内单调递增，以 下分两种情况讨论：（1）当合1,即心2时，心）在（0, 1）内单调递 减，/(0) = r-l>0,/(l) = -6r+4r + 3<-6x4 + 4x2 + 3<0.所以对任意y2,+«)j(x)在区间(0, 1)内均存在 零点。/ 曲 Z - 2 阴 ) 2在内单调递t e (0,1, J (1) = -7, + <v。，/(l) = -6r+4/ + 3>-6+4/ + 3 = -2r + 3>0.所以/在巳1内存在零点。若ij(

13、%T/(0) = r-l>0所以/（X）在0,?内存在零点。所以,对任意fe （0.2）J（x）在区间（0, 1）内均存 在零点。综上，对任意在区间（0, 1）内均存在零点。y = /")在10. 12012高考江苏18 （16分）若函数X3处取得极大值或极小值，则称/为函数, =小）的极值点。已知"，是实数，1和-1是函数/(x) = f+a+x的两 个极值点.求和的值;(2)设函数g(x)的导函数g1x) = f(x) + 2 9求g(x)的极值点;(3)设心) = “f(x)-c,其中 ce-2,2, 求函数y = h(x) 的 零点个数.【答案】解：(1)由f

14、(x) = x3+ax2+bx 9 得/(%) = 3r+26+ oVI和T是函数f (%) = x3 +ar2 +bx 的两个极值点，(1) = 3 + 2c/ + /?=0，/(-1) = 3 -+ b=0 ,解得a=0, Z?=-3 o(2)V由得，/(x) = x3-3x 9 = f(x) + 2=x3 - 3x + 2=(x-1)2(X + 2) ,n =占=1, Xy= - 2 o当 xv-2 时，g，(x)vO；当-2<xvl 时,g'(x)>0,一=-2是於)的极值点。:当-2J<1 或 x>l 时, g(X)>0 9 I.X=1不是的极值

15、点。，g*)的极值点是一 2。(3 )令/a)。，贝!I (x)=.fa)-0 °先讨论关于X的方程 fM=d 根 的情况：dj-2, 2当昨2时，由(2 )可知， /U)=-2 的两个不同的根为I和一 2 ,注意到小)是奇函 数，e)=2的两个不同的根为一和2。当 图<2 时, r f(-l)-d=f(2)-d=2-d>0 9/(I) -Jf(-2)-J=-2-J<0 f六一 2 , -1, 1 , 2都不是 /(X)=d 的根。由(1)知/(a)=3(a + I)(x-1)o当"(2+8)时, /(A) > 0 ，于是/(X) 是单调增函数，从而

16、/(-V)> /(2)=2。此时/(x)W在(2 + 8)无实根。当"(1,2)时. f(x) > 0 , 于是 /(X)是 单调增函数。XV /(l)-t/<0 , /一">0, y=f(x)-d 图象不间断，/ /(x)=j 在(1 , 2 )内有唯一 实根。同理，之/在(一 2 ， 一 I )内有唯一实根。当xw(-L 1)时， /axo, 于是/是单调减两数。又/(一1)-4>0,/(1)-J<O , >")一/的图象不间断，在(一 1, 1 )内有唯一 实根。因此，当昨2时， /0)=" 有两个不同的根

17、知/满足闻=1，同=2；当|<2时以xgd有三个不同的根x，满足加2, /=3, 4, 5 o现考虑函数)=人的零点：(i)当kN时， ,f(t)=c 有两个根 3，2，满足,|=1 加21=2。而八幻=4有三个不同的根，)=2 有两个不同的根，故y = h(x)有5个零点。(11 )当 Id V 2 时, /(/)=< 有三个不 同的根方 4,满足同<2, /=3, 4, 5 o而 f(x)=t, (/=3, 4, 5)有三个不同的根，故 y = /i(x)有9个零点。综上所述,当|中2时,函数i) 有5个零点；当|c|<2时,函数有9个零点。【考点】函数的概念和性质

18、，导数的应用。【解析】(1)求出厂/的导数，根据1和T是函 数k/的两个极值点代入列方程组求解即可。(2)由(1)得, f(x) = xi -3x 9 求出山)， 令 g'(x)=O， 求解讨论即可。(3)比较复杂，先分加2和冏2讨论关于 x的方程八幻” 根的情况；再考虑函数y = h(x) 的零 13.12102高考福建文22(本小题满分14分) 已知函数f (x) = cixsinx-(a e R),且在,呜上的最大值为 4一 32 9(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0, n)内的零点个数，并 加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：本题考查的知识

19、点为导数的计算，利用 函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：(I) /(x) = oxsinx-?vW在0,刍上恒成立，且能取到等号=g(x) = A-sin X KF在0,上恒成立,且能取到等 2a 27t /、= L(%gx) = sinx + xcosx> 0 = y = g(x)右£ 0,上单增 2(II)7=g(，)=W = "=i = f(x)=xsinx- (Ifxlby )/(a) = xsin x=/?(x) = / '(x) = sin x + xcosx当X£0,f时，:(x)之0=y = /(x)在(0,J上单调递<0

20、=)，= /(外在(0,刍上有唯一当X呜时9“(X)= 2cosx-xsinxvO = /"(X)2上单调递减/(£) = -5 <0 =存在唯一右白使/“。)=。乙乙N/'(x)>0<=> <x</'(x) >0ox<)v% v乃2得：/在4X。)上单调递增，C%，划 上单调递减吗)>0J=一3<。得：XW 6,/时,/(X)>0 ,乙划时，/Cv()/(/r)<0,、= /(工)在国),乃上有唯一零点由得:函数幻在(0,1) 内有两个零点。1. (2013年高考陕西卷(文) 已知函数

21、/(x) = eU(I)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程；(II)证明：曲线y二f与曲线y = 1+x + i有唯一公共点.(m)设水6,比较与牛”的大小, L )h-a并说明理由.1答案】解：(I) f(X)的反函数g(x) = lnx,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=g'(i).g，(x)n，=1 .过点(1, 0)的切线方程为:y X=x+ 1(II)证明曲线y=f(X)与曲线y = #+x+l有唯一公共点,过程如下.令/?(x) = f(x)-x2 - x-1 =- -x2 - x-l,xe /?, WJ22hx) = ex -x-1,/(x

22、)W#®/iM(x) = e' 1,且力(0) = 0, A'(0) = 0,厅'(0) = 0因此，当x < 0时"(x) < 0 => y = "(X)单调递减;当x > 0时"(x) > 0 => y = /?'(x)单调递增=> y=hx) > /7,(0)=0,所以y=(幻在R上单调递增，最多有一个零点x二0所以，曲线y=f (x)与曲线v=#+x+i只有唯一 公共点(0, 1).(证毕)(m)设/()+ f(b) f(b) 一 f (a) _ (Z? a + 2)

23、 /(a) + ( 一 - 2) /()2b-a2 ,(。一 a)_ 3 - a + 2), ea +(/?-«- 2) - eh _ (Z? - a + 2) + (沙 - a - 2)02 " (/? - a)2 (A - a)令g(x) = x + 2 + (x 2)1,x>OUJg<x) = l + (l + x 2)e* =l + (x l) 。)g'(x)的导函数g”(x) = (l + x-l)/=x,/ >0,所以gx)在(0, + s)上单调递增且g'(0) = 0因此g'(x) > 0, g")在

24、(0,*c)上单调递增，而g(0) = 0,所以在(0,+s)上 g(x)0.当x > 0时,g(x) = x + 2 + (x 2) ex > 0且a < b,.(h-a + 2) + (b-a-2).eh-a a2 (/?-«)所以当a<bMM + /S)“W)2b-a2.(2013年高考北京卷(文) 已知函数f(x) = x2 +xsinx + cosx (I)若曲线'=fW 在点 (,/(a)处与直线”相 切，求.与/，的直(II)若曲线)与直线产有两个不同的 交点，求/，的取值范R【答案】解：由f(x) = x2 +xsin x + cos

25、x ,fx) = x(2 + cos a) (I)因为曲线y = /(x) 在点 (jm) 处与直线y = b相切，所以fa) = r/(2 + cost/) = 0 = /(4),解得4 = 0,。= /(。) = 1 (H)令八x) = 0,得x = 0./(X)与r*)的情况如下：Xy.O)0(0, +8)f'(x)一0+/(X)1/所以函数/在区间(一。)上单调递减,在区间 (。1)上单调递增,/(0) = 1是/的最小值.当E时，曲线y = /(x)与直线产最多只有一个交点；当 >1 时,/(-2h) = f(2b)>4b2-2h- > 4b-2b->

26、b , /(0) = 1</7,所以存在 内 e (-2b, 0) f x2 e (0,2b), 使得f(X) = f(x2) = b9由于函数/(x)在区间(r ,0)和(0,+oO)上均单所 以当g时曲线、, = X)与直线yi有且只有两 个不同交点.综上可知,如果曲线片/与直线,T有且只有两个不同交点,那么的取值范围是(1»)e为自然对当的值时,若直线/1与曲线y = f(x)2013年高考福建自文)已知函数/(X)= X-1 += e数的底数).(1)若曲线>'=/(A)在点 a/(D)处的切线平行于入轴,求的值;求函数/的极值;没有公共点，求k的最大值.【答案】解：(I )由 f(x) = x- + 9 得小)=/.又曲线在点(I,川)处的切线平行于1轴, 得r(1) =。