三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形中心矢量

1、三角形“四心向量形式的充要条件应用知识点总结1. O 是 ABC 的重心 二 OA OB OC = 0 ;S假设0是ABC的重心,贝U B0cPG 二 J ( PA3-S .AOBPC k)=3S abc 故 OA OB OC = 0 ;G为,ABC的重心.2. 0 是 AABC 的垂心二 OA OB =OB OC =OC OA假设O是ABC 非直角三角形的垂心,那么S boc ： S aoc ： S aob二tan A : tan B: tan C故 tan AOA tan BOB tanCOC =03. O 是 ABC 的外心二 |OA |=|OB|=|OC|2 2 2MOA = OB =

2、 OC )假设O是ABC的外心那么S BOC :S aoc S aa sin BOC : sin AOC : sin AOB =sin2A :sin2B: sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC =0AB AC BABCr、* DC /l/l ? ATTTT -白 0A( 5) 0B? (一 r )4. O是内心 ABC的充要条件是|AB | AC|BA | |BC |CACB0C? ( = 5)=0|CA | |CB |引进单位向量,使条件变得更简洁.如果记 AB,BC,CA的单位向量为e、e2, e3,那么刚刚O是ABC内心的充要条件可以写成OA ei e3 = 0B

3、 ei e2= 0C g e3 = 0, O是ABC内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOA 00假设O是ABC的内心,那么S BOC : S AOCS AOB=a. b.分线所在直线；一将平面向量与三角形内心结合考查故 aOA bOB cOC -0 或 sinAOA sinBOB sinCOC=0；T T T| AB|PC |BC |PA |CA| PB =0= P 是 ABC 的内心;向量冉-AA r - 0所在直线过-ABC的内心是.BAC的角平|AB| |AC|例1 . O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 P满足AB ACOP =OA ? ),那么P点的轨

4、迹一定通过ABC的H lAClA外心B内心C重心D垂心解析：由于-AB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e2,又网OP OA =Ap,那么原式可化为 APq e2,由菱形的根本性质知 AP平分.BAC,那么在 MBC中, AP平分N BAC,那么知选B.二将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理例2. H是公ABC所在平面内任一点,HA HB = HBHC =HC HA二点H是公ABC的垂心. mm m卡 甲、甲 甲由 HA HB =HB HC HB HC _HA =0= HB AC =0= HB 二 AC,同理HC _ AB , HA _ BC .故H是公ABC的垂心.反

5、之亦然证略例3.湖南P是公ABC所在平面上一点,假设 PA PAPB PAPC PA,贝U P是公ABC的D A .外心B .内心C.重心D .垂心解析:由 PA PB 二 PB PC 得 PA PB PB PC =0.即 P PB PA - PC = 0,即 PB CA = 0那么PB _CA,同理PA _ BC,PC _ AB 所以P为 ABC的垂心.应选D.三将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理/久jr / 例4. G是公ABC所在平面内一点,GA gb? GC=0j/ G是公ABC的/ 式. JT . - .Jr.一重心.七证实 作图如右,图中 GB, GC二GE连结BE和CE,贝

6、U CE=GB , BE=GC=BGCE 为平行四边形=D是BC的中点,AD为BC边 上的中 线将 GB GC =GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG =0= GA =: -GE =-2GD ,故G是公ABC的重心.反之亦然证略例5. P是公ABC所在平面内任一点.G是公ABC的重心=P、PA PB PC . 3证实 PG = PA AG 二 PB BG 二 PC CG 二 3PG 二AG BG CG PA PB PC ?/ G 是公 ABC 的重心 I GA GB GC =0= AG BG CG =0,即口 3PG 二 PA PB PC由此可得PG = PA PB PC .反之亦

7、然证略 3T T T例6假设O为公ABC内一点, OA OB OC =0,那么O是ABC的A .内心B.外心 C.垂心D .重心解析：由O?+OA+O3=0得品+O八二OA,如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形,那么 OB+OC=OD ,由平行四边形性质知 贰弓豳,OA=2OE ,同理可证其它两边上的这个性 质,所以是重心,选Do四将平面向量与三角形外心结合考查例7假设O为 ABC内一点,OA = OB =OC ,那么O是 ABC的A .内心B.外心C.垂心D .重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等.故 O是ABC的外心,选Bo五将平面向量与三角形四心结合考查例 8.向量

8、 OR, OP2, OP3 满足条件 OR +OP2 +OP3 =0, |OR |=|OP2 | = |OP3 1 = 1,求证 PiP2P3是正三角形?数学?第一册下,复习参考题五 B组第6题证实 由 OPi+OP2 =-OP3,两边平方得 OPiOP2同理 OP2 ? OP3 =OP3OPiIRP2 FIP2P3 FIP3P1 |=、3,从而 PiP2P3 是正三角形.反之,假设点O是正三角形 PiP2P3的中央,那么显然有 口勺+匝+匝=0且|八| = |OP2 I = |Op3 |.即O是公ABC所在平面内一点,OP1+OP2+OP3 =0 且|OPi | = |OP2 | = |OP

9、3 匚 点 O 是正 PiP2P3 的中央.例9.在 ABC中,Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证： Q G H三点共 线,且 QG:GH=1:2【证实】：以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如下图的直角坐标系.设A0,0、BXi,0 、C X2,y 2 , D E、F分别为AB BC AC的中点,那么有：D (今,0)、Xi X2G(-vE 笃字乎、F 乎普由题设可设 Q2Xi2BC 弋 2-Xi2)x xAH =(X2,y4),QF =(亍-寸AH *BC =x 2(x2 _xj y 2y4 =0 .,_X2( X2 Xi )y4y2QF *AC (X 2 今)2( 丫 3)

10、“2 2 2X2(X2 Xi),y2y3QH NX?2X2 %23X2 X2 -xj yz22QG =X 2 X13/ 2X 2 Xxi y 、 2x2-xi齐世一 r-3X2X2-Xi y 26y2y2 X2 X2 -Xi _ y 23 一 2y2- 23X2X2 -Xi2y2i t二 _QH3 即QH =3QG ,故 Q G H三点共线,且 QG GH=1 :例10.假设0、H分别是 ABC的外心和垂心.求证0H =0A OB 0C .证实 假设公ABC的垂心为H,外心为0,如图.连B0并延长交外接圆于D,连结AD, CD.? ? AD_ AB, CD _ BC .又垂心为 H, AH _

11、 BC , CH _ AB,? AH / CD , CH / AD,?四边形AHCD为平行四边形,AH =DC =D0 -+OC , 故 OH =OA+AH =0A+0B+0C著名的“欧拉定理讲的是锐角三角形的“三心 一一外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一 “欧拉线；离是(2)三角形的重心在“欧拉线上,且为外一一垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距 重心到外心距离的2倍.“欧拉定理的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题例ii.设0、G、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证OG3证实 按重心定理 G是ABC的重心：=OG =*(0A 0B 0

12、C)按垂心定理 OH =0A OB OC由此可得3OG 二,OH .补充练习i ? A、B、C是平面上不共线的三点,0是三角形ABC的重心,动点P满足0P=( 0A+0B+2 0C),那么点P 一定为三角形 ABC的(B )322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点i h- - -i i -i i. B 取 AB 边的中点 M,贝 U OA 0B=20M,由 OP =( 0A + 0B+20C)可得32230P =30M - 2MC ,? mp =Zm*即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且3点P不过重心,应选B.为三角形的B A 外心 B

13、内心 C 重心 D 垂心-226.在二角形ABC中,动点P满足：CAzCB -2AB? CP,贝U P点轨迹一定通过公ABC的B 二着 +芜=OB2+CA2=OC2+A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2 .在同一个平面上有.ABC及一点O满足关系式:ABV 那么 o 为 ABC 的 D PA PB PC=0,贝U P为ABC的A外心B内心 C重心 D垂心2. ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足:C A外心B内心C重心D垂心3.O是平面上一 定点,A B、C是平面上不共线的三个点,动点 P满足:OP =OA ? AB ? AC,那么P的轨迹一定通过公 ABC的 C A外心B内心

14、C重心D垂心4 . ABC, P为三角形所在平面上的动点,且动点PA.PC PA.PB PB.PC = 0,那么P点为三角形的P满 足：A外心B内心C重心D垂心5 . ABC , P为三角形所在平面上的一点,且点P 满足：a PA b PB c ? PC7.非零向量 AB与AC满足AB +AC ? Bc=o且AB ? AC ,那么公ABC为A.三边均不相等的三角形|AB| |AC|B.直角三角形|AB| |AC| 2C.等腰非等边三角形D.等边三角形T TBC, .? . AB=AC ,又解析：非零向量与满足=0,即角A的平分线垂直于|AB| |AC|T TcosA = Z1,/ A=I,所以

15、4ABC为等边三角形,选D.| AB | AC 28. ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为 H, OH二m OA OB OC ,那么实数m=_J9.点O是 ABC所在平面内的一点,满足 OA OB =OB OC =OC OA ,那么点O是 ABC的B A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点10.如图1,点G是ABC的重心,过G乍直线与ABAC两边分别交于 MN两点,且市二xAB ,AN 一. yAC,贝 u = 3 o x y证点G是MBC的重心,知GA GB GC = Q得-AG (AB - AG) (AC - AG)=.,有 AG 二

16、 1 (AB 八C).又 M N, G 三点共线(A 不在直线 MN 3上),于是存在使得AG = BAM :! - AN 且 - J = 1,有 AG = xAB 订二 yAC=AB ZC, 31 1得1 ,于是得1 ?! =3 0,x = yx yI3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2 、向量的加法、数量积等性质3 、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4 、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习 22 21.10是

17、公ABC内的一点,假设 OA =OB =OC ,那么.是公ABCA、重心 B、垂心C、外心D、内心*?*?.饥.1.2 在公 ABC 中,有命题 AB - AC 二 BC ; AB BC CA = 0 ;假设 AB AC ? AB - AC = 0那么公ABC为等腰三角形；假设AB MC 0,那么公ABC为锐角三角形,上述命题中正确的选项是A、 B、 C、 D、2、知识回忆2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量根本概念解与三角形有关的向量问题例1、 ABC中,有 代+忸*BA=0和TAB*的二1,试判断 ABC

18、的形状AB| |AC| J|AB| |AC| 2ABC的练习1、 ABC中,AB二a , BC =b , B是A ABC中的最大角,假设a *b - 0,试判断A形状.4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、.是公ABC所在平面内的一点,满足|OA2? |BC2TOB | AC2=|OC2*B|2 )O 是公 ABCMD、内心A、重心B、垂心C、外心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题AB - AC例3、P是公ABC所在平面内的一动点,且点 P满足OP = OA+扎一k一,0,扎 JAB |AC J那么动点P 一定过 ABC的：A、重心B、垂心练习2、0为平面内一点一一

19、 一 1 一OP =OA + 人 AB + BC 2A、重心B、垂心C例4、 0是 ABCC、外心D、内心,A、B、C平面上不共线的三点,动点 P满足那么动点P的轨迹一定通过公ABCC、外心、内心所在乎的一点,动点P那么动点P 一定过 ABC一AB ACOP =OAA B； cosB + 一A、重心 B练习3、垂心 CO 是ABC、外心 D、内心所在平面内的点,动点POP=0八空2ABAC+ 0,=,那么动点 P 一7过 ABC 的:AB cosB AC cosCA、重心 B、垂心例5、点 G是的重心,、外心D、内心作直线与AB、AC分别相交于M、N两点,AM 二 x ? AB,AN 二 y

20、*AC ,求证:6小结 处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键.7、作业1、 O是公ABC内的一点,假设 OA OB 0八0 ,贝U 0是公ABC的：A、重心 B、垂心、外心、内心2、假设公ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,且OA OB OC=0,那么 OA? OB 等于A、0是 ABC所在平面上的一点C、2所对的过分别是a、b、ca *0A b *0B c *0C = 0 ,贝 U 0 是公 ABC 的：A、重心 B、垂心C、外心、内心AC cosC4、P是公ABC所在平面内与A不重合的一点,满足

21、 AB AC =3AP ,那么P是Z, ABC的A、重心B、垂心C、外心D、百5、平面上的三个向量 OA、OB、OC满足OA OB OC =0 ,内心IoaI =|ob| = |oc| =1, ABC为正三角形.6在A ABC中,O为中线 AM上的一个动点,假设 AMh2,求oa (ob oc )三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比拟大小.在高中数学“平面向量(必 修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面,我们又以向 工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.量为在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问

22、题时,先将几何问题中的几何元素和几何关化为基向系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转 量的运算问题,最后将运算的结果再复原为几何关系.些特卜面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感重心的向量风采【命题1】G是公ABC所在平面上的一点,假设GA GB GC =0 ,那么G是公ABC的重心.如图.【命题T TOP =OA)(AB AC),图2 0是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点,动点P满足【解析】宜线的向量,垂心的向量风采

23、【命题3】P是公ABC所在平面上一点,假设 PA =PB =PC PA,贝U P是公ABC的垂心.+PA品启捏,得 PB点启)=.,即7B CA=O ,所以7B CA .同理可证【解析由) (0, * ),贝U P的轨迹一定通过 ABC的重心.由题意庆八=(AB AC),当(0,:)时,由于(AB AC)表示BC边上的中线所在所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心,如图.PC AB, PA BCP是公ABC的垂心.如图A B, C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP = OAAB_JACAB |cos Bcos C 那么动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.【解析】由题意AP = &RB + AC由于一*D + BC=.：JaA + AC cosCAB cosB AC cosCcosBT I 理 BC ACAB cosBBC二BC -CB =0,所以AP表示垂直于B