数值分析整理版试题及答案

1、例1、已解：(D-112-304知函求f(x)的Lagrange二次插值多项式和NewtoR次插值多项式。插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为(2) 一阶均差、二阶均差分别为 均差表为阶阶-1-3103/22445/6故所求NewtonC次插值多项式为 例 2、设 f(x) x2 3x 2 的最佳平方逼近多项式。0,1,试求f(x)在0, 1上关于(x) 1span 1,x解：若span 1,x ,所以，法方程为d 1231 -2a061 1a192 34则 o(x) 1,1,经过消元得01(x)x,且(x) 1 ,这样，有再回代解该方程，得到a1 4, a。12工121123故，所

2、求最佳平方逼近多项式为 S*(x)例 3、设 f(x) ex, 平方逼近多项式。解：aoa11164xx 0,1,试求 f(x)在0, 1上关于(x) 1, span1,x的最佳若 span 1,x ,贝 0(x) 11(x) x ,这样，有所以，法方程为解法方程,得到 ao 0.8732, a1 1.6902,故，所求最佳平方逼近多项式为例4、 用n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分19 TXdx o解：(1)用n 4的复合梯形公式由于 h2 ,f xTX ,Xk12k k1,2,3 ,所以，有(2)用n 4的复合辛普森公式由于 h2,f xTX,Xk12k k1,2,3 , x 122

3、k k 0,1,2,3 ,所以，有k -2例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到X3 3, X2 2, X! 1所以，线性方程组的解为X, 1, X2 2, X3 3例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解：设 则由LU的对应元素相等,u11u12l21u11l2115 ?43 '1u136'l31u11l312,l21u12u22u22160，l21u13u23u23l31u12l32u22l3236l31u13l32u23 u332u331315因此,y1解Ly36y2y3154解Ux60451315X1X2X39A徂4 ，行 X31541

4、77.69 ,x2 476.92, X1227.08所以，线性方程组的解为x1227.08, x2 476.92, x3177.691、若A是n n唯一成立。n 8时，3、形如bf (x)dx aNewton cotes型求积公式会产生数值不稳定性 )nAi f(xi)度的次数为2n的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确( )4、矩阵的 2 范数 112= 9 。(5、设(2a00，则对任意实数a 0,方程组Ax b都是病态的。(用URn)Q Rn n ,且有 QTQ I(单位阵)，则有1A2QA2(7、区间1、(6、(a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。(X )

5、2、( V ) 3、V ) 7、( X ) 8、(X ) 4、( V ) 5、(X )1、判断题(10X 1')若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AU b一定可以使用高斯消元法求解。2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A LU则解线性方程组瓯b高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。4、样条插值一种分段插值。5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。7、解线性方程组的

6、的平方根直接解法适用于任何线性方程组A2 b8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后步迭代计算的舍入误差。9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。（？）10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。（X ）10001 .用计算机求 票时，应按照n从小到大的顺序相加。（）n 1 n2 .为了减少误差，应将表达式播师 屈丽 改写为,2 J一z进行计算。（对 ）2001 J9993 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式

7、有 关， 与 常 数 项 无 关。（）复习试题一、填空题：A1、01 4 ，则A的LU分解为A答案：31 f(x)dx，用三点式求得f14101 4115 4104 15 156 152、已知f1.0, f12 f（3） 1.f（1）1, f（2） 2, f（3） 1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多项式为 o11L2(x)2(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) 2(x 1)(x 2) ,则用辛普生（辛卜生）公式计算求得答案：-1,xn 1答案xnxn f(xn)1 f (xn)6、对小)x3 x 1,差商 f0,1,2,3( 1),f0,1,2,3,4 ( 0

8、)；7、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a, b)内的根时，二分 n次后的误差限为b a on 1 (改写为 2001 J99914、用二分法求方程f(x) x3 x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间 为，1 ,进行两步后根的所在区间为,。xdx15、计算积分0.5 d，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜 生公式计算求得的近似值为,梯形公式的代数精度为，辛卜生公式的代数精 度为/。3x1 5x2 1x(k1) (1 5x2k)/316、求解方程组0.2x1 4x2 0斯高斯一塞德尔迭代格式为_x2k

9、1)H1)/20 该迭代1格式的迭代矩P$的谱半径 (M)一而)；10、已知f(1) =2, f(2) =3, f(4)=,则二次Newton插值多项式中x2系数为()；11、两点式高斯型求积公式1f(x)dx :f(x)dx ,(,3 1) f(3 1) 0f(x)dx-( 022<32*3)，代数精度为(5 )12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为y 1013、为了使计算467 TT -.3Ji .(x 1) (x 1)的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为y 10 (3 (46t)t)t,t17为了减少舍入误差，应将表达式十痢 J19

10、9917、设 f(0) 0, f(1) 16, f(2) 46,则 l1(x)l1(x) x(x 2)_, f(x)的二次牛顿插值多项式为_N2(x) 16x 7x(x 1)18、bnf(x)dxAkf(Xk)求积公式ak 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有2n 1 )次代数精度19、已知 f (1)=1, f (3)=5,(5)=-3,用辛普生求积公式求5f(x)dx1 ' )=(12 ) o20、设 f (1)=1 , f (2)=221、如果用二分法求方程(10)次。(3)=0 ,用三点式求f(4 0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分23、nl0(X)，l1(X)

11、，ln(X)是以整数点lk(x)k 0n(X4k 026、2Xk3)lk(x) (函数f (x)1x0, x1, ,Xn为节点的 nxklj(xk)Lagrange插值基函数，则xj ), 当 n 2 时形式，使计算结果较精确27、若用二分法求方程f xo0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。29、若用复化梯形公式计算 477个求积节点。dx,要求误差不超过10 6 ,利用余项公式估计，至少用30、k 1X1 k X2出求解1.6x2k0.4x1k1 ,kx1 1.6x0.4Xi2 1X232、33、34、0,1,迭代矩阵为_2的1.60.64Gauss-Seidel

12、迭 代公式,此迭代法是否收敛收敛,则 IAH设矩阵若 f(x)3x42x数值积分公式的A LU ,则U 1,则差商 f2,4,8,16,322612f (x)dx 2f ( 1) 8f (0) f (1)19L V 75 的代数精度为235、线性方程组101121101523的最小二乘解为36、设矩阵单项选择题:1、分解为A LU ,则U110 芍21万Jacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是. A的各阶顺序主子式不为零(A)C. aii0,i1,2,n2、设(川为(C )C. 73、三点的高斯求积公式的代数精度为（BB. 5 C4、求解线性方程组 Ax=b的LU分解法中,A须满足的条件

13、是A.对称阵B.正定矩阵C.任意阵 D .各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A ） 产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D .数学模型准确值与实际值6、是冗的有（B ） 位有效数字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D . 77、用1 + x近似表示ex所产生的误差是（C ） 误差。A.模型 B .观测C 截断 D .舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是 （A ） oA.控制舍入误差 B .减小方法误差C防止计算时溢出 D .简化计算9、用1+3近似表示3'厂三所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B .观测 C .

14、模型 D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A.5 B .6C. 7 D .811、设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A.-0. 5 B .0.5 C . 2 D . -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A . 3 B.4C. 5 D . 213、( D )的3位有效数字是X 102。(A) X103 (B) X10-2 (C)(D) X10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x),则f(x)=0的根 是(B )。(A) y=?(x)

15、与x轴交点的横坐标(B) y=x与y=?(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x 与y=?(x)的交点3x1 x2 4x31x1 2x2 9x3015、用列主元消去法解线性方程组4x1 3x2 x31 ,第1次消元，选择主元为(A )。(A) -4(B) 3 (C) 4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2,Rn(x)f(x)(B),xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),f(n1)()Fn(x)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x

16、2) (x xn 1)(x xn),(n 1)!f(n 1)()(D)R(x) f (x) F> (x)f( ) n 1(x)(n 1)!17、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x2 1=0在区间口内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )(A)(B)(C)(D)1,，迭代公式：xk 1x 1，迭代公式：xk1 x1xk21、解方程组x2,迭代公式：xk 1x2,迭代公式：xk 1(1Ax b的简

17、单迭代格式(1)(A) 1, (2)(B) 1,b22、在牛顿-柯特斯求积公式:21/3 xk)2xk(k 1) xf (x)dx a2xkxk1(b式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当(1) n 8,(2) n 7,(3) n 10,23、有下列数表(k)Bx(A)n a)g收敛的充要条件是1, (4)(B) 1C0)(4)f(xi)(n)中，当系数Ci是负值时，公 时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。n 6,x012f(x)一-2-12所确定的插值多项式的次数是(0(1)二次;(2)三次;(4)五次)25、取出 1.732 计算 x (V3 1)(3)四次；4,下列方法中哪种最好？(16)_

18、16_酒 1)4。123-127、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(A) 5；3-(D) 2。4；(C)(A) 28 166；(B) (4 2扬2；( C) (4 2拘2 ；(D)28、形如 为(A) 9；(B) b a f (x)dx)(B)Af(x1) A2 f (X2)7；( C)5-29、计算出的Newton迭代格式为xk 1(A)xk2xk 1(B)xk22xk30、用二分法求方程32x 4x10A3f (x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度；(C)(D)3。xkxk 2xk； (D)xkxk 33xk 。0在区间1,2内的实根，要求误差限为2

19、 101则对分次数至少为()(A)10;(B)12(C)8；(D)9。kli(k)32、设li(x)是以xk k(k 0,1,L为节点的Lagrange插值基函数，则k(A) x；(B) k ；(C) i ；(D) 1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。35、已知方程x3 2x5 。在x 2附近有根，下列迭代格式中在x0 2不收敛的是()x 广今 xk 1.2 3(A) xk 1V2xk 5 ; (B)xxk ; ( C) xk 1 xk xk 5 ; (D)xk 12x3 53x2 21 01 1234：1：243-536、由

20、下列数据确定的唯一插值多项式的次数为()(A) 4;(B)2;(C)1;(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(E)9;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打？，否则打？)1、已知观察值(xi，yi)(i 0，1，2， , m)，用最小二乘法求 n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。()2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差(x Xo)(X x2)3、(x1 x0)(x1 x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。(？)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

21、5、矩阵A=具有严格对角占优。四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 求按五位有效数字计算)。4X1 2x2 X311x1 4x2 2x3 182x1 x2 5x3 22,取 x(0) (0,0,0)T ,迭代四次(要答案：迭代格式k0000123411. 1Af( 1) f(1) Bf( -)f(Q的心明.户曰曰一22的代数精度尽量图,f (x) dx2、求A、B使求积公式1并求其代数精度；利用此公式求21dxx(保留四位小数)。2.答案：f(x) 1,x,x是精确成立，即2A2A2B1b 21f(x)dx求积公式为19f(1)f(1)9f(112) f(2)3. ,当f(x) x时，公

22、式显然精确成立；当4 一f(x) x 时，左=5 ,1右=3。所以代数精度为33、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求“2)的近似值(保留四位小数)L 2(x3)(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x 5)L3 ( x) 26答案：(13)(14)(1 5)(31)(34)(3 5)差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-106、已知sinx区间,的函数表如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使| 3(x)|尽量小，最靠近插值

23、点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6。7最好，实际计算结果sin0.63891 0.596274,且7、构造求解方程ex 10x 2 0的根的迭代格式xn 1 (xn),n 0，1,2，讨论其收敛性, 4并将根求出来，阂1 xnl 10 o x答案：解：令 f(x) e 10x 2, f(0)且 f (x) ex 10 0 对 x (,)f(x) 0变形为则当x (0,1)时(x) -1 (2 ex)10故迭代格式收敛。取x0 0.5,计算结果列表如下：2 0,f (1) 10 e，故 f(x) 0 在(0,1)| (x)|x e10e10内有唯一实根.将方程n0123127 87

24、2424 785877 325n4567595 993517 340525 950525 008且满足 |x7 x6 | 0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 5250088、利用矩阵的LU分解法解方程组x1 2x2 3x3 142xi 5x2 2x3 183x1 x2 5x3 203424要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(n)(f)14102R(n)(f)(b a)312n2A LU答案：解：令 Ly b 得 y (14, 10, 72)T , Ux y 得 x (1,2,3)T3x1 2x2 10x31510x1 4x2 x359、对方程组2x1 10x2 4x

25、3 8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;一、 一 (0)T.一,. 一.(2)取初值x (0,0,0),利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k1) x(k)|10 3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x(0) (0,0,0)T，经7步迭代可得:x* x(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T10、已知下列实验数据xif(Xi)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1解：当0<x<1时，f (x) ex,则f (x) e,且0edx有一位整数.即可，解得所以

26、n 68,因此至少需将0,1 68 等份。11 1 x1454 3 X21211、用列主元素消元法求解方程组211 X311o解:11 1454 31221111r154312111421111回代得X31,X26,X112、取节点x0 0，X10.5, x21 ,求函数f(X)e ”在区间0,1上的二次插值多项式巳(x)，并估计误差0(X 0-5)(X 1) e0.5 (X 0)(X 1)解：(0 0.5)(0 1)(0.5 0)(0.5 1)f(X) e X, f (X) 又e X，M3 naXjf (X)| 1故截断误差|R2(x)| |e X P2(x)| ：|x(x0.5)(X 1)

27、|oX 14、给定方程 f (x) (x 1)e1 01)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程(x 1)eX 1 0(1)改写为, XX 1 e(2)X*作函数f1(x) x 1 , f2(x) e的图形(略)知(2)有唯一根x(1,2)2)将方程(2)改写为x 1 exXk 11 e xk构造迭代格式X0 1.5(k 0,1,2,)计算结果列表如下:k123456789Xk3) (x) 1 e x ,(x) e x当 x 1,2时，(x) (2), (1)1,2,且所以迭代格式xk 1(xk) (k 0，1,2，)对

28、任意x0 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求V3的近似值。取xo=,计算三次，保留五位小数。解：X3是f(x) x2 3 0的正根,f(x) 2x，牛顿迭代公式为x2 3xn 1xn-2xn ,即xn 3xn 1(n 0,1,2,)22xn取xo=,列表如下:12316、已知f (-1)=2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1 , 5)的近 似值，取五位小数。2 (x1)(x 2)3 (x1)(x 2)4 (x1)(x1)L2 ( x) 234解：(11)( 1 2)(11)(1 2)(21)(21)e一人/ /1exdx , 八 1 上乙

29、, 一,17、n=3,用复合梯形公式求0e dx的近似值(取四位小数)，并求误差估计。1 x1001 32 31e dx T3e 2(e e ) e 1.7342解：02 3L Vf (x) ex, f (x) ex, 0 x 1 时，| f (x)| e 至少有两位有效数字。Xi5x2118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组x3 =8取x(0)=(0,0,0) T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0) T,列表计算如下：123解:解方程组其中192530382 ,

30、20、（8分）用最小二乘法求形如y a bx的经验公式拟合以下数据:span1,x2AT AC ATyT 43391ATA3391 3529603T 173.6A y7179980.7C 解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577,b 0.050102521、（15 分）用 n估计其误差。用n8的复化梯形公式.1e xdx（或旻化 Simpson公式）计算0 时，试用余项8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。RTf 解：22、（15分）方程3x x计算x解：（1）(2)(3)选择b12a 2-h2f ()1对应迭代格式xn 11对应迭代格式

31、xn 111012 e0 0.00130212 827680在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3 xn3xn1 x；1 -xn 11 ; (2) x x对应迭代格式11xn ； (3)10判断迭代格式在x0 1.5的收敛性，选一种收敛格式1.5附近的根，精确到小数点后第三位。(x)(x)(1)：23、(8 分)(D1、2(x) 3(x 1) 312x23xx021.5(1.5)x .(1.5)3 1.52x11.3572x20.18 1 ,故收敛;0.17 1,故收敛;1,故发散1.3309x3 1.3259x41.3249xs 1.32476x6已知方程组AX1.324

32、72列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法:(k 1)X1(k 1) x2(k x3-(24 3x2k)41(30 3x1(k)x3k)41);(24x2k)0,1,2,3,X1(k 1)；(24 3x2k)k 1)(kX3Gauss-Seidel 迭代法:1(30 3X1(k 1)x3k)41)1( 24 x2k1)4k Q1,2,3,1BjD 1(L U)034034 0 340340(Bj)国(或邛)0.79056925、数值积分公式形如10 xf (x)dx S(x)Af(0)BfCf (0) D

33、f (1)试确定参数abcd使公式代数精度尽量高；(2)设f(x)1C40，1,推导余项公式 R(x) 0xf(x)dxS(X),并估计误差。a 3 o 7 023A , B , B解：将f(x) 1,x,x ,x分布代入公式得：2020H3(X) f(Xi)120构造Hermite插值多项式H3(x)满足也(为)f (xi) i 0，1 苴中 x00,Xi 1则有:1xH3 (x)dx S(x)f(x)H3(x)f (4) ( )丁x2(x 1)227、(10分)已知数值积分公式为:(h)h2 . 试确定积分公式中的参数，使其代数f(x)dx 2f(0)f(h)hf(0)精确度尽量高，并指出

34、其代数精确度的次数 解：f(x)1显然精确成立；f(x)f(x)f(x)f(x)2X时,3 x时,4x时,X时,h 2x dx0h 3 x dx0hx4dx0hxdx03仁4h55h22MOMO上0h rc20h22h2 h202h 1 1；h 32h2 h2312 _ 2h3 h20 3h2 12h4 h20 4h3 126 112 ；所以，其代数精确度为3。xk是单调递减的,28、(8分)已知求百(a 0)的迭代公式为:证明：对一切k 1,2, xk从而迭代过程收敛。证明:xk 1又xkxk 112(xk故对一切k12(1x2)12(11,2,1),xka xk xk.1a0所以xk,a

35、k 0,1,21xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、(9分)数值求积公式 数精度是多少？一 3 一 一f(x)dx 3f(1)f(2)2是否为插值型求积公式？为什么？其代解：是。因为f(x)在基点x 2x 1p(x)f(1) - f(2)1、2处的插值多项式为122 133p(x)dx f(1) f (2)02L。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4x8sx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。,xn 1(6分)xn114cos xn，n=0,1,2,4sin114对任意的初值xo 0,1,迭代公式都收敛。1 0111 2.11531、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算4彳15的近似值，并利用余项估计 误差。用Newton插值方法：差分表：10012114410+(115-100)(115-100)(115-121)0.5 10 5。f x或利用余项：.2468sin x , x x x x 1 一一一一x 3!5!7!9!b a 5 f (